4.4 对数函数（十三大题型）（解析版）

4．4对数函数【题型归纳目录】题型一：对数函数定义的判断题型二：利用对数函数的定义求参数题型三：求对数函数的表达式题型四：对数型函数过定点问题题型五：对数函数的图象问题题型六：对数函数的定义域题型七：对数函数的值域与最值题型八：对数函数的单调性及其应用题型九：比较指数幂的大小题型十：解对数型不等式题型十一：判断对数函数的奇偶性题型十二：反函数题型十三：对数函数性质的综合应用【知识点梳理】知识点一、对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点诠释：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．知识点二、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点诠释：关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．知识点三、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点四、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．知识点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【典型例题】题型一：对数函数定义的判断例1．（2023·上海·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C例2．（2023·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数；②和③符合对数函数的定义，是对数函数；④中，底数不是常数，不是对数函数；⑤中系数不是，不是对数函数.故选：B.例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数(且)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.变式1．（2023·高一单元测试）下列函数中，是对数函数的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【解析】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选：D.变式2．（2023·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（

）A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx【答案】A【解析】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选：A．【方法技巧与总结】判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．题型二：利用对数函数的定义求参数例4．（2023·全国·高一专题练习）函数是对数函数，则实数a＝.【答案】1【解析】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：1例5．（2023·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则．【答案】4【解析】由题意知，，故答案为：4.例6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是对数函数，则．【答案】1【解析】因为函数是对数函数，则，解得．故答案为：1.变式3．（2023·高一课时练习）若函数是对数函数，则.【答案】5【解析】根据对数函数的定义有，解得，故答案为：5．变式4．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=.【答案】2【解析】因为函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，、所以a2+a-5=1得或a=2又a>0且a≠1，所以a=2.故答案为：2变式5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．【方法技巧与总结】的系数为1题型三：求对数函数的表达式例7．（2023·高一课时练习）如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是（写出一个即可）【答案】【解析】由题意，函数对任意的正实数a，b，都有，可考虑对数函数，满足，故答案为：.例8．（2023·全国·高一专题练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为.【答案】【解析】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以.故答案为：例9．（2023·上海·高一专题练习）函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是【答案】【解析】因为不妨取（且）又，所以，所以，所以；又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，又因为所以故答案为：变式6．（2023·高一课时练习）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．【答案】【解析】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.因此，所求函数解析式为.故答案为：.变式7．（2023·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为.【答案】【解析】设，结合已知有，∴，又且，∴，则，故答案为：.变式8．（2023·安徽芜湖·高一统考期末）函数为偶函数，当时，，则时，．【答案】【解析】时，，是偶函数，∴，故答案为：．变式9．（2023·甘肃白银·高一统考开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：．【答案】（答案不唯一）【解析】若，则，故符合题意的函数可以为.故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）.【方法技巧与总结】待定系数法题型四：对数型函数过定点问题例10．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为．【答案】【解析】令得，又，所以函数过定点即的坐标为故答案为：例11．（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过点．【答案】【解析】令，解得，此时，故（，且）的图象恒过点.故答案为：例12．（2023·高一课时练习）函数的图象过定点．【答案】【解析】∵令，则，，∴该函数过定点．故答案为：变式10．（2023·高一课时练习）函数（且）恒过定点.【答案】【解析】令得，此时，所以函数恒过定点.故答案为：.变式11．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象恒过定点，若定点在直线上，其中，则的最小值为.【答案】2【解析】由题意可得定点．又点在直线上，∴，则，当且仅当时取等号．所以的最小值为2.故答案为：2.变式12．（2023·全国·高一专题练习）幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点.【答案】【解析】因为幂函数在上单调递增，则，解得，所以，，令，可得，且，故函数的图象过定点.故答案为：.变式13．（2023·全国·高一假期作业）若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为．【答案】【解析】令，得.又，所以的图像经过定点.故答案为：【方法技巧与总结】令真数为1求解．题型五：对数函数的图象问题例13．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.例14．（2023·上海·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B例15．（2023·上海·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因为，（3）是，（4）是，又与关于轴对称，（1）是．故选：B．变式14．（2023·全国·高一专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C变式15．（2023·云南红河·高一校考期中）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.变式16．（2023·重庆云阳·高一重庆市云阳高级中学校校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C．变式17．（2023·全国·高一假期作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知，当时，，当时，，故，故选：D【方法技巧与总结】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．题型六：对数函数的定义域例16．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是.【答案】【解析】由题意可得，解得，即函数的定义域是.故答案为：例17．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得在R上恒成立，所以，解得.故答案为：.例18．（2023·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）函数的定义域为．【答案】【解析】由题意得，，解得，即函数定义域为，故答案为：．变式18．（2023·贵州铜仁·高一贵州省松桃民族中学校考阶段练习）已知函数，，且.(1)求的值；(2)求的定义域；【解析】（1）因为，所以，又因为，即，所以.（2）由（1）知，，若使有意义，只须，解得或，所以函数的定义域为.变式19．（2023·贵州毕节·高一校考期中）已知函数.(1)若的定义域为R，求a的取值范围；(2)若，求a.【解析】（1）因为若的定义域为R，所以对恒成立，所以，得，即a的取值范围为（2）由题意得，，，则，得，所以，得，解得或（舍）所以.变式20．（2023·四川凉山·高一统考期末）已知函数(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若的定义域为，求实数a的取值范围.【解析】（1）∵的定义域为∴对恒成立，当时，对不恒成立，故舍去．当时，．综上所述：的取值范围为（2）设，∵的定义域为，∴在上恒成立，当时，在［1,2]恒成立，当时，开口向上，对称轴，在单调递增，∴恒成立∴满足题意．当时，开口向下，在恒成立，则，，∵恒成立，∴解得，，∵恒成立，∴解得，综上所述：的取值范围为.变式21．（2023·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)若的值域为，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意得，对一切恒成立，当时，其充要条件是即∴或∴又时，，满足题意.综上：的取值范围为（2）当时，得或，检验得满足.当时，若的值域为.须满足即综上所述的取值范围为：.【方法技巧与总结】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．题型七：对数函数的值域与最值例19．（2023·陕西西安·高一统考期末）已知函数．(1)若的定义域为，求a的取值范围；(2)若的值域为，求a的取值范围：(3)若，求的值域：【解析】（1）的定义域为等价于恒成立，则，解得；（2）的值域为等价于是值域的子集，即存在，使得成立，则，解得；（3）时，，，又是递增函数，故，故的值域为.例20．（2023·河北石家庄·高一校考期中）函数的定义域为.(1)设，求t的取值范围；(2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值【解析】（1）在单调递增，故；（2），令，，则函数变形为，当时，，此时，解得，当时，，此时，解得例21．（2023·云南普洱·高一校考阶段练习）已知函数，，(1)求的取值范围；(2)求的值域.【解析】（1）因为在上是增函数，所以；（2）令，则，因为在区间上单调递减，在上单调递增，，，，所以，即的值域为.变式22．（2023·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．(1)当时，求在上的最大值与最小值；(2)求在上的最小值．【解析】（1）设（，且），∵的图像过点，∴，即，∴，即，∴．∵，∴，即．设，则，，∴，又，，∴．∴当时，在上的最大值为3，最小值为．（2）设，则，由（1）知，对称轴为直线．①当时，在上是增函数．；②当时，在上单调递减，在上单调递减，；③当时，在上单调递减，．综上所述，．变式23．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求的最大值及相应的．【解析】，，函数的定义域满足，即设，，由在区间上是增函数，．从而要求在区间上的最大值，只需求在区间上的最大值即可．在上是增函数，所以当，即时，．综上可知，当时，的最大值为.变式24．（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数，.(1)求实数的值；(2)，.求的最小值、最大值及对应的的值.【解析】（1）因为，则，所以.（2）由题设，，令且，故，则，当时；此时，当时；此时.变式25．（2023·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【解析】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.变式26．（2023·全国·高一专题练习）已知函数且．(1)当时，求的单调增区间；(2)是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．【解析】（1）时，，由解得或，所以的定义域为，函数图象开口向上，对称轴为，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知：的增区间为（2）令，则在上单调递减，当,且在区间上的值域是，即在区间上的值域是故必须，即,是的在上的两个不等实根.而与在上只有一个交点，不符合（舍）.当，且在区间上的值域是，即在区间上的值域是故必须，即，得，得，代入得：，同理，令，则在有两个零点，即，，，解得.变式27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）.(1)求函数的定义域；(2)若，求函数的值域；(3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由，解得的定义域为.（2）当时，，.因为的定义域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）因为函数在上的值域为，又，且，由的定义域得，所以.①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以无解.（或者因为，所以，所以无解），故此时不存在实数a，b满足题意.②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以，即解得或（舍），.综上，存在实数，.变式28．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）设函数，.(1)求的值；(2)若，求取值范围；(3)求的最值，并给出最值时对应的的值.【解析】（1）因为所以；（2）因为，所以，又，所以，即；（3）由已知，令，则，当即时，函数取最小值，最小值为，当，即时，函数取最大值，最大值为．【方法技巧与总结】数形结合题型八：对数函数的单调性及其应用例22．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题设，令，而为增函数，∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，，可得，∴的取值范围是.故答案为：例23．（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是．【答案】【解析】任取且，则，因为，所以，，即，所以在上单调递增，的单调递增区间是，故答案为：.例24．（2023·上海·高一专题练习）若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为函数是上的严格减函数，所以，即，解得.故答案为：.变式29．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数的单调递减区间为．【答案】【解析】由题意，函数满足，解得，即函数的定义域为，令，易知函数在上单调递增，在上单调递减，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数的单调递减区间为.故答案为：变式30．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考阶段练习）已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是.【答案】【解析】根据题意，由指数函数可知，当时，，又在区间内恒有，所以可得；易知函数对于恒成立，所以函数的定义域为，且函数在上单调递减；又，根据复合函数单调性可知函数的单调递减区间是.故答案为：变式31．（2023·全国·高一专题练习）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是.【答案】【解析】在单调递增，故在单调递减，则，又∵在恒成立，则，故，∴，故答案为：变式32．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意知，且，令，则其对称轴为，①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立，则，解得，②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立，则，解得，综述：或.故答案为：.变式33．（2023·陕西渭南·高一统考期末）已知函数（且）在上单调递减，则a的取值范围是.【答案】【解析】令，即单调递减，所以，即.故答案为：【方法技巧与总结】研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．题型九：比较指数幂的大小例25．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；；，∴.故选：A.例26．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意显然均大于0，所以，又因为在上单调递增，所以有，所以，所以，同理可得，又因为在上单调递增，所以有，所以，所以，综上所述：.故选：A.例27．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意可得，，利用对数函数单调性可知，即；又，可得；而，即；综上可得.故选：C变式34．（2023·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，，即，而，所以.故选：A变式35．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，，所以.故选：A变式36．（2023·全国·高一专题练习）已知，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，函数在上单调递增，所以.在上单调递减，所以，由于，所以，所以，综上所述，.故选：A变式37．（2023·甘肃定西·高一统考期末）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故选：C【方法技巧与总结】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．题型十：解对数型不等式例28．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为.【答案】或.【解析】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，所以在上递增，因为是定义在上的偶函数，所以由，得，所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.例29．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．【答案】【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数，则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.故答案为：.例30．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）设函数，则不等式的解集为【答案】【解析】函数定义域为，在单调递增，，所以函数为偶函数，若，则，则，解得或，即不等式的解集为.故答案为：变式38．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函数在为单调递减，所以可得，解得.故答案为：变式39．（2023·高一课时练习）若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是.【答案】【解析】∵，∴是减函数，即，则由可得，解之得.故答案为：.变式40．（2023·北京·高一校考期中）已知函数，则不等式的解集为.【答案】【解析】由题，，，因为在单调递增，所以，解集为.故答案为：.变式41．（2023·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上，求不等式的解集【答案】【解析】当时，，所以的图象恒过点，即，因为点在函数的图象上，所以，所以，得，所以，由，得，，所以，得，所以不等式的解集为，故答案为：变式42．（2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）不等式的解集是．【答案】【解析】由题意可设，定义域为，由于在都单调递增，故在上单调递增，且，故不等式的解集是，故答案为：变式43．（2023·全国·高一专题练习）解关于x的不等式解集为．【答案】【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化为，有，解得，因此，所以不等式解集为.故答案为：变式44．（2023·高一单元测试）已知函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】当时，，单调递减，且；当时，，单调递减，且；故可知在上单调递减，因此．故答案为：.变式45．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是.【答案】【解析】函数的定义域为.因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，又，所以不等式的解集为.故答案为：【方法技巧与总结】利用对数函数的单调性求解题型十一：判断对数函数的奇偶性例31．（2023·云南迪庆·高一统考期末）已知函数(1)若，求函数的定义域；(2)若函数是奇函数，求的值【解析】（1）由题意可知，若，则，则有，解得或，即函数的定义域为.（2）若函数是奇函数，则有，即，化简可得，解得，则，当时，，不满足要求；当时，，也满足要求；所以.例32．（2023·四川凉山·高一统考期末）已知为奇函数．(1)求的值；(2)判断的单调性，并证明你的结论．【解析】（1）由题意知是奇函数，得，而，所以，即，即，所以，，可得，当时，无意义；当时，，由可得，合乎题意，因此，．（2）是定义在上的增函数，证明如下：任取、，且，由（1）知，令，则，由、，且得：，，，所以，所以，，所以，，因此，函数是定义在上的增函数．例33．（2023·山东青岛·高一校考期中）设为奇函数，为常数．(1)求的值；(2)证明在区间上单调递增．【解析】（1）因为为奇函数，所以，所以．所以，即，所以或，当时，，此时不成立，故；（2）证明：由（1）可知，令，，，且，则．因为，所以，，，所以，即，所以函数在上是减函数．又因为函数在上是减函数，所以在上为增函数．变式46．（2023·贵州毕节·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）∵当时，当，则，可得，又∵是奇函数，所以，综上可得：.（2）对任意的，且，则，且在定义域内单调递增，可得，故，即，故在上是增函数，由为奇函数，则在上也是增函数，故在上为增函数，若，则，又∵是奇函数，所以，故原不等式等价于，且是上的增函数，则，解得，故不等式的解集为．变式47．（2023·江苏·高一校考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数．(1)求实数的值；(2)记，①当时，求的值域（用表示）；②若存在r，s，，使得，求实数的范围．【解析】（1）∵是定义在上的偶函数．∴对任意成立，即对任意成立，即对任意成立，即对任意成立，即对任意成立，所以．（2）①由（1）得当时，令，则，，令，下面证明在上单调递减，在上单调递增，当时，对任意，且，，∵，，∴，∴在上单调递减，同理可证在上单调递增，∴，∴，∴的值域为②由①可知，，，所以，存在实数r，s，，使得等价于，而若，则或，即或，故当时，，所以，变式48．（2023·上海·高一专题练习）已知函数的定义域为集合A，集合，且．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：函数是奇函数但不是偶函数．【解析】（1）由＞0得，∴函数的定义域；又，且，∴，解得，即；（2）∵，∴，，∴函数是奇函数但不是偶函数．变式49．（2023·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)若，求实数的值；(3)若，求证：为偶函数，并求的解集.【解析】（1）要使得有意义，只需，得，故得，所以函数的定义域为；（2）因为，得，即，解得；（3）因为，由，得或，则的定义域为，又，所以为偶函数；由，得，则，所以或，所以的解集为或.变式50．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知函数为上的偶函数．(1)求实数k的值；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．【解析】（1）由函数为R上的偶函数，则，即.即，解得.当时，..则，即为R上的偶函数；（2）对任意恒成立，即，

令，因函数在上单调递增，则.令，则，当且仅当，即时取等号.而函数为单调递增函数，所以，

所以，即．变式51．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考阶段练习）已知函数.(1)判定函数的奇偶性，并加以证明；(2)判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集.【解析】（1）是奇函数，理由如下：由题意，解得，即的定义域关于原点对称，且，即，所以是奇函数.（2）由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增，由（1）可知的定义域为，且是奇函数，所以，因为在定义域上单调递增，所以有，解不等式组得，即，所以不等式的解集为.【方法技巧与总结】断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数．（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数．题型十二：反函数例34．（2023·高一课时练习）的反函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为.故选：B.例35．（2023·湖北孝感·高一统考开学考试）已知函数与函数互为反函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以其反函数为，即，所以，故选：D.例36．（2023·北京·高一校考期末）已知函数的图像与的图像关于直线对称，则（

）A． B．10 C．12 D．【答案】C【解析】因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数，所以，所以，故选：C.变式52．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数过点，则，解得，∴，的反函数为，得，由，∴的定义域为，当，有，则的值域为.故选：D变式53．（2023·江西南昌·高一校考阶段练习）函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由条件求得，利用复合函数的单调性同增异减即可得解.由题意可得函数，则令，求得，故的定义域为，根据复合函数的单调性同增异减可知，即转化为求函数在上的减区间.所以由二次函数的性质可得函数在上的减区间为，故选：B.变式54．（2023·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（

）A． B．6 C． D．7【答案】D【解析】由已知，函数与函数互为反函数，则．由题设，当时，，则．因为为奇函数，所以.故选：D．变式55．（2023·北京·高一清华附中校考期末）已知是函数的反函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．10 D．100【答案】A【解析】因是函数的反函数，则，，所以的值为0.故选：A变式56．（2023·高一课时练习）关于的方程，的根分别为，，则的值为（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，．作出，和的图象如图所示．，两点的横坐标分别是，，点，关于直线对称，∴，两点的中点是．联立和，求得点的横坐标为，∴．故选：A变式57．（2023·高一单元测试）设函数（），若存在，使得，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为,所以,因为与关于直线对称,所以,因为,所以,即,则,所以,设,因为在上单调递增,所以,因为存在,使得,所以,故选:B【方法技巧与总结】反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．题型十三：对数函数性质的综合应用例37．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的最大值，并给出函数取最大值时对应的的值；(2)解不等式.【解析】（1）设，则，对称轴为，二次函数图象开口向上，故当时，即时，.（2）因为，所以，解得或，即或，所以不等式的解集为或.例38．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性；(2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围；(3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围；【解析】（1）对于函数，有，即，解得，所以，函数的定义域为，函数在其定义域上为增函数，证明如下：任取、且，即，则，因为，则，则，且，，，，则，所以，，所以，，所以，，所以，函数在其定义域上为增函数.（2），当时，，则，则，则，因为函数在上单调递增，且，，故函数在上的值域为，则，对，都，使得成立，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.（3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为，因为函数，若对，都存在，使得成立，则，即，，令，则，可得，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，，所以，，解得，故实数的取值范围是.例39．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）．(1)若函数为奇函数，求实数的值；(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立．即，则，即．又因为，所以，故．（2）因为，所以．由，得到，又，故只需要，即对任意恒成立．因为，所以，故对任意的恒成立．因为在为减函数，所以，故．综上所述，．变式58．（2023·全国·高一专题练习）已知函数(1)当时，求函数的定义域；(2)当时，求关于的不等式的解集；【解析】（1）当时，，故，解得，故函数的定义域为；（2），由，得，所以的定义域为，任取，且，则，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以在上的单调递增，所以由，得，解得，所以的解集为.变式59．（2023·全国·高一专题练习）已知函数为偶函数.(1)解关于x的不等式；(2)若在区间上恒成立，求a的取值范围.【解析】（1），由于函数为偶函数，所以，即，即，即恒成立，∴.所以不等式为，解得：，所以原不等式的解集是.（2）由题得恒成立，即恒成立，因为，所以，所以恒成立，令，令，则，因为在单调递增，所以函数在上单调递减，故.∴.∵对任意的恒成立，且，∴.∴实数a的取值范围是.变式60．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，是偶函数.(1)求的值；(2)若函数的图象在直线上方，求的取值范围；(3)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵，所以，即，即，即，即，∴，对任意恒成立，所以，.所以，.（2）函数的图象在直线上方，等价于对任意的成立，即.即对任意的成立.令，在上单调减，而，所以，由此.（3），令，则，.①当，即时，在递增，从而，舍去；②当，即时，在上递减，在递增，从而，则；③，即时，在递减，从而，则舍去.综上：.【方法技巧与总结】如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．【过关测试】一、单选题1．（2023·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，ABC选项，在R上单调递减，在R上单调递增，在上单调递增，ABC错误；D选项，在上单调递减，在上单调递增，不妨设，与函数，，两者的值域相同，为同值函数，D正确.故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，又，所以原函数可变为，，所以，，所以的值域为.故选：A.3．（2023·福建·高一校考期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，显然满足，但是对数式没有意义，因为函数是正实数集上的增函数，所以由，因此是的必要不充分条件，故选：B4．（2023·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】因为函数为幂函数，所以，得，即，函数且的定点为，即.故选：D5．（2023·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，单调递增且，所以当时，也单调递增，则解得，所以.故选：B.6．（2023·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，可知的定义域为，可得，解得，关于不等式，即，整理得，且在定义域内单调递增，则，结合，解得，所以不等式的解集为.故选：D.7．（2023·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）关于函数，下列描述不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则【答案】D【解析】因为，将关于y轴对称，可得，将位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得，将向右平移2个单位，可得，据此可得的图象，结合图象可知：函数在区间上单调递增，函数的图象关于直线对称，函数的图象与x轴有且仅有两个交点，故A、B、C正确；例如：，可得满足选项D条件，但，故D错误；故选：D.8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减.，，，所以.故选：B二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】若，则函数的图象单调递减且过点，函数的图象单调递减且过点；若，则函数的图象单调递增且过点，而函数的图象单调递增且过点，只有A,C的图象符合．故选：AC10．（2023·全国·高一随堂练习）函数中，实数的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5【答案】AC【解析】因为，所以根据对数函数的定义得：，即：，所以或，故选：AC.11．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习）已知函数在上是减函数，则实数可能值是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【解析】函数的图象开口向上，对称轴为.在上单调递减.要使在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知：，解得，所以CD选项符合，AB选项不符合.故选：CD12．（2023·全国·高一专题练习）设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为是上的单调函数，且对于任意，设，其中为常数，即