猜题03 圆锥曲线与方程（易错必刷60题11种题型专项训练）（解析版）

猜题03圆锥曲线与方程（易错必刷60题11种题型专项训练）题型一：椭圆的标准方程与定义题型二：双曲线的标准方程与定义题型三：抛物线的标准方程与定义题型四：焦点三角形面积、周长问题题型五：焦半径问题题型六：直线与圆锥曲线的位置关系题型七：线段和差最值问题题型八：离心率问题题型九：中点弦问题题型十：轨迹问题题型十一：定点定值问题题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题题型一：椭圆的标准方程与定义1．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）方程，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得点到定点，的距离之和等于12，即，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，则，，所以，，故方程为.故选：B.2．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点，如图所示：则有，可知，所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.故选：A3．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【解析】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.4．（2023·陕西西安·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆标准方程：(1)长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.【解析】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4，2c＝2，则，则；若椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为，若椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为1，故椭圆的标准方程为或（2）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得：，解得，∴椭圆方程为．题型二：双曲线的标准方程与定义5．（2023·新疆喀什·高二校考期末）设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为（

）A．22 B．14 C．10 D．2【答案】B【解析】由题可知，又点为上一点，所以，又，所以或（舍去），故，故选：B.6．（2023·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）如图，小明在ABCD外的某处出发，在ABCD范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可能是（

）

A．椭圆的一部分 B．一段圆弧C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【答案】C【解析】根据题意，假设小明在外的一定点，在界线一侧定点，在界线另一侧也始终存在一个点，使得，设与这条界线交于点，在中，可得，其中和为定点，由双曲线的定义得，该界线可能是双曲线一部分.故选：C.7．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程：（1）与双曲线共焦点，经过点；（2）经过点和；【解析】（1）∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为，∴，即.①∵双曲线经过点，∴.②由①②得，，双曲线的标准方程为.（2）设双曲线的方程为∵点P，Q在双曲线上，∴，解得.∴双曲线的标准方程为.题型三：抛物线的标准方程与定义8．（2023·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，点P在抛物线上，等于点P到准线的距离，点P纵坐标为4，则.故选：C9．（2023·河北保定·高二校考阶段练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)准线方程为；(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；(4)对称轴是轴，经过点．【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，所以抛物线的方程是．（2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，所以抛物线的方程是或．（3）因为对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2，可知，即，所以抛物线的方程是或．（4）因为对称轴是轴，设抛物线方程为，因为抛物线经过点，可得，解得，所以抛物线的方程是．10．（2023·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.题型四：焦点三角形面积、周长问题11．（2023·新疆昌吉·高二校考期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，即，由椭圆的定义可知，，在中，由余弦定理得，可得，解得.所以的面积为.故选：C.12．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由椭圆，得，，.设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.13．（2023·高二课时练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【解析】设椭圆的另外一个焦点为，如图，则的周长为，故选：C.14．（2023·安徽滁州·高二校联考期末）已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（

）A．25 B． C．12 D．24【答案】A【解析】由椭圆，可得，，所以，所以，．在中，由正弦定理可得．故选：A15．（2023·北京朝阳·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】因为点在上，是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设，则①，，因为，所以，由勾股定理得②，①②联立可得，，所以，故选：B16．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，，求得，对由余弦定理可得，即，即，因为，解得，又，即，解得，，所以的周长为.故选：A17．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为．故选：B.18．（2023·陕西西安·高二校考期末）已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，因为点在抛物线上，且，所以，解得.故选：C.19．（2023·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点，抛物线的准线方程为，因为到直线的距离为，则，可得，所以，.故选：C.题型五：焦半径问题20．（2023·陕西咸阳·高二统考期末）已知抛物线上一点到轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【解析】由题意得：抛物线的准线方程为，由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于.故选：B21．（2023·浙江舟山·高二统考期末）双曲线（，）的上支与焦点为F的抛物线（）交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】根据题意，设，，A，B在抛物线上，则，，则，又，则，即，又，消y可得，则，所以，即，所以，又，所以.故选：A22．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即，又，所以，由，所以；故选：A23．（2023·广东江门·高二统考期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【解析】由椭圆易知，根据椭圆定义可知，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：B.24．（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【解析】由题知，，因为在双曲线上，且，所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故；所以，故选：C25．（2023·安徽·高二合肥一中校联考期末）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，∴，，∴，，，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.题型六：直线与圆锥曲线的位置关系26．（2023·青海西宁·高二校考期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．(1)求椭圆E的方程：(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．【解析】（1）由离心率，则，右焦点，直线的斜率，解得，，所以，椭圆的方程为；（2）由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，由，解得或，不妨令、，所以.27．（2023·宁夏银川·高二六盘山高级中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.【解析】（1）由得，又，则，故双曲线的方程为．（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，设，，，，则，．因为，所以，解得，所以直线的方程为．28．（2023·福建·高二校联考期末）已知抛物线过点.(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于，求直线的方程.【解析】（1）将代入，得，所以.故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.

（2）设平行于的直线方程为由得因为直线与抛物线有公共点,所以，解得.另一方面，由直线与的距离等于2,可得，解得.因为，,所以直线方程为:题型七：线段和差最值问题29．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：30．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是.【答案】13【解析】由可知，，设椭圆左焦点，则，当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立．的最大值为，故答案为：.31．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为.【答案】【解析】如图，由为椭圆上任意一点，则，又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为，当共线时，最大，如下图所示：，最大值为，所以的取值范围为，故答案为：32．（2023·浙江杭州·高二校考期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为．【答案】/【解析】因为双曲线的焦点为,圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,，(当且仅当三点共线时取等号)，(当且仅当,,三点共线时取等号),，的最小值为.故答案为：.33．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为.【答案】【解析】如图所示，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，，所以双曲线的方程为：，所以，，，由双曲线定义得，所以，当三点共线时，最小为故.故答案为：.34．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.【答案】/2.5【解析】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，圆变形为，则圆心为抛物线的焦点，半径为.点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，过点作于点，由抛物线定义可知，所以取最小值时，即取最小值，，当三点共线，当时，等号成立..则的最小值为.故答案为：.35．（2023·高二课时练习）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为．【答案】【解析】由以及抛物线可知，点在抛物线内部，如下图所示：抛物线的焦点坐标，准线方程为；作垂直于准线，垂足为，由抛物线定义可得，则，当且仅当三点共线时，取最小值，此时三点纵坐标相同，所以点的纵坐标为，代入抛物线方程可得.故答案为：36．（2023·重庆长寿·高二统考期末）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为．【答案】5【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.题型八：离心率问题37．（2023·云南曲靖·高二校考期末）点是双曲线上的一个动点，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为．【答案】2【解析】设，渐近线方程为，即，则，解得，，故.故答案为：38．（2023·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是.【答案】【解析】设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴长为，虚轴长为，因为椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，根据平行直线斜率相等得，，平方得，，两边同时加1得，，即，所以，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以等号不能成立，所以.故答案为：.39．（2023·河北唐山·高二校考期末）椭圆的两顶点为，左焦点为F，在中，，则椭圆的离心率为.【答案】【解析】依题意可知点，又直线AB斜率为：，直线BF的斜率为：，∵，∴，即.整理得，即，解得或，∵，∴．故答案为：．40．（2023·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）设为双曲线C：的左、右焦点，过左焦点的直线与在第一象限相交于一点P，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则，由P在第一象限内，且，则，∴，由余弦定理可得，整理得，则，解得或（舍去）.故答案为：41．（2023·云南大理·高二统考期末）已知椭圆，点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为.【答案】/0.2【解析】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为，的内切圆的半径为，椭圆焦距为,取线段的中点，设点的纵坐标为，因为，所以，∴，即，∴三点共线，且，∴，∵，∴，,，∴，∴椭圆的离心率，故答案为：.42．（2023·山西朔州·高二应县一中校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，且点A在x轴下方.设，，的内切圆的半径分别为，，.若椭圆C的离心率为，且，则直线l的斜率为.【答案】【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，则椭圆方程可以表示为，设直线为，，，，由，消去整理得，显然，所以，，则，由，由，由，又，所以，所以，又，所以，又，，所以，所以，，所以，所以，则或（舍去），所以直线的斜率为.故答案为：43．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【解析】如下图所示：由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，，取线段的中点，连接，则，所以，，所以，，故，设点、，则点，所以，，两个等式作差可得，可得，所以，，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.题型九：中点弦问题44．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．【解析】（1）由中垂线性质知，所以所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线设此双曲线方程为，则所以点的轨迹方程为．（2）设可得两式相减得由题意，所以直线方程为，由，得∵．∴不存在这样的直线．45．（2023·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.【解析】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.（2）设，则，两式相减得，即.因为线段的中点坐标为，所以，则，故直线的斜率为2.题型十：轨迹问题46．（2023·上海崇明·高二统考期末）在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是.【答案】【解析】因为点到点、的距离之和为，即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆，且，，所以，所以椭圆方程为.故答案为：47．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，所以，所以圆心的轨迹为椭圆.其中，，故，因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.故答案为：.48．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是.【答案】【解析】设，点P和定点连线的中点坐标为，则,又，∴，代入得，，∴，即点和定点连线的中点的轨迹方程是，故答案为∶．49．（2023·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.【答案】【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，由于动圆E与圆，都外切，设动圆E的半径为，则，所以，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，设方程为，则，所以E的轨迹方程为.故答案为：.50．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】圆，即，圆心为，，圆，即，圆心为，，设动圆的圆心为，半径为，由题意得，，则，所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，所以，，所以动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：.51．（2023·重庆·高考真题）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【答案】．【解析】由题意，在线段的垂直平分线上，则，所以，又，所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，，，，则，所以轨迹方程为．故答案为：．52．（2023·江苏·高二假期作业）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是．【答案】【解析】点到直线的距离比它到点的距离小，点到直线的距离与它到点的距离相等，点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，因此，设的轨迹方程为，，可得，解得，，动点的轨迹方程为．故答案为：．题型十一：定点定值问题53．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.【解析】（1）设点，则=，平方并整理得，∴曲线C的方程为.（2）证明:由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线C有两个交点.设的方程为，，联立得，其中，则，，由，得，.∴.∵直线过的外心，∴.∴·，即，解得或（舍去）.当时，满足.∴直线的方程为，∴直线过定点.54．（2023·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.【解析】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，化简可得（2）设直线方程为：，则与椭圆方程联立可得：，则，故或，设，则，.故.

.55．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）设椭圆C：的离心率为，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解析】（1）由题意直线l：，右焦点，F到直线l的距离为，解得，又，所以，则，∴椭圆C的方程为；（2）联立，解得或，不妨设，设，因为点P是椭圆上异于M，N外的一点，所以，则，，所以为定值.56．（2023·安徽滁州·高二统考期末）如图，已知平行四边形ABCD与椭圆相切，且，，，.

(1)求椭圆的方程；(2)若点是椭圆上位于第一象限一动点，且点处的切线与AB，AD分别交于点E，F.证明：为定值.【解析】（1）因为，，，，所以直线方程为：，直线方程为：，即，由题意直线与椭圆相切，所以，即椭圆方程为，联立消去y得，由题意，，解得，所以椭圆的方程为；（2）设点，则，由题意知，设直线的方程为，联立，消去得，依题意，直线与椭圆相切，则，即，再整理可得，因为点在椭圆上，所以，代入可得，则切线的方程为，令得，所以，由得，所以，所以，为定值，得证.题型十二：三角形与四边形面积范围与最值问题57．（2023·河南焦作·高二博爱县第一中学校考期末）已知O是平面直角坐标