2023年高考数学一轮复习习题：第七章 不等式、推理与证明

第七章DIQlZHANG

7不等式、推理与证明

第1节不等式的性质与一元二次不等式

考纲要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背

景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不

等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次

不等式，会设计求解的程序框图.

、知识分类落实回扣知识・夯实基础

知识梳理

1.实数大小比较的依据

⅛>0;

⑵a=bQa-b=O;

(3)a<b^a~b<O.

2.不等式的性质

(1)对称性：a>b^b<a;

(2)传递性：a>bfb>c^a>c;

(3)可加性：a>h<^a+c>b+c↑a>b,c>d^a+c>h+d;

zz

(4)可乘性：a>b,c>O^ac>bc↑a>b,c<O>ac<⅛c;a>b>Ofc>d>O^ac>bd；

(5)可乘方：a>b>O^an>b,∖n≡N,n≥l);

(6)可开方：α>4>0今μ>%SeN,π≥2).

3.三个“二次”间的关系

判别式/=∕-4αCJ>0J=O/V0

y=ax1+bx+c1/

*ι∖∣o∕χ2X

(〃>0)的图象O∣^=Λ∙2X

有两相等实根ɪ

0r2÷⅛x÷c=0(tz>O)有两相异实根

b没有实数根

的根XI，X2(X1VX2)无产及=一五

{X∣X>X2

0r+⅛x+c>0(Λ>0)R

或XVxl)k≠^½}

的解集

αx2+⅛Λ+c<0(α>0)

[x∣X]VXVX2}00

的解集

•——常用结论与微点提醒

1.有关分式的性质

“„,hb^irmhb~m

⑴若α>b>O,m>Q,贝IJ-<^3Σ-；->(b-m>0).

v,aa+maa-mγ'

⑵若ab>O,且

2.对于不等式Or2+6x+c>0,求解时不要忘记α=0时的情形.

3.当/<0时，不等式αr2+bx+c>O(αWO)的解集为R还是0,要注意区别.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(l)α>⅛<≠,ac2>⅛c2.()

(2)若不等式加+6x+cV0的解集为(xι,及)，则必有n>0.()

⑶若方程θΛ2+bx+c=0m<0)没有实数根，则不等式0x2+bx+c>0(α<0)的解集为R.()

(4)不等式ax2÷⅛x÷c≤O在R上恒成立的条件是a<0且/=〃-4α(W0.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

解析(1)由不等式的性质，ac2>bc2=>a>b;反之，C=O时,a>b^ac2>hc2.

(3)若方程αx2+bx+c=O("<O)没有实根，则不等式Or2+⅛r+c>0(a<0)的解集为0.

(4)当α=b=O,c≤0时，不等式αt2+fex+c≤0也在R上恒成立.

〉教材衍化

2.己知集合A={X∣X2-5X+4<0},8={X∣Λ2—X-6<0},则AnB=()

A.(-2,3)B.(1,3)

C.(3,4)D.(-2,4)

答案B

解析由题意知A={x∣la<4},B={Λ-∣-2<T<3},

所以ACB=(1,3).

3.若α>0>0,c<d<O,则一定有()

〃

。4

C>一D-<

一

CdC

答案B

解析因为c<d<O,所以Ow，两边同乘一1，得一丐>一（>°，又a>b>O,故由不

等式的性质可知一，>—§>0.两边同乘一1,得号

>考题体验

4.（2020.厦门期末）设α,⅛∈R,则''α>2且b>l”是aa+b>3Kab>2n的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若4>2且人>1,则由不等式的同向可加性可得α+b>2+l=3,由不等式的同向同正

可乘性可得加>2X1=2.即ua>2且b>Γ是ua+b>3且ab>2n的充分条件；反之，若ua

+⅛>3ɪah>2n,贝Il''4>2且比>1"不一定成立，如n=6,A=g.所以''4>2且h>l”是

+8>3且帅>2”的充分不必要条件.故选A.

5.（2020・镇江期末）某辆汽车以Xkmyh的速度在高速公路上匀速行驶（60WXWI20）,每小时

的油耗（所需要的汽油量）为芥一4+一）L,其中左为常数.当汽车以120km/h的速度行

驶时，每小时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则速度X的取值范围为（）

A.f60,120]B.[60,100]

C.[45,100]D.[45,120]

答案B

解析由题意得*120T++贽=11$,解得A=IoO,故每小时的油耗为氏+牛）-20

L,

依题意得!（x+W^）一20≤9,解得45≤xW100,又60≤xW120,

所以60WXWlOO.故选B.

6.（2021•北京海淀区调研）若关于X的不等式小一日<1的解集是全体实数，则实数k的取值

范围是.

答案（一4,0]

解析当A=O时，0<1恒成立，

当AWO时，要使依一fcr-l<O的解集是全体实数，

p<o,

只需满足

l⅛2+4Λ<0,解得一4<Z<0.

综上可知，-44<0.故％的取值范围是（-4,0].

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一不等式的性质及应用自主演练

1.若聂<0,则下列结论不正确的是()

A.a2<b2B.ab<b1

C.a+b<OD.∖a∖+∖b∖>∖a~∖-b∖

答案D

解析由题意可知b<α<O,所以A,B,C正确，而同+族|=一α-b=∣a+b∣,故D错误.

2.若4<0,/?<0,则P=5+不与夕=α+b的大小关系为()

A.p<qB.PWq

C.p>qD.p》q

答案B

Ba2

解析(作差法)〃-4=5+万一。一6

bλ-a1a2-b21、

=^-+l~Γ~=9d9七F

(序一g2)(b—α)3—aj1(b+α)

ab~~ab,

因为α<0,∕κθ,所以〃+/?<(),ab>O.

若则p—q=。，故p=q;

若a≠b,则p—qvO,故p<q.

综上，p≤q.故选B.

3.若甘<α<g,则a一4的取值范围是.

答案(一兀，0)

解析⅛—Sa<β,

得一兀Va—β<0.

4.设/U)=ac2+bx,若1三人—1)W2,2勺(1)W4,则八一2)的取值范围是.

答案[5[0]

解析法一设八-2)=〃出-1)+研1)(机，〃为待定系数)，则4。-2b=机(〃一与+〃(〃+。),

即4a~2b=(in÷n)a÷(n—m)b.

〃z+〃=4,m=3,

于是得解得

n~m=-2,n=l.

.∙.y(-2)=3Λ-i)+Xi).

又・・・l〈y(-l)W2,2W/(l)W4.

Λ5≤3∕(-l)+Λl)≤10,

故5≤χ-2)≤10.

∣∕(-l)=αi,

法二由

∣7(∣)=tz+⅛

P=∣[Λ-i)+Λi)],

得1

^=2[Λ1)-Λ-1)].

.∙.Λ-2)=4Ω-2∕>=3Λ-1)+Λ1).

又YlW式-1)W2,2W7(1)W4,

Λ5≤3∕(-l)+y(l)≤10,故5≤χ一2)≤10.

1≤α一⅛≤2,

法三由2。+庆4确定的平面区域如图阴影部分所示，

a-b=l

/«-6=2

<B(3J)

®+〃=J'

a+b≈2

当负-2）=4α-2b过点A（|,9时,

31

取得最小值4×2~2×2=5,

当/-2)=4〃-2b过点8(3,1)时,

取得最大值4X3—2X1=10,

Λ5≤Λ-2)≤IO.

感悟升华1.比较两个数（式）大小的两种方法

-I作差法I—Γ~∣判断差与（>的大小∣~~∣

变结

形论

Ll作商法|_」—I判断两与I的大小—

2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特

殊值验证的方法.

3.利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了

变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后

通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

考点二一元二次不等式的解法师生共研

【例1】（1）不等式042—X—2W4的解集为.

（2）已知不等式axi-bχ-1>0的解集是卜|一g<r<一玉，则不等式x1-bχ-a^0的解集是

答案(l){χ∣-2≤x<-l,或2<xW3}(2){x∣x23,或xW2}

解析(1)原不等式等价于

[x2-X—2>0,[x2-X-2>0,

.x2-%—2W4,%2-x—6W0,

x>2或xv—1,

—2≤x≤3.

故原不等式的解集为｛x|—2Wx<—1,或2<犬W3｝.

(2)由题意，知一2,—W是方程ax1-bχ-1=O的两个根，且4V0,所以

故不等式x2-bx-a^0为X2—5x÷6≥0,

解得x23或Λ≤2.

所以，所求不等式的解集为｛x∣x23或xW2｝.

［例2］解关于X的不等式ax2-2^2x-ax(a^R).

解原不等式可化为Or2+(α—2)x—220.

①当。=O时，原不等式化为x+lWO,解得—L

②当”>0时，原不等式化为(X—孤+1)20,

2

解得或Λ≤—1.

③当«<o时，原不等式化为(X—5α+i)≤o.

党2>一1，即。<一2时,解得一1WXW今2

当：2=—1,即a=—2时，解得x=-1满足题意；

当K2一I,即一2<“<0时，解得2"XW-L

综上所述，当α=0时，不等式的解集为｛x∣xW-l｝;

当α>0时，不等式的解集为卜卜》［或xW-l｝；

当一2V4V0时，不等式的解集为卜EWXW_1)；

当〃=一2时，不等式的解集为｛—1｝；

当〃<一2时，不等式的解集为｛x∣-l≤xW,,

感悟升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不

等式或二次项系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与0的关系.

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定

解集形式.

【训练1】(1)(2021•西安一模)关于X的不等式OX的解集是(1,+∞),则关于X的不

等式(G+切。-3)>0的解集是()

A.(一8,-1)U(3,+∞)B.(1,3)

C.(-1,3)D.(一8,1)U(3,÷oo)

答案C

解析关于X的不等式"一〃<0即公<。的解集是(1,+∞),.∖a=h<0,

不等式(0x+6)(χ-3)>0可化为(x+l)(χ-3)<0,解得一l<x<3,

・•・所求不等式的解集是(一1,3).

(2)解不等式12Λ2-ΛX>q2(α∈R).

解原不等式可化为1*一如一层>0,

即(4x+α)(3χ-6F)>0,令(4X+α)(3χ-〃)=0,

A力，日aa

解付Xl=%2=?

当α>0时，不等式的解集为(一8,U(J,+8)；

当α=0时，不等式的解集为(-8,0)U(0,+∞);

当“<0时，不等式的解集为(一8,到u(-*+8)

考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究

角度1在实数第R上恒成立

【例3】对于任意实数X,不等式(a—2)x2-2(a—2)x—4<0恒成立，则实数。的取值范围

是()

A.(-∞,2)B.(一8,2]C.(-2,2)D.(-2,2]

答案D

解析当〃-2=0,即。=2时，一4<0恒成立；

当。一2#0,即时，

[a~2<0f

则有，

、|/=[一2(〃-2)F-4X(〃-2)X(-4)<0,

解得一2<〃<2.

综上，实数。的取值范围是(一2,2］.

角度2在给定区间上恒成立

［例4］设函数段)=)α―蛆―1(加#0),若对于x∈［1,3］»√U)V—机+5恒成立，则m

的取值范围是.

6

案-

答7

解析要使.∕U)V+5在［1,3］上恒成立，

故nιx2-mx+m-6<0,

则从％—6VO在X£［1,3］上恒成立.

法一令g(x)=m；)+微机一6,x∈［I,3］.

当相>0时，g(x)在［1,3］上是增函数，

所以g(X)max=g(3)=7m—6V0.

所以“V/则OVmV1

当WVO时,g(x)在［1,3］上是减函数,

所以g(χ)max=g(l)=m-6V0.

所以mV6,所以mV0.

综上所述，机的取值范围是｛mOV加V3或次Vo

法二因为x2-x+1ɪ(ɪ-1^)2+∣>0,

又因为∕n(x2-x÷1)—6<0,所以/nV］_6.

6

在［］上的最小值为与，所以只需根<与即可.

因为函数31,3

+-

4

因为，"WO,所以的取值范围是,OCmeE或机<0j.

角度3给定参数范围的恒成立问题

【例5】对任意"店［-1,1］,函数兀T)=X2+(,"-4)x+4-2,"的值恒大于零，求X的取值

范围.

解由βx)=x2+(∕n-4)x+4-2m

=(χ-2)A7∕÷Λ2-4x÷4,

令gθ)=(χ-2)ZH+Λ2-4x+4.

由题意知在上，g(〃。的值恒大于零，

⅛(-1)=(-Ν-2)×(-1)+X2-4X+4>0,

Zl,g(l)ɪ(ɪ-2)÷x2-4A-÷4>0,

解得x<l或x>3.

故当χG(-8,i)U(3,+8)时，对任意的机∈[-ι,i],函数Kr)的值恒大于零.

感悟升华1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定

的区间上全部在X轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴

下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.

2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，

求谁的范围，谁就是参数.

【训练2】函数次X)=1+以+3.

⑴若当XeR时∙，K幻》“恒成立，求实数α的取值范围；

(2)若当Xe[—2,2]时，兀02〃恒成立，求实数”的取值范围;

⑶若当αC[4,6]时，∕U)20恒成立，求实数X的取值范围.

解(I)：当XGR时，Λ2+OX+3-恒成立，

需∕="2-4(3-a)W0,即°2+44—12W0,

解得一6WaW2,实数4的取值范围是[―6,2].

(2)由题意可转化为Λ2+αr+3-α20在Xe[—2,2]上恒成立，

令g(x)=f+αr+3-α,

j∕>0,

则有①/WO或②<一5<一2,或

,g(-2)=7-3α20,

J>0,

一分2,

{g(2)=7+a20,

解①得一6W4W2,解②得a∈0,解③得一7Wa<-6.

综上可得，满足条件的实数”的取值范围是[—7,2].

(3)令h(a)-xa+x2+3.

当α∈[4,6]时，∕z(α)20恒成立.

收)皿即，X2+4X+3)0,

只需

,Λ(6)≥0,.f+6x+320,

解得XW—3—或x≥-3+√6.

・•・实数%的取值范围是(-8,-3-√6]U[-3+√6,+8).

拓展视野/-元二次方程根的分布情况

一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与X轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根

的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究.往往根据方程根的情况

结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围.

【例1】已知二次方程(2〃z+1)%2—1)=0有一正根和一负根，求实数机的取值

范围.

解设J(X)=(2加÷1)Λ2-2∕ΠΛ+(∕7∕-1),

由(2m+l)√(O)V0,即(2机+1)(加-1)<0,

解得一拉机<1,即力的取值范围为(一+1).

【例2】已知方程2x2-("+l)x+机=O有两个不等正实根，求实数机的取值范围.

2

解设<x)=2x-("z+l)x+ιn9

p>0,

(机+1)2—8∕n>0,

,I—(∕n+1)

由^-9V?J>0,=>«m>—ɪ,

ZʌZ

jn>O

J(O)>0

λ∏<3—2书>或m>3+,LL,一，

今〈今OVmV3-2&或∕w>3+2陋，即TW的取值氾围为(0,3—

[m>0

2√2)U(3+2√2,+∞).

【例3】已知二次函数/(x)=θ+2)x2-(2nz+4)x+3,"+3与X轴有两个交点，一个大于1,

一个小于1，求实数W的取值范围.

解由("i+2)√(l)<0,

即(机+2)∙(2m+I)VO=>—2VmV—

即m的取值范围为(-2,一W).

'课后巩固作业L分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(202卜石家庄模拟)已知集合4={小2—2%—3>0},8={川馆(》+1)<1},则((RA)CB=()

A.{x∣-l≤x<3}B.{x∣-l≤x≤9}

C.{x∣-l<x≤3}D.{x∣-l<r<9}

答案C

解析由x2—2x—3>0,得x<—1或x>3;由lg(x+l)≤l,得0<x+l≤10,解得一l<x≤9.

所以A={x∣χv-1或x>3},5={x∣-l<x≤9},则(RA=3一1WxW3},因此，(CRA)∩B={x∣

-l<x≤3},故选C.

2.（2020・汉中二模）若α<XO,则下列不等式中不成立的是（）

A.⑷阳B∙

c∙¼d∙层>〃

答案B

解析由于“<⅛<0,两个负数中，较小的其绝对值较大，于是间>|"，故A正确；函数4x）

=L在（-8,0）上单调递减，又〃<“一*0,所以=故B错误；因为α<6<0,所以

ΛClOClUCl

故C正确；两个负数，越小的其平方越大，所以当时，a1>b2,故D正确，综上，只

有B项错误.

3.若α>0,且αW7,则（）

A.l1aa<Ta,

B.770a=7⅛7

C.l1cta>7aa,

D.77<τu与7%7的大小不确定

答案C

解析券77"7=肌,

7

则当α>7时，0<-<1,7-«<0,

则（O'I-""》""；

当0<”7时，41,7-6∕>0,则S’-"，，

.∙.774">7"/.综上，l1a,'>Ta1.

4.（2021・武汉调研）已知实数α,b,C满足c<⅛<",那么“αc<O”是“加>ac”成立的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析已知c<h<a,若ac<O,则必有c<0<«,由b>c,可得αb>αc,即ac<O=>ab>ac;若ah>ac,

且c<⅛<α,则α>0,b,C符号不确定，不一定有4c<O.因此，""c<O''是"">αc''成立的充分不

必要条件.

5.（2020•廊坊调研）已知函数y（x）=（αr-l）（x+8）,如果不等式,/（x）>0的解集为（一1,3）,那么

不等式人一2x）<0的解集为（）

答案A

解析由/(x)=(0r-l)(x+b)>O的解集是(一1,3),

则〃<0,故B=-1,-⅛=3,

即Q=-19b——3.

∙∖∕U)=-X2+2Λ+3,

ΛΛ-2x)=-4√-4%+3,

13

由—4x2-4x÷3<0,解得x>,或犬<—5，

故不等式式一2x)<0的解集是

(-8,-j)ug,+8)故选A.

6.己知XC(O,+∞),不等式9"-,τr3∙t+%+l>0恒成立，则机的取值范围是()

A.(2-2√2,2+2√2)B.(-∞,2)

C.(-∞,2+2√2)D.[2+2√2,+∞)

答案C

解析法一令f=3*(f>l),则由已知得，函数加)=/2—mf+m+l在f∈(l,+8)上的图象

恒在X轴的上方，

则有/=(一㈤2—4(%+1)<0

心0,

y≤l,解得相<2+2啦.

｛Xl)=1—〃?+，〃+120,

法二因为1∈(0,+∞),所以3*>13-l>0,

,9v+1

所以由9Λ-∕w∙3x÷m+1>0得m<^一^

3—1

Λ

ʌZy9+1

令yu)=3A■-V

9Λ+12

因为危)=豕=7=3,—1+英力+2》26+2(当且仅当3工=1+啦时取“=”)，所以机<2+

2√2.

二、填空题

7.若不等式x2+0x+4<0的解集不是空集，则实数α的取值范围是.

答案(一8,-4)U(4,+∞)

解析由题意得/=∕-4X4>0,即42>i6.

a>4或〃<—4.

8.已知集合4={-5,-1,2,4,5),请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集

合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是.

答案(x+4)(χ-6)>0(答案不唯一)

解析因为不等式(X+4)(χ-6)>0解集为{x∣x>6或x<—4},解集中只有一5在集合A中.

9.设“<0,若不等式一cos2χ+(α-1)COSX+片》0对于任意的χ∈R恒成立，则α的取值范

围是.

答案(-8,-2]

解析令f=cosx,f∈[-l,l],则不等式[f)=Z2-(α—Df-MWQ对t∈[-l,l]恒成立,因此

∣Λ-1)≤O,[a-α2≤O,

)今Va<O,.∙.αW-2.

W1)≤O[2-a-a2≤0,

三、解答题

10.己知y(x)=-3x2+α(6-α)x+6.

(1)解关于a的不等式犬1)>0；

(2)若不等式式x)>b的解集为(一1,3),求实数m6的值.

解(1)由题意知火1)=-3+α(6—α)+6=—«2+6«+3>0,即a2—6«—3<0,解得3—2∖∣3<

α<3+2∙∖∕3.

所以不等式的解集为{4∣3-2√5<“<3+2√5}.

(2)∙∙7(x)>b的解集为(一1,3),

方程-3x2+α(6—a)x+6—b=0的两根为一1,3,

I(1)十3—3»

解得-

6~b1⅛=3.

[(-1)X3=一^,

故Q的值为b的值为-3.

11.甲厂以X千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1W%W1O),每小时可获得的利

润是100(5x+1—g元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3OOO元，求X的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利

润.

解(1)根据题意，得200(5x+1—00(),

3

整理得5χ-14一标20,即5『一14χ-320,

又IWXWl0,可解得3WxW10.

故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3OOO元，X的取值范围是［3,10］.

(2)设利润为y元，则

产等100(5x+l-5

=9Xlθ(5+;一勾

=9Xlθf-3->+号］，

故当x=6时，Vmax=457500元.

即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500

元.

B级能力提升

12.(2021•北京通州区期中)2014年6月22日，中国大运河项目在卡塔尔首都多哈召开的第

38届世界遗产大会上成功入选世界遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运

河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游

览目的地.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发至漕运码头，又立即返回奥体公园码

头.已知游船在顺水中的速度为在逆水中的速度为。2(5#。2)，则游船此次航行的平均

速度石与WB的大小关系是(

)

A—V∖+V2—V∖+V2

A.V>-2-B.V=ɔ

〃一v↑+v—^V∖+V

--22

C.V<2D.v

答案C

252V↑V201+。22。卬2。1+。2

解析设两码头的距离为S,则υ9V

S_,S_~V\+V220+O22

V∖V2

4w;-(υ∣+υ)2-(.Vi-V)2,、„—v↑+v2共、上门

22何+⑸2=2@+⑸2nz即a。vʃ,故选C.

13.(2020•安徽江南十校联考)已知函数危)是定义在R上的奇函数，且当X20时，yU)=3∕,

且不等式兀r+机2)2MX)对任意的x≡［m,m+2］恒成立，则实数m的取值范围是

答案(-8,-1]U[2,+8)

解析・・7(x)为奇函数，,・小一X)=-Xx).

设x<0,则一x>O,/(X)=-A—x)=-3f,

3X2(X2O),

故"r)={9

八[-3X2(X<0).

[3(2X)2(X^0),

从而4/㈤==∕2x),

[―3(2x)2(x<0)

故不等式TU+加2)2MX)同解于yu+m2)为(2x),

又7U)为R上的单调增函数，故元+/22羽

即"?22X对任意的X∈[加，加+2]恒成立,

∕772≥7H÷2,即"7《一1或加22.

14.若二次函数yζx)=0r2+fer+c(α≠0),满足«x+2)—/(x)=16X且Ao)=2.

⑴求函数7U)的解析式；

(2)若存在χS[I,2],使不等式段)>2x+m成立，求实数机的取值范围.

解(1)由火0)=2,得c=2,

所以/U)=αx2+bx+2(〃#0),

22

由βx+2)-βx)=[a(χ-h2)+b(x+2)+2]-(ax+bx+2)=4ax+4a+2bf

又#x+2)—/U)=I6认得4cιx+4a+2b=16x,

4a=16,

所以故α=4,b=—8,

4α+2b=0,

所以7U)=4/一8x+2.

(2)因为存在x∈[l,2],使不等式∕x)>2x+m成立,

即存在x∈[l,2],使不等式用<4/-10/+2成立，

令g(x)=4Λ2-l(k+2,x∈[l,2],

故g(x)max=g(2)=-2,所以机<一2,

即m的取值范围为(—8,—2).

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义,

能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问

题，并能加以解决.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

I.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+OO直线Ar+By+C=O某一侧的所有不包括边界直线

Ax+By+点组成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.点P1(xl,%)和P2(x2,竺)位于直线Ar+By+C=O的两侧的充要条件是(4x∣+Byι+θ(Ax2

+By2+C)<0;位于直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Arl+8“+O(Ax2+By2+C)>0.

3.线性规划的有关概念

名称意义

线性约束条件由X,)，的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对X,y的约束条件

目标函数关于X,y的解析式

线性目标函数关于X,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x,v)一

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

•——常用结论与微点提醒

⅛

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证.

2.判定二元一次不等式表示的区域

(1)若β(Ajv+By+O>0时，区域为直线Ar+B.y+C=O的上方.

(2)若B(Ar+By+Q<0时，区域为直线Ar+8y+C=O的下方.

诊断自测

〉思考辨析

I.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

⑴不等式Ax+By+C>O表示的平面区域一定在直线Ar+By+C=O的上方.()

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()

(4)在目标函数Z=OX+by(bWO)中,Z的几何意义是直线0v+fey-Z=O在y轴上的截距.()

答案(I)X(2)√(3)√(4)X

解析(1)不等式χ-y+l>O表示的平面区域在直线χ-y+l=O的下方.

Z

(4)直线ax+by-z=Q在y轴上的截距是会

〉教材衍化

x—3y+620,

2.不等式组，表示的平面区域是()

x-y+2<0

答案B

解析X—3y+6N0表不直线X—3y+6=0及其右下方部分，x—y+2V0表不直线X—y+2

=O左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.

PWX,

3.己知X,y满足约束条件*+y≤l,则z=2x+y+l的最大值、最小值分别是()

L≥-ι-

A.3,13B.2,—4

C.4,-2D.4,-4

答案C

解析不等式组所表示的平面区域如图所示.

其中4(一1,-1),B(2,-1),

回直线/o：y=-2x,平移∕θ过B时，ZmaX=4,平移/o过点4时，Zmin=-2.

＞考题体验

(X—3y+1WO,

4.(2020•浙江卷)若实数x,y满足约束条件-、则Z=X+2y的取值范围是()

(x+yl—3^0,

A.(-8,4]B.[4,+∞)

C.[5,+∞)D.(—8,+∞)

答案B

解析画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x+2y=0,平移该直线，易知当直线经

过点4(2,1)时，z取得最小值，Zmin=2+2X1=4,再数形结合可得z=x+2y的取值范围是[4,

÷∞).

x+y—2W0,

5.(2020・汉中质检)不等式组上一y一1≥0,所表示的平面区域的面积等于

冷0

算案ɪ

日禾4

解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,

通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A(|,I),8(1,0)和C(2,0)为顶点的三角

形区域(含边界)，因此SAASCTX(2-1)X^4

卜一y+520,

6.(2021.成都诊断)已知X,y满足卜+代0，若使得Z=Or+y取最大值的点(x,y)有

LvW3,

无数个，则”的值为.

答案一1

解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线Z=Or+y和直线

AB重合时，z取得最大值的点(X,y)有无数个，.I-"="AB=I,...a=-L

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域自主演练

1.已知点(一3,—1)和点(4,一6)在直线3x—2y—α=0的两侧，则。的取值范围为()

A.(-24,7)

B.(-7,24)

C.(一8,-7)U(24,+∞)

D.(-8,-24)U(7,+∞)

答案B

解析根据题意知(一9+2—α)∙(12+12^-4)<0,即(α+7)(α^~24)C0,解得一7<α<24.

l≤x+y≤3,

2.在平面直角坐标系X。)，中，不等式组二八表示图形的面积等于()

-1Wx—yWl

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形A8C。，其中A(0,1),D(1,0),

边长AD二巾,则正方形的面积5=也义也=2.

“x-y20,

2x÷y≤2,

3.若不等式组《表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是（）

y，0.

,x+yW4

Γ4

-

At8(/O1I

+'一4B.v9J

3,L

一3D.

Γ.一4

C/OH]U-+

tX(9

3,

一

答案D

X—y≥0,

解析作出不等式组,2x+yW2,表示的平面区域（如图中阴影部分表示）.由图知，要使

JNO

原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线/：x+y="在∕∣,/2之间（包含/2,

4

~

不包含∕∣）或/3上方（包含/3）,故O<αWl3

感悟升华平面区域的形状问题主要有两种题型:

（1）确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

（2）根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对

参数进行必要的讨论.

考点二求目标函数的最值多维探究

角度1求线性目标函数的最值

Λ≥1,

【例1】（2021•郑州模拟）设变量X,y满足约束条件一一2y+320,则目标函数z=2χ-

.%—y≥0,

y的最小值为（）

A.-1B.OC.1D.3

答案C

解析由约束条件可得可行域如图阴影部分（含边界）所示，

将z=2χ-y变为y=2χ-zf

当z取最小值时，y=2χ-z在y轴截距最大，由y=2x图象平移可知，当y=2χ-z过点A

[y=χ>

时，在y轴截距最大，由得A（l,l）,.∙.Zmin=2Xl-l=l,故选C.

Iy=X

角度2求非线性目标函数的最值

χ-y+1WO,

【例2】⑴已知实数X,y满足卜+2厂8W0,则Z=无的取值范围是.

2χ-y≤0,

⑵（2020・景德镇模拟改编）若变量x,y满足约束条件卜+），一3W0,则。一4十丁的最小值

、了20,

为.

答案⑴多（（2）1

解析（1）作出不等式组

（χ-y+1≤0,

1x+2y-8W0,表示的平面区域如图中阴影部分所示，

[x21

这是一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为8（1,2）,《1,0（2,3）,

无的几何意义是可行域内任一点（x,y）与点P（-2,0）连线的斜率，连接PB,PC,由于直线

PB的斜率为多直线尸C的斜率为卷由图可知Z=南的取值范围是UI.

(2)画出约束条件

f2,r->,≤0,

卜+y-3W0,表示的可行域，如图中阴影部分所示.

设Z=(X-l)2+y,则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到

∣2X1—0|__2_

直线2%-y=0的距离最小，点(1,0)到直线2χ-y=0的距离(1=则Zmin=