广东省湛江市2023届高三下学期二模数学含答案

2023年湛江市普通高考第二次模拟测试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设复数Z在复平面内对应的点为(2,5),则1+z在复平面内对应的点为()

A.(3,—5)B.(3,5)c.(-3,-5)D.(-3,5)

2.已知集合A={x∣χ2-3χ>4},B={Λ∖2X>2],则(々A)R=()

A.[-1,2)B.(4,+∞)c.(1,4)D.(1,4]

3.广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的

数据的第70%分位数是()

管辖区常住人口

赤坎区303824

霞山区487093

坡头区333239

麻章区487712

遂溪县886452

徐闻县698474

廉江市1443099

雷州市1427664

A.927275B.886452C.698474D.487712

4.（2/—∙L）的展开式中，/的系数是（）

A.40B.-40C.80D.-80

5.如图，将一个圆柱2"（"∈N*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，〃越大，

重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱

的侧面积为（）

A.10πB.20πC.IonπD.18π

6.若与y轴相切的圆C与直线=也相切，且圆C经过点P修,6),则圆。的直径为()

51477“16

A.2B.2或一C.—D.一或一

3443

7.当％,y∈(0,+s)时，4'+K'+4?恒成立,则m的取值范围是()

X+2xy+y^4

A.(25,+∞)B.(26,+∞)c.(?，+OO)D.(27,+∞)

8.对于两个函数∕z（f）=e'τ[f>g）与g（，）=ln（2f-l）+2「〉；），若这两个函数值相等时对应的自变

量分别为乙，&，则L一乙的最小值为（）

A.—1B.—In2C.1—In3D.1—2In2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.若5sin2α+5cos2α+l=0,贝!∣tanc的值可能为（）

1I

A.2B.3C.--D.----

32

10.一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，

自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已

知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列{q},剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相

等，第1层与第2层的塔数不同，则（）

A.第3层的塔数为3B.第6层的塔数为9

C.第4层与第5层的塔数相等D.等差数列｛%｝的公差为2

11.廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品.设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M

(单位：g)服从正态分布N(165,4),且P(M<162)=0.15,P(165<Λ∕<167)=0.3.下列说法正

确的是()

A.若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7

B,若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g~168g的概率为0.05

C.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480

D.若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g~168g的个数的方差为136.5

12.已知双曲线。：斗=l(tz>0,⅛>0)的上焦点为F,过焦点/作C的一条渐近线的垂线，垂足

为A,并与另一条渐近线交于点8,若IEBI=4∣A目，则C的离心率可能为()

δ2√6,√15r2√Wn2√5

3353

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13

∙已知奇函数/(X)=Ig(x)+u>o,则g(X)=--------------•

14.若抛物线。的焦点到准线的距离为G，且。的开口朝上，则C的标准方程为.

15.若函数/(x)=SinLX+g[w>0)在白]上具有单调性，且X="为/(x)的一个零点，则

kʒ√I6lθ√9

/(X)在上单调递__________(填增或减)，函数y=∕(χ)-IgX的零点个数为.(本

IO∣o√

题第一空2分，第二空3分)

16.如图，在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。为矩形，APL底面ABeO,E为棱AB上任意一点(不

包括端点），尸为棱PO上任意一点（不包括端点），且一=——.已知AB=AP=1,BC=2,当三

ABDP

棱锥C-BEF的体积取得最大值时，JE户与底面ABC。所成角的正切值为

四、解答题：本题共6小时，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（Io分）

现有A，8两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个

景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示.假设去漓

江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、IOOO元、600元、200元.

（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；

（2）若甲和乙分别去A旅行社、8旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江

的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率.

18.（12分）

在AABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,J且匕2+。2=/一儿..

（1）求A；

（2）若加inA=4sinB,且lgh+lgc≥1—2cos（3+C）,求面积的取值范围.

19.（12分）

如图L在五边形ABCr＞石中，四边形ABCE为正方形，CD上DE,CD=DE,如图2,将AABE沿

BE折起，使得A至A处，且48,OE.

(1)证明：OE_L平面A∣BE.

(2)求二面角C-AE-。的余弦值.

20.(12分)

,ʌ,ʌ1,1b,,

已知两个正项数列｛%｝,也｝满足丁丁=%丁=京1

(1)求｛凡｝,｛〃｝的通项公式；

(2)用[x]表示不超过X的最大整数，求数列｛[%+。“+#2”｝的前〃项和5“.

21.(12分)

22

设椭圆方程为T+%=l(α＞人＞0)，A(-2,0),B(2,0)分别是椭圆的左、右顶点，直线/过点C(6,0),

当直线/经过点。卜2,√Σ)时，直线/与椭圆相切.

(1)求椭圆的方程.

(2)若直线/与椭圆交于尸，Q(异于A，B)两点.

(i)求直线BP与8。的斜率之积；

(H)若直线AP与BQ的斜率之和为-L，求直线/的方程.

2

22.(12分)

已知函数/(x)=e*τ-g∙χ2+χ-m]nx.

(1)求曲线y=∕(x)在x=l处的切线方程.

(2)若存在XlNX2使得/(XJ=/(9)，证明：

(i)/72>0；

(ii)2m>^(l∏Λ1+lnx2).

2023年湛江市普通高考第二次模拟测试

数学参考答案

1.A依题意得z=2+5i,则l+W=I+(2-5i)=3—5i,所以1+1在复平面内对应的点为(3,—5).

2.D由4〃={小2_3尤≤4}=[T,4],B=(1,400),得低A)2=(1,4].

3.A这九个管辖区的数据按照从小到大的顺序排列为303824,333239,487093,487712,69474,886452,

927275,1427664,1443099,,因为9x70%=6.3,所以这九个管辖区的数据的第70%分位数是927275：

4.C(2/—[展开式的通项为％5=d(2V广=C2i(-l)'心，令10—3攵=4,得

k=2.所以的系数是Cjχ23χ(-1)2=80.

5.A显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为「，

高为∕z,则2z7z=l(),所以圆柱的侧面积为2πz7z=l()τι.

6.B因为直线Ay=x3χ的倾斜角为30°，

3

所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y=岳上.

设圆心C(a,A),则圆C的方程为(x—ap+b-A)2=M,

将点∕,(2,√3)的坐标代入，得(2—4+(6+&/一M解得α=1或α一

14

故圆C的直径为2或一.

3

(4/+y+f+4yY

7.A当X,y∈(0,÷√)时，4x4+17x2γ+4/(4x2+y)(√+4>∙)2J25-

X4+2x2y+y2(X2+疔(/+,)-4

4T4+17X2V+4V225

当且仅当4f+y=χ2+4y,即y=/时，等号成立，所以「一♦一J的最大值为一.

X+2x^y+y4

所以'>—，即机>25.

44

m2

8.B设〃=，则f∣=l+lnm,r2=^(e^+l),由，>g,得/〃〉e6，则

x

GT=g(e"'"+1)-(1+Inm)=ge"T+Inm-g,机〉/，设函数/();(门？TnX-g>ɪ>e4>

I(A｝.

则尸(%)=LeI—L1,/'(X)在e2,+∞上为增函数，且/'(2)=0,所以当e/<无<2时，

2Xk√

r(x)<0,当x>2时,Γ(x)>O.故/。)miιι="2)=-ln2.

9.BD因为5sin2α+5cos2a+l=0,所以IOSinaCoSa+5(CoS20-sin22)+cos2α+si∏2α=0,

整理得2sin?a-5sinαcosα-3cos?。=O，则2tan?a-5tanα-3=O，解得tanα=3或

1

tana=——.

2

1∩o

10.ACD设等差数列｛%｝的公差为。.若d=l,则这10层的塔数之和为10x1+」yx=55,则最多

i()xo

有55+10+10=75座塔，不符合题意；若d≥3,则这1。层的塔数之和不少于IOxl+------×3>108,

2

1∩G

不符合题意.所以d=2,这10层的塔数之和为IOxl+∖∙χ2χ2=100,塔数依次是1,3,5,7,9,

2

11,13,15,17,19,依题意剩下2层的塔数为3与5.所以这12层塔的塔数分别为1,3,3,5,5,7,

9,11,13,17,19,因此A,C,D正确，B错误.

11.BCD因为M~N(165,(√),所以P(M<167)=0.5+0.3=0.8,所以A错误.因为

P(165P(165<M<168)=P(162<M<165)ɪ0.5-0.15=0.35,所以

P(167<M<168)=0.35-0.3=0.05,所以B正确.P(M>163)=P(M<167)=0.8,若从种植园

成熟的红橙中随机选取600个,则质量大于163g的个数X〜3(600,0.8).所以E(X)=600x0.8=480,

所以C正确.P(163<M<168)=0.35+0.3=0.65,若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质

量在163g~168g的个数y~5(600,0.65),所以D(y)=600χ0.65χ(l-0.65)=136.5,所以D正确.

12.AC当α=b时，直线AR与另一条渐近线平行，所以ɑ≠6∙

当α>。时，如图1,过F作另一条渐近线的垂线，垂足为P，贝IJlAFI=Ip可，由IjFM=4∣A目，得

IPFIIAFII1,1

SinZPBF=~=~ɪ-,贝IJCOSNAoP=—,所以2cos?NAO/一1=—,则

∖BF∖∖BF∖444

COSNAoF=岛SinNAoF=R,所以tanNAOF=R,则2=>J∣,

一C「"Γy2√i0

a5

图1

当α<匕时，如图2,过户作另一条渐近线的垂线，垂足为。，则IAFl=IQFI,⅛∣FB∣=4∣AF∣,得

sin/.QBF-~~J-='!---j∙=一，贝IJCOSNA08=1，则CoS^AoQ=—1，所以2cos?OT7-I=—■-,

∣βF∣∣βF∣4444

5

i,衅=

综上，C的离心率为2叵或2匹.

53

13.-%2+3'-1当x〉0时，-X<0,/(x)=g(x)+l=-∕(-X)=-(-力2-3Tr)=-x2+3x,则

g(x)=-x2+3v-l.

14.χ2=2底依题意可设C的标准方程为χ2=2py(p>0),因为。的焦点到准线的距离为班，所

以P=布,所以。的标准方程为/=2岛.

15.增；9因为“X)在(一上具有单调性，所以;即”〈工，0<3≤2.又

VOlo√IoVOJ29692

因为/(w]=Sin(WG+g∙]=O,所以+1=左兀(keZ)，即力=2%一2，只有2=1，G=3符

合要求，此时/(x)=Sin(3x+1].

当T十部h3z+ieH,⅛所以Fa)在卜镰)上单调递增.

作出函数y=∕(x)与y=lgχ的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数

y=/(x)TgX的零点个数为9.

APDF

由一=——，设AE=XA8,DF=xPD,其中O<x<l.

ABDP

2

由AB=AP=1，BC=2,AP_1_平面ABCD,可得PZ)=JAP+Af)?=Jl2+??=yβ,AE=X,

DF=√5%>BE^∖-χ.

VFG//AP,AP_L平面ABcO,，FG_L平面ABCO

在AAPO中，有W=黑，可得变宏，•••可得GE=x∙

AP1D175

△8CE的面积为LBEBC=L(1-x)X

2=1-X.

22v,

v(ιVι^

C-BEF=VF-BCE=V(X)=；(Ir)X=；—

I2)4

可得当x=g时，三棱锥C-班户的体积取得最大值V(g

)12

当三棱锥C-BEF的体积取得最大值时，E为AB的中点，产为OP的中点.

FGΛAPΛ,EG=JC+F=与

连接EG,则NEEG为律与平面A88所成的角，

.∙.tanZFEG=—=—.

EG5

17.解：(1)A旅行社240人次的消费总额为20x200+40x600+60x1000+120x1200=232000元，

2分

8旅行社240人次的消费总额为10x200+50x600+70x1000+110x1200=234000元，4分

因为234000>232000,所以B旅行社240人次的消费总额更大.5分

(2)对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为与=L,

2402

所以甲去漓江的概率为6分

2

110_11

对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为

240^24,

所以乙去漓江的概率为1.7分

24

故甲、乙至少有一人去漓江的概率为1-1⅛M,4]35

1-=——.Io分

48

18.解：⑴因为力="一机.，

所以廿+。2一/=_反.1分

A2+C2Cl21

由余弦定理得COSA=十°〃.,=—1,3分

2hc2

B(1,O,O),C(O,1,O),£>(-1,1,0),E4,=(1,0,1),EC=(1,1,0).7分

•〃=1+z=0,

设平面AEC的法向量为"=（χ,y,z）,则＜

EC∙"=x+y=0,

令x=l,得〃=（1,—1,—1）,9分

平面A1ED的一个法向量为根=AB=（I,。,一1），10分

所以COS—7=三7=,11分

\/yj2×y∣33

由图可知二面角C-4E,。为锐角.故二面角C-AE-。的余弦值为巫.12分

3

1b

20∙解：⑴由工=△'得地=〃-+1，1分

由-----，得42=1+叶，2分

a.-b"

两式相减得〃：=〃2,因为｛a｝是正项数列，所以2=〃，4分

所以4=一=〃+5分

b„n

4,"=L八

⑵[%+4+∣n-∖----F〃+1H------2κ+l+-÷-----6分

n"+1n7?+12n+∖,n≥2,

23π

则当〃≥2时，S,I=4×2+5×2+7×2++(2∕ι+l)×2,7分

所以2S,,=16+5X23+7X24++(2Π+1)×2,,+,,8分

两式相诚得一S,,=12+2x03+24++2π)-(2∕ι+l)×2,,+l9分

O3X,

=12+2×————(2rt+l)×2,,+l=(l-2n)×2,,+1-4,10分

即S“=（2〃一1）2""+4.11分

因为5=8满足J=（2〃-1）2e+4,所以S“=（2〃-1）2e+4.12分

21.解：（1）依题意可得α=2.1分

当直线/经过点。卜2,虚）时./的方程为％=-4底尸6,2分

22

代入亍+4=1,整理得(画+1)/-12回2y+8后=O,3分

△=(-12回2)2-4(8/+1)x8〃=32/(/-1)=0,4分

丫2

解得从=1，所以椭圆的方程为土→y2=l.5分

4-

(2)(i)依题意可得直线/的斜率不为0,可设/：X=冲+6,P(XI,y),Q(χ2,y2).

X=my+6,

2

⅛*√ɔɪ得(根+4)/+12my+32=0,

12m

皿Mk=.一为_Xy2=_________2^2________

'BPBQ(X1-2)(X2-2)(世+4)(畋2+4)My2+4+%)+16

32

加2+4321

=------m------=—=一分

228

32mASm1,64