2023年湖南省永州市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省永州市普通高校对口单招数

学自考模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(10题)

1.设集合A={l,2,4},B={2,3,4},贝!∣AUB=()

A.{l,2}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3}

Xy

工+乙=I

2.椭圆916的焦点坐标是()

A.(±√7,0)

B.(+7,0)

C.(0+7)

D.(0,i√7)

已知正方体的边长是3,则正方体的体积()

3.

A.lB.8C.27

4.已知椭圆χ2∕25+y2∕m2=l(m>0)的左焦点为F∣(-4,0)则m=()

A.2B.3CAD.9

5.“没有公共点”是“两条直线异面”的()

A.充分而不必要条件B.充分必要条件C必要而不充分条件D.既不充

分也不必要条件

6.已知向量a=(l,-1),6=(2,x).若AXb=1,则x=()

A.-lB.-l∕2C.1/2D.1

7.己知tana,tanβ是方程2x2+x-6=O的两个根，则tan(α+β)的值为()

A.-l∕2B.-3C.-lD.-1/8

2

8.已知IogNlO=2,则N的值是()

A.T10

√io

B.~iθ"

C.100

D.不确定

9.己知∣x-3∣<a的解集是{x卜3<x<9},则a=()

A.-6B.6C+6D.0

10.若集合A={l,2},集合B={l},则集合A与集合B的关系是()

A.BGA

B.A=B

C.B∈A

D.AGB

二、填空题（10题）

11.若集合4=03X),S=N11同48=(1.3.x},则X=

-

½=Ixlog3r≤llB=Ixl-~~-≤1

12.设集合U3'IM

，贝UAB二

13.在平面直角坐标系Xoy中，直线2x+ay-l=0和直线(2a-l)x-y+l=0

互相垂直，则实数a的值是

14.以点(1,2)为圆心，2为半径的圆的方程为

15.已知i为虚数单位,则∣3+2i∣=

ɪii1

1¢2(2)-≡-(I)J

16.算式+’8’的值是

17.不等式(x-4)(X+5)>0的解集是.

已知向里a=(2.1),b=(XΛ)»且aJLb，则X=

18.

x

19.函数f(x)=+log2(x∈[b2])的值域是,

20.集合A={1,2,3}的子集的个数是.

三、计算题(5题)

21.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别垛置

了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机

抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下(单位：

吨)：

“厨余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾24412

可回收垃圾4-1923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)试估计“可回收垃圾”投放正确的概率;

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率。

22.求焦点X轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

1—X

己知函f(x)=Ioga------,(a>0且a≠)

23.I+'

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

24.设函数f(x)既是R上的减函数，也是R上的奇函数，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值;

(2)若fl一3t+l)>-2,求t的取值范围.

1

f(x)+3f(—)=x.

25.已知函数f(x)的定义域为{x∣x≠0},且满足X

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并简单说明理由.

四、简答题(10题)

26.平行四边形ABCD中，CBD沿对角线BD折起到平面CBD，平面

ABD,求证：AB±DEo

AC

A

√l-2sιn10cos10

27•化简COSlO-Vi-Sm2100

_3αβ

H求式崂)的值.

28.已矢口CoS=5

29.求到两定点A(-2,0)(1,0)的距离比等于2的点的轨迹方程

3。.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根

据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,求3为顾客中至

少有1为采用一次性付款的概率。

31.已知椭圆‘彳"'=I和直线'，=2>+加，求当m取何值时，椭圆与

直线分别相交、相切、相离。

血(18。-a)产(270+α)Tstn(360-a)

32.化简ca(α-180)tan(900+α)cos(α-360)

33.求过点P(2,3)且被两条直线'】：3x+4y-7=0,4：3x+4y+8=0所截

得的线段长为3、笈的直线方程。

34.求经过点P(2,-3)且横纵截距相等的直线方程

35.如图四面体ABCD中，AB_L平面BCD,BDLCD.求证:

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

五、解答题(10题)

36.如图，在正方体ABCD-AIBleIDl中，S是BIDI的中点，E,F,G

分别是BC,DC,SC的中点，求证：

(1)直线EG//平面BDDiBi;

(2)平面EFG//平面BDDiBi

37.已知函数f(x)=2sin(x-π∕3).

(1)写出函数f(x)的周期；

(2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移π∕3个单位，得到函数g(x)的图

象，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.

38.设函数f(x)=χ3-3ax+b(a≠0).

⑴若曲线y=f(x)在点(2,f(x))处与直线y=8相切，求a,b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.

39.已知数列⑶｝是公差不为O的等差数列a1=2,且a2,a3,a4+l成等比

数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵设bn=2∕n(a∏+2),求数列｛bn｝的前n项和Sn.

40.

一批金晶，⅜⅛⅛⅛⅛S⅜A50j?,乃丁了黎之村会舄的实际发贵情比，从中建

机抽取io支食品.赛出各家的生∙⅞r单伐：g),并得到其茎叶到「必用).

<υ求之1。袋会旦朱E的众飘.并估计这枇食品实际直货的平均飘；

(2)希若殳食品的去际支受小于或等■于47g,则视为不合珞产品.犬估计这批食合支支的合珞辜.

45669

5000112

41.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的离心率为：，其中左焦点F(-

2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中

点M在圆:x2+y2=l上，求m的值.

42.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值;

(2)若BA,BC=2,b=2V2求a和C的值.

已期函数八，)(ʃJI.

43.I,7∙,!(1)在给定的直角坐标系中作出函

tr

••••∙Mk■J-«4«*⅛..∙e

-3-Z-Ion1±4：«

^!"i^›lΓl'Y：

•T•1-∙.∙»∙Q∙.∙∙c∙.

数f(x)的图象；(2)求满足方程f(x)=4的X的值.-才…

44.已知椭圆Cιχ2∕a2+y2∕b2=l(a>b>0)的离心率为，在C

上；

(1)求C的方程;

(2)直线L不过原点O且不平行于坐标轴，L与C有两个交点A,B,

线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线L的斜率的乘积为

定值.

已知向量α=(2sinκ2sinQ,ft=(cos.<,-sin.v),函数

/(v)≡⅛+1

(I)如果«9=1,求sin4A的值：

45.2

叫如果ʌW(Oq),求的取值范围.

六、单选题(0题)

46.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬

类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样

本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物

油类与果蔬类食品种数之和是()

A.4B.5C.6D.7

参考答案

1.C

集合的并集.由两集合并集的定义可知，AIJB={1,2,3,4},故选C

2.D

在椭圆g÷--7=1中

a=4,6=3

22

.'.c=y∕a—b=J7且椭圆的焦点在“轴上

..焦点坐标为(OLQ),(o√7)

3.C

4.B

椭圆的性质.由题意知25-r∏2=16,解得r∏2=9,又m>0,所以m=3.

5.C

“直线α,6没有公共点”="直线α,b互为

异面直线或直线α,b为平行线”，

“直线α,b互为异面直线”直线α,b没

有公共点”，

.∙.“直线α,i)没有公共点”是“直线α,6互为

异面直线”的必要不充分条件。

6.D

向量的线性运算.由题得AXb=IX2+(-l).x=2-x=l.所以x=l,

7.D

2,+z-6=(2z-3)(z+2)=0.∙.

Vt°n(a+加冷咨

1-tanatanb

.*.=itana=^ttanb=—2时,

当tαna=-2,tanb='时

8.C

由题可知:Nιz2=10,所以N=I00.

9.B

若α≤0,则不等式忸—3|<。的解集为0,不符

题意

若α>0,由,-3∣<α可得一0<工一3<α

解得一α+3<z<α+3

由不等式的解集为口|一3<工<9｝可得

-α+3=-3

'«+3=9

解得。=6

10.A

由于B中的元素也存在于A,因此B包含于A。

11.

0.√3,-√3,AB为A和B的合集，因此有χ2=3或χ2=x且X不等

于1,所以X=°，8,一8

12.{x∣0<x<l},

由已知，集合4中的不等式

Iog2x<l=Iog^,由2>1得到对数函数为增

函数及对数函数的定义域为：N>O得到:

X-IC-T

0<x<2；而集合3中的不等式-------<O可

N+2

化为｛Æ—1>Or1<O

〉解得

x+2<O[c+2O

-2<x<l,

则A={比IO

<X

<2}

B={x∖-2<x<l},所以

AΓ∖B={x∖0<X<1}

13.2/3

两直线的位置关系.由题意得-2∕ax(2a-I)=-1,解得a=2∕3

14.(x-l)2+(y-2)M圆标准方程.圆的标准方程为(x-a)2+(y-

2)2=r2,a=1,b=2,r=2

15.

万,复数模的计算∙∣3+2i∣=字Nrʌɜ-

1

ɪ1ɔ∕1∖3

162+⅛)-2--=4+9-2=ll

16.11,因为3∖8∕,所

以值为11。

17.{x∣x>4或x<-5}

方程的根为或所以不等式的解集为或

x=4x=-5,{x∣x>4x<-5}o

18.-6

函数值的计算.因为为增函数，所以x

19.[2,5]y=2x,y=log2xy=2+log2x

在[1,2]上单调递增,故f(x)∈[2,5].

20.8

由题得集合4的子集有:0,{ι},{2},{3},

{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},所以共8

个。

21.

解：⑴依题意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(盹)

其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19吨

19_19

所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为：19+4+2+3—28

⑵据数据统计，总共抽取了100吨生活垃圾，其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正确的数量分别为24吨，19吨，14吨，13吨。故生活垃圾投放正

确的数量为24+19+14+13=70吨，所以，生活拉圾投放错误的总量为IoO-70=30吨，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放错误的概率：------ioδ-----------=Io

22.解：

实半轴长为4

.*.a=4

e=c∕a=3∕2,.*.c=6

.∖a2=l6,b2=c2-a2=20

S41

双曲线方程为M20

23.

I-Y

解：(1)由题意可知:---->O,解得：-1<.v<l,

l÷x

函数/(X)的定义域为Xe(-1,1)

⑵函数/(x)是奇函数，理由如下：

//\11—(一χ)1i+χI-X〃、

/(-X)=Iog——-=IOg--=-1Iog--=-fix),

fl1+(-x)(J1-xa1+x

函数/(x)为奇函数

24.解：

(1)因为f(x)=在R上是奇函数

所以f(-χ)=-f(χ),f(-1)=4(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因为f(x)=在R上是减函数,t2-3t+1<-1

所以1<t<2

25.

(1)依题意有

/(x)+3/(1)=X

.X

∕d)+3∕(x)=1

XX

解方程组可得：

3-√

/(X)=

8x

(2)函数/(x)为奇函数

∙.∙函数/(X)的定义域为｛x∣X≠0｝关于原点对称，且

3Λ3-X2

/(-ʃ)=~(~^)^=~√(χ)

8(r)8x

.∙.函数/(x)为奇函数

26.

证明：在AABD中，AB=2,AD=4,NDAB=60°

：.BD=√22+42-2×2×4COS60=2√3

则AB1+BD2=AD2

即AB±DE

平面EBD_L平面ABD

AB_L平面EBD.则ABɪDE

27.

Hμ∙√(sinlθ-coslO

解:原式:--------T,一

COSlO-Ycos"()0

IsintO-CoslO∣CoSIo-sin10,

sinlθTCOSlOOcos10-sin10

28.

cosa≈--9a∈(J,∕τ),.∙.Sina=：

525

,乃、π..π

.∖cos(α+—)=CoSaCoS——sinasinɪ

666

(二)χ近，XL一速巴

525210

29.

设中点P(X,y)由题意得

例=2

I用,又A(-2,0)fB(1,0)

22

J(x+2')+y_2

...J。+1)2+/

得χ2-4x+y2=o或(χ-2)2+y2=4

30.

P=I-(1-0,6)3=l-0.064=0.936

»=2x+w

.∙.17/+16mx+4>-4≡0

当△>()时，即-、行</而，相交

当△=()时∙，gpw=±√17,相切

当△<()时，即冽>而掰<-而，相离

32.sinα

33.x-7y+19=0或7x+y-17=0

34.设所求直线方程为y=kx+b

b

由题意可知-3=2k+b,b=k

解得，二时，b=0或k=-l时，b=-l

V=--xsfty="X-I

.∙.所求直线为2R

35.

解：(1)证明过程略

(2)解析：：平面ABDL面ACD二平面ABD平面ACD=JW作IiE

_LADTE

贝IJB£L平面ACD作BF_LAC于F

连接EFΛEFJ.AC：.BFJE为所求角

设BD=U则AC=2√2HBF=√2a

EFAFrc,√2a-√3α√30

CDAD√5α5

siπZ5FF=-

5

36.证明⑴连接SB,所以E,G分别是BC,SC的中点，所以EG//SB

又因为SB包含于平面BDDlBl私，EG不包含于平面BDDlB],所以

直线EG//平面BDDiDi

(2)连接SD∙∙.∙FG分别是DC、SC的中点.

.,.FG//SD又YSDU平面3DD∣B,FG平面

BDD}B,,:.FG//平面BDD出，且EGU平面

EFG.由(1)知直线EG〃平面HDDJil,FGU

平面EFG,EG∩FG=G.:.平面EFG〃平面

BDD1B1.

37.(l)f(x)=2sin(x-π∕4),T=2τc∕∣π∣=2π

(2)由题意得g(x)=f(x+π∕3)=2sin[(x+π∕3)-π∕3]=2sinx,x∈R.Vg(-x)=2sin(-

x)=-2sinx=-g(x),为奇函数.

38.(l)f(x)=3χ2-3a,丁曲线：y=f(x)在点(2,f(x))处与直线y=8相切,

.∣∕s(2)≡O/3(4∙~α)=,O∕α=4»

,,∣∕(2=8)∣8-6α÷Λ≡8^>(A-24

(2)V/'(ʃ)=3(x,-a)(aNo).当aVO时.

∕,<J)>0.⅛tt∕(j∙)在(-8,+8)上单调递

增.此时函数/(ʃ)没有极值点.当a>0时.南

r<*∖=OA工=±。・当is(―∞t—√<Γ)B∙t.

/•《£)>0.函数/G)单调递增.当工W(-√7.

J7)时.A∙Γ>VO.函数/(«!•)瓶蠲递液.当I6

<√5^・+8)时.八]>>0.函数/(ɪ)单网递增.

此时是,《工)的极大值点,τ=√7是

/Cr)的极小值点.

39.⑴设数列⑶｝的公差为d,由aι=2和az,a3,a4+l成等比数列,得

(2+2d)2=(2+d)∙(3+3d),解得d=2,或d=-l,当d=-l时a3=0与a2,

a3,法+1成等比数列矛盾，舍去.所以d=2,所以an=al+(n-l)d=2+2(n-

l)=2n即数列｛a11｝的通项公式a∏=2n.

(2)b.--------------------------?______1J

n∙(α.÷2)n(2n+2)n(,n+1)

11111111

〃Λ+1223n

11

〃+1〃+1・

40.

∏jiiosso(g)....................................2分

©为WJO支金W宜叁的平均数乃

4546+46495()5O5()5∣+5I52”、

-----+--------------+------+-------+-------+------+-------------+-----=49Cgj,

IO

所以可以牯计在枇会品去际支受的平均蒙为49rgj；................................4分

(2)S］为ItIo级食品中实际上受小于或手孑47g的有3装，

3

所以可以估计由枇长旦支支的不合格率为正.......................6分

7

故可以估计违扰会品宜■&的合格率为二.......................8分

41.

α2

eɪ)m∣fiβ.fl∣.tin

r-2・

af∙6r4c,∙

[-2∙Λ.所以IlIj的方程为

∣λ≈2.m4

(2)ΛΛA.B的)除分Ml为Cr・・")・《z,・“》.

线段AB的中点为M<z,.y,).*

k'.y'.

I--4十—・•】・

*84消去7∙3∕'+4iwʃ+2*'-&■

b∙ι・R∙

O所以Δ-96-Hmr>0•所以-2√3<m<2

∕T£■+4・2«.*•

√3.WUZΛ*∙----J----≡----r-∙›∙τ∙÷m-γ.

因为点Mer•*)在Mr'+∕-1上・所以(一

÷(^∙)f≡l∙WUm■士-ɪɪ.

335

42.

解：

一ɪabc

(1)在AABC中设-；—=--="——=2R

SlnNsin5sinC

则：a=2RsinA.b=2RsinB,c=2RsinC

TbcosC=(3a-c)cosB

/.2RsinBcosC=(3∙2RsinA-2RsinC)ψsB

即：SinBcosC=3sinAcosB-SinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180o-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

.sinA1

..cosB=----------二—

3sinJ3

(2)依题意如右图所示

∙.∙≡∙BC=∣Λ4∣∣BC∣cosB=^ac=2

.∙.ac=6--------------(1)

CI„a1+c2-b2a2+c2-8

又不=cosB=———=---

3Iac12

.∙.α2+c2=12------------(2)

联立⑴②解得

a=c=-Jβ

43.

/ɪ-1.ɪ≥1

(D函数