必修二-立体几何

§2.1.1平面¤知识要点：1.点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.2.平面根本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言符号语言3.公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.¤例题精讲：【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面.【例4】在正方体中，〔1〕与是否在同一平面内？〔2〕点是否在同一平面内？〔3〕画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.※根底达标1．两个平面假设有三个公共点，那么这两个平面〔〕.A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对2．以下推断中，错误的选项是〔〕.A．B．C．D．，且A、B、C不共线重合3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，那么点P〔〕.A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，那么这个多边形边数最多是〔〕.A.三B.四C.六D.八5．以下说法中正确的选项是〔〕.A.空间不同的三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6．给出以下说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是.7．空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是.8．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是的中点.求证：这六点共面．§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系¤知识要点：1.空间两条直线的位置关系：2.两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角〔或直角〕叫异面直线所成的角〔或夹角〕.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，那么叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.¤例题精讲：【例1】异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，那么过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有〔〕.A.1条B.2条C.3条D.4条【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.〔1〕求证：D、B、F、E四点共面；〔2〕假设A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.【例3】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.〔1〕求直线AB1和CC1所成的角的大小；〔2〕求直线AB1和EF所成的角的大小.※根底达标1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是〔〕.A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线〔〕. A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直D．异面3．两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，那么直线a，b的位置关系是〔〕. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线4．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为〔〕. A.12B.24C.36D.485．正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与CN所成的角是〔〕. A．30°B．90°C．45°D．60°EAFBCMND6．如图，正方体中，直线EAFBCMND7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角；④DM与BN垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是.8．空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.9．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系¤知识要点：1.直线与平面的位置关系：〔1〕直线在平面内〔有无数个公共点〕；〔2〕直线与平面相交〔有且只有一个公共点〕；〔3〕直线与平面平行〔没有公共点〕.分别记作：；；.2.两平面的位置关系：平行〔没有公共点〕；相交〔有一条公共直线〕.分别记作；.¤例题精讲：【例1】空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.ABCDEFGH【例2】空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、ADABCDEFGH求证：〔1〕E、F、G、H四点共面；〔2〕三条直线EF、GH、AC交于一点.【例3】如以下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且===.试求的值.※根底达标1．直线与平面不平行，那么〔〕.A.与相交 B. C.与相交或D.以上结论都不对2．正方体各面所在平面将空间分成〔〕个局部.A.7 B.15 C.21 D.273．假设两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的公共点个数〔〕.A.有限个 B.无限个 C.没有 D.没有或无限个4．E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，那么点P〔〕.A.一定在直线AC上B.一定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，那么这两个平面〔〕.A.平行 B.相交 C.平行或垂合 D.平行或相交6．假设一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，那么这条直线与另一平面的位置关系是.7．一个平面把空间分成局部，两个平面可以把空间分成局部，三个平面可以把空间分成局部．8．A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，〔1〕求证：直线EF与BD是异面直线；〔2〕假设AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.9．空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点〔如右图〕，求证：〔1〕对角线AC、BD是异面直线；〔2〕直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.§2.2.1直线与平面平行的判定¤知识要点：1.定义：直线和平面没有公共点，那么直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号表示为：.图形如右图所示.¤例题精讲：【例1】P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.A【例3】如图，、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面.AEEGDBGDBOMFOMFCC【例4】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点〔1〕求证：MN//平面PAD；〔2〕假设，，求异面直线PA与MN所成的角的大小.※根底达标1．直线、,平面α,∥,∥α,那么与平面α的关系是〔〕.A.∥αB.αC.∥α或αD.与α相交2．以下说法〔其中a，b表示直线，表示平面〕其中正确说法的个数是〔〕①假设a∥b，b，那么a∥②假设a∥，b∥，那么a∥b③假设a∥b，b∥，那么a∥④假设a∥，b，那么a∥b A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3．a，b是两条相交直线，a∥，那么b与的位置关系是〔〕.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，那么直线AB和平面的位置关系一定是〔〕.A.平行 B.相交C.平行或相交D.AB5．如果点M是两条异面直线外的一点，那么过点M且与a，b都平行的平面〔〕.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个6．P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，那么在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是.7．过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是；假设AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，那么截面四边形的面积是.8．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点.〔1〕求证：EO‖平面PCD；〔2〕图中EO还与哪个平面平行？第13讲§2.2.2平面与平面平行的判定¤知识要点：面面平行判定定理：¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.AA1AB1BC1CD1DGEF【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．〔1〕求证：平面A1BD∥平面B1D1C；〔2〕假设E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．NMPDCQBA【例3】四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM：MA=BN：NMPDCQBA【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.〔1〕求证：平面AMN∥平面EFDB；〔2〕求平面AMN与平面EFDB的距离..※根底达标1．以下说法正确的选项是〔〕.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行2．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是〔〕.A.α、β都平行于直线lB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD.l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．以下说法正确的选项是〔〕.A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.平行于同一个平面的两个平面平行4．不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且Aα，那么〔〕.A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一条边与α平行5．直线a、b，平面α、β,且a//b，a//α，α//β，那么直线b与平面β的位置关系为.6．a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，以下说法中：⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥.其中正确的说法依次是.7．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，求证：〔1〕平面MNH//平面BCE；〔2〕MN∥平面BCE.§2.2.3直线与平面平行的性质¤知识要点：线面平行的性质：ββ¤例题精讲：【例1】如图，，，，，求证：.AABCDβ【例2】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.【例3】直线∥平面α，直线∥平面β，平面α平面β=，求证．_b_a※根底达标1．直线l//平面α，m为平面α内任一直线，那么直线l与直线m的位置关系是〔〕.A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面2．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，那么直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是A.平行B.平行和异面C.平行和相交D.异面和相交3．A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定4．假设直线、b均平行于平面α，那么与b的关系是〔〕.A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面5．l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，以下结论错误的选项是〔〕.A.D1B1∥lB.BD//平面AD1B1C.l∥平面A1D1B1D.l⊥B1C16．正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，那么线段的长为.7．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出以下四个说法：①a∥α，b∥α，那么a∥b；②a∥α,a∥β,那么α∥β；③α∥γ，β∥γ，那么α∥β；④a∥b,bα,那么a∥α.FDBCFDBCHGEA8．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形.〔1〕求证：CD∥平面EFGH；〔2〕如果AB⊥CD，AB=a，CD=b是定值，求截面EFGH的面积.AABCDMNN9．如右图，直线和是异面直线，，，，，求证：.N§2.2.4平面与平面平行的性质¤知识要点：1.面面平行的性质：.2.其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：_N_M_D_B_C_A【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A_N_M_D_B_C_A【例3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG∥平面ABC.【例4】如图，正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且.求证：EF∥平面ABCD._C__C_1_D_1_F_E_E_C_D_B_A_B_1_A_1※根底达标1．以下说法正确的选项是〔〕.A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．∥，那么在内过点B的所有直线中〔〕.A．不一定存在与平行的直线B．只有两条与平行的直线C．存在无数条与平行的直线D．存在唯一一条与平行的直线3．以下说法正确的选项是〔〕.A.直线外一点有且只有一个平面与直线平行B.经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C.经过平面外一点有且只有一条直线与平面平行D.经过平面外一点有且只有一个平面与平面平行4．在正方体中，以下四对截面中，彼此平行的一对截面是〔〕.A.B.C.D.5．平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，那么的长为〔〕.A.B.或C.D.6．平面α∥β，，有以下说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中正确的序号依次是.7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，假设AS=18，BS=9，CD=34，那么SC=_.8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C∈α，B、D∈β，AC⊥BD，AC=6，BD=8.M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且，求线段MN的长. §2.3.1直线与平面垂直的判定¤知识要点：1.定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线与平面互相垂直，记作.－平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.〔线线垂直线面垂直〕2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：假设⊥，⊥，∩＝B，，，那么⊥3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作〔作出线面角〕→证〔证所作为所求〕→求〔解直角三角形〕”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：【例1】棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.【例2】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心._C_B_A【例3】，斜边BC//平面，AB，AC分别与平面成30°和45°的角，BC=6，求BC到平面的距离._C_B_A※根底达标1．假设三条直线OA，OB，OC两两垂直，那么直线OA垂直于〔〕. A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABCG2FEG3G1G2FEG3G1SA． B．l可能和m平行 C．l和m相交 D．l和m不相交3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，那么有〔〕. A.SG⊥面EFGB.EG⊥面SEF C.GF⊥面SEFD.SG⊥面SEF4．直线a⊥直线b，b⊥平面，那么a与β的关系是〔 〕.A．a⊥ B.a∥β． C． D．a或a∥5．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为〔〕.A.90°B.60°C.45°D.30°6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1〔注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形〕.7．设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法： ①假设，，那么是垂心；②假设两两互相垂直，那么是垂心； ③假设，是的中点，那么；④假设，那么是的外心.其中正确说法的序号依次是.8．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．9．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值.§2.3.2平面与平面垂直的判定¤知识要点：1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedralangle〕.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.〔简记〕2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，那么射线和构成的叫做二面角的平面角.范围：.3.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.4.判定：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.〔线面垂直面面垂直〕¤例题精讲：【例1】正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.〔1〕求证：AP⊥EF；〔2〕求证：平面APE⊥平面APF.【例2】如图,在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：平面平面.【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：．，【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：〔1〕截面与底面所成的角；〔2〕截面将三棱柱分成两局部的体积之比.※根底达标1．对于直线、和平面、，的一个条件是〔〕.A．，，B.C．D.，，2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是〔〕.A．30° B．45° C．60° D．90°3．在三棱锥A—BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么〔〕.A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面BCD⊥平面ADCD.平面ABC⊥平面BCD4．在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，那么∠CPD的大小是〔〕.A．45° B．60° C．120°D．60°或120°5．下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是〔〕.A.1B.2C.3D.46．E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D—PE—C的大小为.7．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，那么平面BDE与平面ABC的位置关系是.8．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、.将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M.试求二面角的大小.9．如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点.求证：〔1〕平面；〔2〕平面平面.§2.3.3线面、面面垂直的性质¤知识要点：1.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.〔线面垂直线线平行〕2.面面垂直性质定理：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：假设，，，，那么.〔面面垂直线面垂直〕¤例题精讲：ACαBa【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，假设斜边AB与a垂直，那么BC是否与ACαBa【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.〔1〕求证：平面PAC⊥平面PBC；〔2〕假设D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.【例3】三棱锥中，,平面ABC，