2023年高考数学一轮复习习题：第六章数列热点问题

教材•高考•审题答题

数列热点问题

r三年真题考情

核心热点真题印证核心素养

等比（差）数列的判定2019•全国II,19;2018•全国I,17;2017•全

逻辑推理、数学运算

与证明国I,17

202。新高考山东，18;2020•全国111,17;

通项与求和教学运算、数学建模

2020•全国I,17:2018•全国Il,17

2020•全国川，17;202。天津，19;2020•浙

等差与等比数列的

江，20;2019•全国I,18;2019•全国Il,18:数学运算、逻辑推理

综合问题

2018•全国I,17

小教材链接高考一

等比（差）数列的判定与证明

教材探究

1.（必修5P50例2）根据图2.4—2中的框图（图略，教材中的图），写出所打印数列的前5项,

并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？

2.（必修5P69B6）已知数列｛小｝中，勾=5,a2=2,且斯=2。“-|+3%-2（”23）.对于这个数

列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

［试题评析］

（1）题目以程序框图为载体给出递推数列｛m｝,其中S=1,‰=∣‰-∣（n>l）.进而由递推公式

写出前5项，并利用定义判断数列｛小｝是等比数列.

（2）题目以递推形式给出数列，构造数列模型b,,=α“+斯τ（"22）,以=为一3匾∣（"22）,利用

等比数列定义不难得到｛儿｝,｛c.｝是等比数列，进而求出数列｛小｝的通项公式.

两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理

等数学核心素养.

【教材拓展】记S,为数列｛α,,｝的前〃项和，2S“一α”=∕η∙("GN*).

(1)求an-Van+∖↑

(2)令瓦=期+2—月,证明数列｛九｝是等比数列,并求其前"项和4.

⑴解因为2S,-α"=∕γ,①

所以2Sn+i-an+1==,②

由②一①，得2(S〃+LS〃)一。〃+1+〃〃=—/

所以1+Cin=2小

(2)证明由⑴知%+|+%=—/

何■。〃+2+1—2«11,

两式相减〃〃+22〃+1+2"2〃+1,

因此bn=Cln+2—Cln=亍FT(〃金N*),

r1b〃+11

又ft，—ɔ'

故数列｛九｝是以:为首项，T为公比的等比数列.

【链接高考】(2019•全国Il卷)已知数列｛斯｝和｛儿｝满足m=1,6=0,4斯+]=3%一儿+4,

4hrl+∖=3hn-an-4.

(1)证明：｛厮+4｝是等比数列，｛斯一为｝是等差数列;

(2)求｛为｝和｛仇｝的通项公式.

(1)证明由题设得4(。〃+ɪ+bn+1)=2(。〃+bn),

即α∏+ι+⅛M+I=∣(aw+⅛w).又因为a∖+b↑=l,

所以｛为+小｝是首项为1,公比为£的等比数列.

由题设得4（如+］一儿+D=4（。〃-bn）+8,

即an+}-bnΛ-↑=an-bn+2.

又因为ai-bι=l,

所以｛〃“一b｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)知，如+为=连7，an-bn=2n-1,

所以‰=∣[(αn+儿)+(aπ-仇)]=*+"—;，

bn=∣[(an+⅛π)—(an-bn)]=I-«+∣∙

件教你如何审题---------------------

等差与等比数列的综合问题

【例题】(2020•浙江卷)已知数列｛%｝,｛数｝,｛czl｝满足a↑=b↑=c↑=l9Cn=斯+1-%，cn+ι

=;C,,,n∈N*.

⅛ι-2

(1)若｛儿｝为等比数列,公比q>0,且加+历=6旦,求q的值及数列｛〃〃｝的通项公式;

(2)若｛瓦｝为等差数列,公差d>0,证明：ci+c2+c3+…+c〃<1+；，

审题路线

I自主解答]

⑴解由力+岳=6加，得1+夕=6才，解得夕=；.

=

由C,l+l-~7~Cn4Cnf得Cn=4"L

bn+2

4"ɪ+2

由a〃+i—。〃=4"I得斯=。］+1+4-1----F4"2=ɜ.

(2)证明依题意设儿=l+("-l)d=加+1—乩由。“+|=生以,得月口=卢,所以j=”

%+2CnOn+2Cn-\"〃+2

(心2,"∈N*),

,,CftCn-∖C3C2blj1bn-2bn-3效近-2Cl1+彳1_1)

故c'"=17f…尸瓦?K%3,…诙瓦©=k=F仇-加J

所以C∣+C∙2+C3+→C"=(1+O(1-4).

4

由bι=l,d>0,得bfj+ι>l,因此Cι+c2+c3∏------Hc,,<1+^,n∈N.

探究提高1.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前〃项和公式计算，突出方程思

想和教学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.

2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等

差、等比数列之间的相互转化.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和

与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用加=1,上0证明不等式

成立，体现了对数学基础知识、基本方法的重点考查.另外本题在探求｛α,,｝与｛以｝的通项公

式时，考查累加、累乘两种基本方法.

【尝试训练】(2020•全国川卷)设等比数列｛斯｝满足“∣+α2=4,α3-α,=8.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)记SfI为数列｛k>g3⅛ι)的前"项和.若Sff∣+Szn+1=S"+3，求九

解(1)设｛小｝的公比为q,则斯=αq"-∣.

因为“ι+42=4,。3—0=8,

a∖÷rz∣<y=4,«1=1,

所以解得

a∖<f,—αι=8.4=3.

,

所以｛4,,｝的通项公式为an-y'.

(2)由⑴知log3%="^~1.

所以数列｛log34,,｝是首项为0,公差为1的等差数列,

E(n-1)/?

n=

因此Sn2•

由于Sw÷‰+j=‰+3,得力2(加-1)+(m+∖)m

=(m÷3)(m+2),

即m2~5∕n-6=0.

解之得m=6或加=—1(舍去).

所以实数〃？的值为6.

储满分答题示范一

数列的通项与求和

【例题】(12分)(2019•天津卷)设｛%｝是等差数列，｛瓦｝是等比数列,公比大于0.已知G=

bl—3,岳=。3，⅛3z=4tZ2÷3.

⑴求｛如｝和｛儿｝的通项公式：

-1,〃为奇数，

⑵设数列｛C"｝满足金=«求“ic∣+α2C2∏------H‰c,2n(neN*).

%,〃为偶数.

［规范解答］

解(1)设等差数列｛%｝的公差为差等比数列｛小｝的公比为打4>0).

3q=3+2d,d=3,

依题意，得解得，

3q2=15+4d,4=3,

(由条件建立方程组求公差和公比)3'

故斯=3+3(〃-1)=3〃，儿=3X3"-∣=3".所以｛〃“｝的通项公式为%=3",｛d｝的通项公式为

兀=3".5'

(2)0C∣+a2C2^∣--------∖-Cl2nC2n

=(0+43+45H-------1^‰-∣)÷(〃2匕1+tJ4⅛2+。6仇H---------H42,力”)

n(n-1)

23,,,

=∕t×3+--2--×6+(6×3'+12×3+18×3H------F6n×3)8

=3n2+6(l×31+2×32H------Fn×3rt).

记A=IX3∣+2X32+…+"X3",①

则34=1义32+2X33」---卜"33"+∣,②

23,n+l

②一①得，2Tn=-3-3-3--------3'+n×3

3(1-3"),(2H-1)3Π+I+3,

--∖.7+×3n++1'=i----⅞----------.11,

I—ɔn2

所以“∣Cl+42C2∏-------1^θ2nC2n=3n2+67}∣

,,(2n-l)3,,+l+3

=3n2+3×i--------；-------------

(2n-l)3,,+2+6n2+9*,

=i--------------------------("∈N*).12'

/—高考状元满分心得

❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由条件式转化为关于d,

q的方程组，由公式求。“，bn,在第(2)问中观察数列的结构特征先分组，后用错位相减法求

和.

❷得关键分：(1)列方程组，(2)分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则没分.

❸得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第(1)问中的解方程，起着

至关重要的作用，第(2)问中的错位相减法求和是计算中的难点.

构建模板

(SHS)……由题设条件列方程组求基本量

I

国1多……求｛如｝,｛d｝的通项公式

I

@1S)……根据数列的特征，分组求和

)

@B……利用错位相减法求τn

国1多……反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤

【规范训练】(2021•衡水检测)已知函数贝X)=小COSTtr-SinTU(XWR)的所有正的零点构成

递增数列｛m｝(w∈N*).

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

,

⑵设⅛n=Q)(an+∣),求数列｛儿｝的前n项和Tn.

解(iy(x)=√3cos7tχ-sinπx=2cos(7Lx+^),

TTTT

由题意令πx+j=E+](kwZ),

解得x=k+∕%∈Z).

又函数大功的所有正的零点构成递增数列｛斯｝,所以｛““)是以首项3=；,公差d=ι的等差

数列，

12

因此a,t=(n-∖)×l+g=〃一g("∈N)

则7"=1［；)+2(§2+3.(£)3^------P，1+”G),①

拉=1俄+2.陟+3映+…+3-D®"+〃.眇ɜ,②

由①一②得;4=；+*+*H—

所以Tn=2-2〃•

蟀热点跟踪训练---------------------

1.已知数列｛“")满足0=1,"""+1=25+1)%.设d=W

(1)求61，bl，by,

(2)判断数列｛儿｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛4.｝的通项公式.

解(1)由条件可得α,,+ι=”普⅛∙

将〃=1代入得，a2-4a∖,而α∣=l,所以诊=4.

将〃=2代入得，43=342,所以"3=12.

从而6=1,⅛2=2,⅛3=4.

⑵｛5｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得号■=华，

即仇+1=2d，又加=1,所以｛瓦｝是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得3=2门,

w1

所以｛。〃｝的通项公式为aπ=n∙2^.

2.(2021・西安调研)已知｛知｝是公差不为零的等差数列，的=26,且0，〃2,S成等比数列.

(1)求数列｛“〃｝的通项公式；

⑵设勿=(一1尸斯，数列｛勿｝的前〃项和为7；”求Au.

解(1)设数列｛诙｝的公差为差d≠0,

Vai,42,〃7成等比数列，

ΛcA=a↑aη,即(4∣+J)2=m3]+6t∕),

则d2=4aιd.

又dW0,∙*∙d=4ci\9①

由于。4=4ι+3d=26,②

联立①②，解得〃i=2,且d=8.

"

..an=2+8(n—1)=8〃-6.

⑵・”“=(一1)〃+5=(一1)〃+】(8〃-6),

∙∙T^∖∖=b∖+bι-∖----\~bsw

=2-10+18-26+∙∙∙+4066-4074+4082

=(2—10)+(18-26)+-+(4066-4074)+4082

=-8X255+4082=2042.

3.(2020•全国I卷)设｛斯｝是公比不为1的等比数列，0为〃2,的的等差中项.

⑴求｛%｝的公比；

(2)若0=1,求数歹∣J｛%"｝的前〃项和.

解(1)设｛斯｝的公比为夕，由题设得2〃1=〃2+。3，

即20=。同+4闻2.

所以炉+夕一2=0,解得夕=1(舍去)或q=-2.

故｛〃〃｝的公比为一2.

(2)记Sn为｛“a”｝的前∏项和.

n

由(1)及题设可得an=(-2)~',

所以Sl=I+2X(—2)+•••+〃•(一2尸,

2nI,,

-25n=-2+2×(-2)H------F(H-l)∙(-2)+M∙(-2)∙

所以3S,,=l+(—2)+(-2>+…+(—2)"-ι—〃•(一2)"

1—(—2)"

3M—2)"∙

所以s,二A创土罗空

4.设｛斯｝是等差数列，其前"项和为S,("CN*);｛/“｝是等比数列，公比大于0,其前〃项

和为7X"WN*)∙已知从=1,不=历+2,d=的+。5,05=6⅛+2θ6.

⑴求S〃和Tn;

⑵若<+(7+“+…+4)=④+4儿，求正整数n的值.

解(1)设等比数列｛九｝的公比为式4>0).

由6=1,加=历+2,可得/一q—2=0.

因为q>0,可得4=2,故为=2"-L

1—2M

n

所以Tn=-^-=2-∖.

设等差数列｛〃〃｝的公差为4

由b4=α3+α5,可得〃ι+3d=4.

由/?5=加+2〃6,可得3。1+13d=16,从而0=1,d=1,

故an=n.

所以S尸迎/.

(2)由⑴,有

Ti+7⅛+…+∙=(2∣+2?+…+2〃)一n

2X(1—2〃)

n=2n+~n~2.

1-2

由S"+(Tι+7⅛H------∖-T,t)=an+4bn

可得若匕0+2"+|一”一2=〃+2"+|,

整理得〃2—3〃-4=0,解得〃=—1(舍)，或〃=4.

所以N的值为4.