2023年高考数学一轮复习习题：第五章第1节　平面向量的概念及线性运算

第五章DIWUZHANG

5/平面向量与复数

第1节平面向量的概念及线性运算

考纲要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.

理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘

的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识分类落实，回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为O的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:O与任一向量壬

行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

^

(1)交换律：

求两个向量和的运aa+h=h+a.

加法三角形法则

算(2)结合律：

a(a+h)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

减去一个向量相当

减法于加上这个向量的a~b=a+(~b)

相反向量三角形法则

⑴M=同⑷；

λ(fia)=λμa↑

求实数2与向量4(2)当2>0时，24的方向

数乘(λ+μ)a=λa+μa;

的积的运算与α的方向相同;当AVO

λ{a-∖-b)=λa~∖-λb

时，痴的方向与。的方向

相反;当2=0时，九Z=O

3.共线向量定理

向量”(q≠O)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.

•——常用结论与微点提醒

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的

向量，即Ai/b+AzAs+AvUH-----∖-An∖An=MA,n特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.中点公式的向量形式：若P为线段A8的中点，。为平面内任一点，则3>=/51+加).

3.OA^λOB+μOC(λ,μ为实数),若点A,B,C共线，则7+〃=1.

4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的

方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

⑴间与物是否相等与α,b的方向无关.()

(2)⅛ra//b,b∕∕c,则a〃c.()

(3)向量赢与向量而是共线向量，则A,B,C,力四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量”,〃共线时，一定有6=筋，反之成立.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

解析(2)若6=0,则α与C不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A,B,C,。四点不一定在一条直线上.

〉教材衍化

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若m6都是单位向量，则“=

b；③向量后与函相等.则所有正确命题的序号是()

A.①B.③C.①③D.①②

答案A

解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方

向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量施与的互为相反向量，故③

错误.

3.设M为AABC所在平面内一点，且成?=3(5/,贝∣J()

B.AM=^AB~^AC

C.AM=^AB+^ACD.AM=^AB~^AC

答案A

,—►—►—►1—>■

解析由BC=3CM,得CM=]BC,

所以危=启+CM=AC+jβC

=AC+j(βA+AC)=-JAB+JAC.

►■考题体验

4.(2021-日照调研)若四边形ABCD满足病=摄2目」诵|=|的，则四边形ABCD的形状是

()

A.等腰梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

答案A

---►1，-A---►”AAI>

解析因为AD=∕C,所以AO〃BC,且IADI=习BC∣,所以四边形ABC力为以AO为上底边，

BC为下底边的梯形.

)L∖AB∖=∖DC∖,因此四边形ABCO是等腰梯形.

5.(2021.长沙调硝己知点。为AABC的外接圆的圆心，且晶+∂⅛+G>=0,则4ABC的

内角A等于()

A.30oB.45oC.60°D.90°

答案A

解析由后+3⅛+δ∂=o,得宓+为=沆，

又O为AABC的外接圆的圆心，

根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且Ne4。=60。，因此NCAB=30。.

6.(2020•哈尔滨质检)设α与匕是两个不共线向量，且向量。+劝与一3—24)共线，则4=

答案-ɪ

解析由已知2α-bW0,依题意知向量与2a—b共线，设α+劝=42〃一力，则有(1

∖-2k=0,

—2k)α+(k+2)6=0,因为α,b是两个不共线向量，故。与Z?均不为零向量，所以彳

*+2=0,

解得％=；,4=一；

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一平面向量的概念自主演练

1.给出下列四个命题：

①若Ial=IbI,贝IIa=R

②若A,B,C,。是不共线的四点，则“赢=比”是“四边形ABC。为平行四边形”的充

要条件；

③若a—b,b—c,则a=c∙,

④a=%的充要条件是IaI=I用且a∕∕h.

其中正确命题的序号是（）

A.②③B.①②C.③④D.②④

答案A

解析①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.：矗=比，.∙.∣B∣=∣诙I且丽〃虎，又4,B,C,。是不共线的四点，；.四边形

ABCo为平行四边形；反之，若四边形ABCo为平行四边形，∣Jl∣]∣AB∣=∣DC∣,

赢〃公且筋，庆•方向相同，因此矗=比.

③正确.∙.∙α=Z>,.∙.α,人的长度相等且方向相同，又匕=c,C的长度相等且方向相同，

c的长度相等且方向相同，故α=c.

④不正确.当α〃匕且方向相反时，即使同=依，也不能得到α=Z>,故同=|瓦且“〃人不是”

=匕的充要条件，而是必要不充分条件.

综上所述，正确命题的序号是②③.

2.设α,垢都是非零向量，下列四个条件，使言=若成立的充要条件是（）

IalWl

A.a=bB.a=2b

C.。〃力且Ial=I例D.且方向相同

答案D

解析萧表示。方向的单位向量，因此育=日的充要条件是。与》同向.

3.给出下列说法：

①非零向量a与b同向是a—b的必要不充分条件；

②若检与病共线，则4,B,C三点在同一条直线上；

③α与》是非零向量，若α与6同向，则α与一匕反向；

④设九〃为实数，若λa=μb,则。与方共线.

其中错误说法的序号是.

答案④

解析根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当2=〃=0时，“与6不一定共线，

故④错误.

感悟升华1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而

平行向量未必是相等向量.

2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大

小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.

3.(1)单位向量的特征是长度都是1个单位.

(2)零向量的特征是长度是0,并规定零向量与任何向量平行.

考点二向量的线性运算多维探究

角度1平面向量的加、减运算的几何意义

【例1】已知两个非零向量4,6满足∣n+例=Ia—句，则下列结论正确的是()

A.a//bB.aVb

C.Ia=IblD.a+h=a~h

答案B

解析由已知mb不共线，在口ABa)中，设B=α,AD=b,由∣α+臼=Ia—臼，知以石=

∣DB∣,从而A4BC。为矩形，gPABLAD,故LA

角度2向量的线性运算

【例2】(2021•成都七中诊断)如图，A8是圆O的一条直径，C,。为半圆弧的两个三等分

点，则荏=()

∖AC-AD

B.2AC-2AD

C.AD-AC

D.2AD-IAC

答案D

解析连接CD,VC,。是半圆弧的三等分点,

.∖CD∕∕AB,且48=2CE>,

因此前=2δb=2(Ab-Ab)=2病一2证.

角度3利用向量的线性运算求参数

【例3】(2021・长春调研)在aABC中，延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N

为AM上一点且瓶=gK∕,^AN=λAB+μAC,贝!|2+〃=()

A.∣B.；C.—5D.—I

答案A

-*■1-►1­►―►1-A13■―1—►I-►-►

解析由题意，知4N=74M=Q(AB+8M)=QAB+Q><58C=748+5(AC—A8)

IfIf

=—τ0ΛB+τZAC,

又病=派+〃庆，

所以%=一卷,∕z=∣,贝!U+4=g.

感悟升华1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能

熟练运用相反向量将加减法相互转化.

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则

及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已

知向量线性表示.

2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进

行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.

【训练1】(1)在AABC中，AQ为BC边上的中线，E为AO的中点，则血=()

AtAB-yCB.%C

3-*,1—*1­►3•―*■

C.^AB+"^ACD.~^AB+^AC

(2)(2021・济南质检)在正六边形ABCOE尸中，对角线80,C尸相交于点P.若赢=1+MA

则x+y=()

57

A.2B.2C.3D.5

答案(I)A(2)B

解析(I)YE是Ao的中点，；.西=一地，

：.EB=EA+AB=^-^AD+AB,

又知。是BC的中点，Λλb=∣(Aβ+AC),

因此£8=—^(AB+AC)+AB=^AB—^AC.

(2)如图，记正六边形ABCOM的中心为点O,连接08,0D,易证四边形OBCD为菱形,

且P恰为其中心，

--3-*3-*

于是产2=2尸。=]48,

-►»3_►A—►

因^AP=AF+FP=^AB+AF,因为AP=XA5+yAF,

35

所以X=?且y=l,故x+y=].

考点三共线定理及其应用师生共研

【例4】(1)设e∣与及是两个不共线向量，AB=3e↑+2e2^CB-ke∖-∖-eι,CD=3e∖-2ke2,

若A,B,。三点共线，则攵的值为.

(2)(2021・合肥模拟)在平行四边形ABC。中，若无=比，AE交BD于F,则嬴=()

C

⅛+B

J

AC.3AD

交案⑵D

口

解析(1)因为4,B,。三点共线，所以必存在一个实数人使得AB=2BD

又赢=3eι+2e2,CB=keι+e2,CD=3eι-2kez,

所以砺=诙一为=30一2履2—(她+㈤

=(3—A)eI—Qk+1)^2,

所以3eι+2e2=2(3—k)e↑-z(2⅛+1)^2,

3=2(3-⅛),

又6]与62不共线，所以，

2=-λ(2⅛+l),

解得攵=一充9

(2)如图所示,

ED

"：DE=EC,

：.E为CZ)中点，

设A>=施

=z^AB+AO-∣AB^=∣ΛB+>AC>.

;2

又,：点、B,F,£>共线，；.]+/=1,解得

→If2→

故AF=WA8+驶。.

感悟升华1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别

与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

2.向量α,匕共线是指存在不全为零的实数九，λ2,使九4+226=0成立.

【训练2】⑴已知α,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,∕z∈R,则A,B,

C三点共线的充要条件为()

A.2+〃=2B.λ―〃=1

C.λμ=~∖D.λμ=l

(2)已知A,B,C是直线/上不同的三个点，点。不在直线/上，则使等式『"1+》无+证

=0成立的实数X的取值集合为.

答案(I)D(2){-l}

解析(1)因为A,B,C三点共线，所以初〃/，设赢=〃后(mW0),则〃+%=皿4+∕)),

[λ=m,

由于。与b不共线，所以所以M=L

[l=mμ,

(2)因为反?=又一加，

所以/51+入励+灰1一协=0,

即02=一χ2后一(X-I)协，因为A,B,C三点共线，

所以一Λ2-(X-1)=1,即x2÷x=0,

解得X=O或X=-1.

当X=O时，A2OA+XOB+BC=0,此时B,C两点重合，

不合题意，舍去.故X=-L

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.已知下列各式：@AB+BC+CA；②Q+讪+尻）+原；③为l+5h+应）+历；@AB-

AC+BD-CD,其中结果为零向量的是（）

A.①B.②C.①③D.①④

答案D

解析利用向量运算，易知①，④的结果为零向量.

2.已知赢=α+5Z>,BC=-3a+6h,CD=4a~h,贝∣J（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,力三点共线

答案A

解析由题意得彷=病+而=α+5人=祐，又诟、前有公共点8,所以A,B,。三点共

线.故选A.

3.设α是非零向量，％是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.。与2α的方向相反B.。与下”的方向相同

C.∖~λa∖^∖a∖D.∖-λa∖^∖λ∖-a

答案B

解析当Λ>0时，。与2。的方向相同，A错，”与产α的方向相同，B正确；当∣2∣<I时，

∖-λa∖<∖a∖,C错；LM=I2M∣,D错，故选B.

4.在AABC中，G为重心，记寿=α,AC^b,则∂∂=（）

1212

\挈一寸B.乎+?

2I21

C^a—^bD.

答案A

解析因为G为AABC的重心，

,一Iff11

所以AG=W（A8+AC）=孕Z+Q6,

一一一fill?

所以CG=CA+AG=梦一］〃.

5.（2021・衡水调研）如图所示，在正方形ABC。中，E为8C的中点，尸为AE的中点，则赤

=()

A.—^AB÷∣ADB.^AB+∣Λ∕)

1-→∙1-→If3→

C.^AB—2ADD.2AB—^AD

答案D

解析DF=AF-AD,

AE=AB+BE.

二七为BC的中点，F为AE的中点,

.∙.AF=∣AE,BE=^BC,

-A-A-A1-A-A1-►-A-A

：.DF=AF-AD=^AE-AD=^(AB+BE)-AD

1―►1-►—*

=2^B+~^BC~AD,

义的=心,：.DF=^AB~IAD.

6.(2021•东北三省三校联考)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，尸为。E的中

点，若4F=x赢+1AZλ贝∣Jx=()

答案C

解析连接AE,因为尸为。E的中点，所以∙>=∕(Q)+∙b,

—►-►-A—►1―►—►1―►

而AE=4B+BE=AB+2BC=A8+pO,

所以崩=；(AI)+嬴)=XA£>+48+44£)

=^AB+^AD,

-*f3~1

又4尸=尤48+14。，所以x=2∙

7.如图所示，设。是AABC内部一点，且万1+夭=一2无，则AABC与AAOC的面积之

比为（）

A.4：1

C.3：2D.4：3

答案B

解析取AC的中点。，连接0D,

则醇+沆=2δb,

所以无=一丽，

所以。是AC边上的中线8。的中点，

所以S4ABC=2SAOAC,

所以aABC与AAOC面积之比为2：L

8.在△?!BC中，点。在线段BC的延长线上，且证=3而，点0在线段C。上（与点C,D

不重合），若Ab=A篇+（I—尤）而，则X的取值范围是（）

答案D

解析设左>=)E∂,因为Ab=/+Q=n+.yE∂

=AC+χΛC-Aβ)=-yΛβ+(l+γ)AC.

因为后∂=3δb,.∖cb=3ycb,0<3><l,

点O在线段CD上(与点C,。不重合)，

所以y∈(θ,；),因为43=1+(1-X)/，

所以x=-y,所以χ∈(-0).

二、填空题

9.设向量g,b不平行，向量筋+/?与α+2b平行，则实数2=.

答案I

解析:向量。不平行，.∙.α+2b≠0,又向量筋+b与α+2b平行，则存在唯一的实数

A=∕z,1

μ,使]q+b="(α+2Z?)成立，即九/+/?=〃〃+2〃b,则得彳解得∕i=4=5∙

1=2∕GZ

10.已知S是AABC所在平面外一点，。是SC的中点，若彷=X赢+)公+养，则x+y

+z=.

答案0

解析依题意得渲)=Ab—检=3(五+最尸油=-A⅛+/启+/无，因此x+y+z=—l+g

+；=o.

11.若点。是AABC所在平面内的一点，且满足I协一次∣=∣m+∂b-2∂λ∣,则AABC的

形状为.

答案直角三角形

解析OB+OC-2OA^(OB-OA)+(OC-OA)^AB+AC,OB-OC^CB=AB-AC,

Λ∣Aβ+AC∣=[Afi-AC∣.

故A,B,C为矩形的三个顶点，AABC为直角三角形.

12.在aAOB中，AC=∣AB,。为OB的中点，若庆'=∕l3λ+〃加，则川的值为.

箕案——

U案25

-AI-A-►1-►-►

解析因为AC=弓43,所以AC=5(08—。4),

因为。为08的中点，所以历=g(⅛,

—►―►—►1—►―►―►

所以力C=Do+0C=-EoB+(OA+AC)

=—∣0B+5A+∣(0B-OA)=^OA-∙

436

所以2=亍〃=-T5，则AU的值为一天.

B级能力提升

13.(多选题)(2021・济南调研)下列命题正确的是()

A.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且A8=C0,则魂=而

B.在AABC中，若。点满足晶+为+无=0,则。点是BC的重心

C.若4=(1,1),把〃向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)

D.在AABC中，若无=24+4，则P点的轨迹经过AABC的内心

UCAlICBlJ

答案BD

解析如图，

III___]

AHDC

A,B,C,。四点满足条件，但丽#而，故A错误；

对于B,设BC的中点为。，当8+初+