5.1 任意角和弧度制（八大题型）（原卷版）

5．1任意角和弧度制【题型归纳目录】题型一：角的概念题型二：终边相同的角的表示题型三：角所在象限的研究题型四：象限角的判定题型五：区域角的表示题型六：弧度制与角度制的互化题型七：扇形的弧长及面积公式的应用题型八：扇形中的最值问题【知识点梳理】知识点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．知识点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点诠释：（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；（3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍．3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．知识点诠释：（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径．【典型例题】题型一：角的概念例1．下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角例2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（

）A． B． C． D．例3．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（）A．逆时针， B．顺时针，C．逆时针， D．顺时针，变式1．下列命题中正确的是（

）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差D．终边相同的角的弧度都相同变式2．下列说法正确的有几个（

）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个变式3．已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【方法技巧与总结】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．题型二：终边相同的角的表示例4．请写出与终边相同的最小正角：.例5．与角终边重合的角的集合是.例6．在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)；(2)；(3)．变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：(1)；(2)；(3)；(4)．变式5．写出与角终边相同的角的集合，并求在范围内与角终边相同的角．【方法技巧与总结】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法（1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法．（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．题型三：角所在象限的研究例7．已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．例8．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．例9．若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．变式6．若，，试确定，分别是第几象限角．变式7．若是第一象限角，问，，是第几象限角？变式8．已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.【方法技巧与总结】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意．题型四：象限角的判定例10．若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例11．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．例12．若为第二象限角，则的终边所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限变式9．若是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角变式10．若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式11．若是第四象限角，则一定是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧与总结】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法（1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β；（2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限．题型五：区域角的表示例13．用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

例14．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．例15．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

变式12．写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

变式13．写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

变式14．用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角包含边界，请用集合形式表示(1)(2)【方法技巧与总结】区域角的写法可（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角；（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．题型六：弧度制与角度制的互化例16．把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．例17．把下列各角的弧度化成度：(1)；(2)；(3)；(4)．例18．把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧与总结】①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法．题型七：扇形的弧长及面积公式的应用例19．我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周四步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长4步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步例20．在半径为9的圆中，的圆心角所对弧长为（

）A．900 B． C． D．例21．已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为（

）A． B． C． D．1变式15．已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（

）A． B． C． D．变式16．半径为4，圆心角为1弧度的扇形的面积是（

）A．6 B．7 C．8 D．9变式17．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B． C． D．变式18．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（

）

A． B． C． D．变式19．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（

）A． B． C． D．60【方法技巧与总结】有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式．题型八：扇形中的最值问题例22．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．例23．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．例24．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为(1)若，，求扇形的弧长(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．变式20．已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．变式21．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．变式22．如果一个扇形的周长为，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？变式23．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【方法技巧与总结】解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决【过关测试】一、单选题1．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（

）A． B． C． D．2．下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关3．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（

）.

A． B． C． D．4．二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（

）．

A． B． C． D．5．如图所示，已知的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从顺时针旋转到所形成的角的弧度数是（

）

A． B． C． D．6．已知为第二象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限7．设，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．8．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（

）A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为12110．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为＋3B．经过s后，扇形AOB的弧长为C．经过s后，扇形AOB的面积为D．经过s后，A，B在单位圆上第一次相遇11．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．三、填空题13．把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.14．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，