2023版高考数学一轮复习讲义：第二章函数的概念与基本初等函数2-8 函数与方程

第八节函数与方程

最新考纲

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性

及根的个数.

考向预测

考情分析：本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点

解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题

为主，属中档题.

学科素养：通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养.

必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记2个知识点

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y=Λχ),我们把使的实数X叫做函数y=Λχ)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与X轴的交点、对应方程的根的关系：

2.函数零点存在定理

(1)条件：①如果函数y=_Ax)在区间M，灯上的图象是一条连续不断的曲线；

②<0.

⑵结论：函数y=∕(x)在区间(α")内至少有一个零点，即存在cC(α"),使得,

这个c也就是方程yu)=o的解.

二、必明3个常用结论

1.若连续不断的函数./(X)在定义域上是单调函数，则./U)至多有一个零点.函数的零点

不是一个“点”，而是方程段)=0的实根.

2.由函数y=∕(x)(图象是连续不断的)在闭区间［小切上有零点不一定能推出大〃)：/(初<0,

如图所示，所以式〃)贸份<0是)，=∕(x)在闭区间口，加上有零点的充分不必要条件.

V=√(Λ∙)

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“。”或"X”).

(1)函数/x)=f—1的零点是(一1,0)和(1,0).()

(2)函数y=/U)在区间(0,份内有零点(函数图象连续不断)，则一定有犬/负b)<0.()

(3)二次函数y=0v2+Zλt+c(αz≠z0)在∕>2-44c<0时没有零点.()

(4)若连续不断的函数式x)在3，3上单调且共〃)负6)<0,则函数_Ax)在［”,切上有且只有

一个零点.()

(二)教材改编

2.［必修1∙P92习题A组T5改编］函数T(X)=Inx—I的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.ɑ,1)和(3,4)D.(4,+∞)

3.［必修1R8例1改编］函数段)=x：-(»的零点个数为.

(三)易错易混

4.(忽视二次项条教为。的情况)若函数兀v)=20χ2—》一1在(0,1)内恰有一个零点，则

实数α的取值范围是()

A.(-1,1)B.fl,+∞)

C.(1,+∞)D.(2,+∞)

5.(不会用教形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数.九0=『一2x+〃z在区间(0,4)

上存在零点，则实数m的取值范围是.

(四)走进高考

6.［2019∙全国ΠI卷］函数4r)=2sinx-$小2%在［0,2兀］的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一函数零点所在区间的判定

ɪ.函数y(χ)=21+in(的零点所在的大致区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(0,1),(2,3)

2.若a<h<c,则函数y(x)=(χ-α)(X—勿+(χ-h)(X—c)+(X-C)(X—4)的两个零点分别位

于区间()

A.(a,b)和(b,C)内

B.(—8,°)和(小b)内

C.(CC)和(c,+8)内

D.(一o°,α)和(c,+8)内

3.已知函数y(x)=logd+χ一伙4>0且4≠l).当2<α<3<X4时，函数y(x)的零点XOG(〃，

n+l),-∈N*,则"=.

反思感悟确定函数零点(或方程的根)所在区间的3种方法

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=∕(x)在区间体，例上的图象是否连续，再

看是否有大”)√(6)<0.若有，则函数y=兀V)在区间(0,6)内必有零点.

(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间.

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与X轴在给定区间上是否有交点来判断.

考点二确定函数零点的个数［基础性、综合性］

χX2:十yXɔz,γxV_Λu,的零点个数为（）

{—1+Inx,X>O

A.3B.2

C.1D.O

（2）［2022•河南郑州质检］已知函数段）=（1-cosx,则於）在［0,2兀］上的零点个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

听课笔记：

反思感悟函数零点个数的判断方法

（1）直接求零点：令y（x）=o,有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：要求函数在区间出，句上是连续不断的曲线，且式.）逃6）<（）,再结

合函数的图象与性质确定函数零点个数；

（3）利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

【对点训练】

1.［2022∙重庆调研［设函数段）=2k∣+x2—3,则函数y=∕（x）的零点个数是（）

A.4B.3

C.2D.1

2.函数兀0=2SinXSin（x+］）—Jt2的零点个数为.

考点三函数零点的应用［综合性］

角度1根据函数零点个数求参数

I例2］（1）设实数α,〃是关于X的方程IIgXI=C的两个不同实数根，且α<X10,51∣Jabc

的取值范围是.

2√X,0≤X≤1,ι

（2）已知函数y（x）=1若关于X的方程/U)=—WR)恰有两个互异

-,X>1.4

的实数解，则。的取值范围为（）

-5959

A.B.,4'4.

C∙(!>汕{1}Dg,5U{1}

角度2根据零点的范围求参数

[例3](l)[2022∙武汉质检]若函数./U)=/-or+l在区间向，3)上有零点，则实数。的

取值范围是()

A.(2,+∞)B.[2,+o0)

C[2,1)D.[2,T)

(2)[2022•衡水检测]已知定义在R上的函数y=∕(x)满足"r—l)=Kx+l)=∕U-χ),当

x∈[l,2]时，yU)=bg2X,若方程外)一以=O在(0,+8)上恰好有两个不等的实数根，则正

实数”的值为()

A.-ɪ-B.-ɪ-

Iog2eeɪn2

c∙1d∙2

角度3求函数多个零点(方程根)的和

I例4][2021•广东七校联考]设函数人幻的定义域为R,火-X)=Kr)且y(x)=A2—X),当

x∈[0,1]时,/U)=/,则函数g(x)=∣cos(πx)∣-∕(x)在区间(―；，|]上的所有零点的和为()

A.1B.2

C.3D.4

反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数值(范围)的3种常用的方法

⑴直接法

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

【对点训练】

1.[2022∙武汉质量监测]已知函数外)=三一α.若兀r)没有零点，则实数。的取值范围是

()

A.[O,e)B.(0,1)

C.(O,e)D.[0,1)

2.若函数√U)=(帆-2)χ2+mχ+2m+l的两个零点分别在区间(一1,0)和区间(1,2)内，

则m的取值范围是.

微专题⑪解嵌套函数的零点问题

函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数

与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元

解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

类型1嵌套函数零点个数的判断

嘤2则函数4m)Kfx)+l的零点个数是

I例1]已知KX)=

解析:由2[/(X)]2—37U)+1=O,得危)=：或火x)=l,

作出函数y=*x)的图象如图所示.

由图象知y=/与y=Kx)的图象有2个交点，y=l与y=∕(x)的图象有3个交点.

因此函数y=2[∕(x)]2-3∕U)+l的零点有5个.

答案:5

名师点评求解此类问题的主要步骤

⑴换元解套，转化为f=g(x)与y=∕(f)的零点.

(2)依次解方程，令人/)=0,求f,代入∕=g(x)求出X的值或判断图象交点个数.

类型2求嵌套函数零点中的参数

阴2]函数©=代：二1二；若函数岭)=册…有三个不同的零点,

则实数a的取值范围是.

解析：设f=Λx),令胆x))—α=0,则α=√⑺.

在同一坐标系内作y=",y=∕(f)的图象(如图).

当a》一1时，y=α与y=∕(f)的图象有两个交点.

设交点的横坐标为“，一不妨设则1,(2^—1.

当tl<-l时，"=Kx)有一解；

当攵》一1时，，2=式尤)有两解；

当a<—1时y=α与y=√(r)的图象只有一个交点，函数g(x)只有一个零点，不合题意,

综上，当a2一1时，函数g(x)=∕(∕(X))-∙α有三个不同的零点.

答案：［—1,÷∞)

名师点评(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y="与y=∕(f)的图象，确定八，

介的取值范围，进而由f=Kx)的图象确定零点的个数.

(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结

合.

2*+2Vɪ

［变式训练］已知函数y(x)=~/x-'则函数尸(X)=/(/a))—〃(x)—J的零

,∣log2(x-1)1，X>1,

点个数是()

A.4B.5

C.6D.7

第八节函数与方程

积累必备知识

1.(IV(X)=O(2)X轴段)=0

2.(Ima)负力(2V(C)=O

*.、

I.答案：⑴X(2)×(3)√(4)√

2.解析：因为√(2)=ln2-l<0,

/3)=In3-∣2>0,

且函数火X)的图象连续不断，兀V)为增函数，

所以危)的零点在区间(2,3)内.

答案：B

3.解析：作函数yι=χ5和丫2=c)*的图象如图所示,

结合函数的单调性及图象知函数y(x)有1个零点.

答案：1

4.解析：若函数7CX)=2OΛ2-x—1在区间(0,1)内恰有一个零点，则方程2加一x—1=

0在区间(0,1)内恰有一个根，若a=0,则方程2ax2-χ-l=0可化为：-X-I=O方程的

解为一1,不成立；若“<0,则方程2加一工一1=0不可能有正根，故不成立；若α>0,则/

=l+8a>0,且C=-I<0；

故方程有一正一负两个根，

故方程20χ2-χ-l=0在区间(0,1)内恰有一个解可化为

(2α∙02-0-1)(2α∙12-1-1)<0；

解得，a>l;

故实数”的取值范围是(1,+∞).

答案：C

5.解析：由题意/*=—x2+2X在(0,4)上有解，又一Λ2+2X=—(X—1)2+1,

.∙.y=-f+2x在(0,4)上的值域为(-8,1］,Λ-8<∕M≤1.

答案：(-8,1］

6.解析：方法一函数y(x)=2sinχ-sin2x在［0,2兀］的零点个数，

即2sinχ-sinZc=O在区间［0,2π］的根个数，

即2sinjc=sin2x,令A(x)=2sinx和g(x)=sin2x,

作出两函数在区间［0,2π］的图象如图所示，由图可知，

∕ι(x)=2SinX和g(x)=sin2x在区间［0,2兀］的图象的交点个数为3个.故选B.

方法二因为y(x)=2sinx-sin2x=2SinX(I—CoSX),x∈［0,2π］,令兀C)=0,得2sinx(l

—cosx)=0,即SinX=O或I-Cosx=O,解得X=0,π,2π.

所以兀r)=2sinχ-sin2x在［0,2π］的零点个数为3个.

提升关键能力

考点一

1∙解析：求函数加）=*+ln柳零点所在的大致区间，等价于求六+In”的解所

在的大致区间，等价于求*=一叱的解所在的大致区间，等价于求*=EX的解所在的

大致区间，等价于求>=言与y=lnx的图象在（0,+8）上的交点的横坐标所在的大致区间

（如图所示），由图可得，选D.

答案：D

2.解析：∙.∙qv⅛<c,

Ha)=(a—b)(a—c)>0,

fib)=(⅛-C)S—α)<0,

/(c)=(c—d){c-⅛)>0,

由函数零点存在性定理可知,在区间3,b）,（6,C）内分别存在零点，又函数火X）是二次

函数，最多有两个零点，因此函数yu）的两个零点分别位于区间（。，b）,s，c）内.

答案：A

3.解析：对于函数y=logd,当x=2时，可得yvl,当x=3时，可得y>l,在同一坐

标系中画出函数y=log,My=-χ+b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在（2,3）

内，；・函数段）的零点xo≡（m〃+1）时，n=2.

答案：2

考点二

例I解析：(1)方法一由T(X)=O得1x≤0'或］x>0,解得χ=-2或

Ix2+X-2=01-1+Inx=0,

X=e.

因此函数应0共有2个零点.

方法二函数yu）的图象如图所示，由图象知函数共有2个零点.

(2)如图，作出g(x)=(}∙v与∕z(x)=COSX的图象，可知其在［0,2π］上的交点个数为3,

所以函数7U)在［0,2兀］上的零点个数为3,故选C.

答案：⑴B(2)C

对点训练

1.解析：易知兀V)是偶函数，当x20时，yU)=2'+∕-3,所以x20时，7U)在［0,+

8)上是增函数，且KI)=0,所以x=l是函数y=y(x)在［0,+8)上的唯一零点.

根据奇偶性，知X=-1是y=∕(x)在(一8,0)内的零点，因此y=∕(x)有两个零点.

答案：C

2.解析:兀K)=2sinXcosχ-Λ2=sin2χ-χ2,函数«r)的零点个数可转化为函数y∣=sin2x

与)>2=X2图象的交点个数，在同一坐标系中画出yι=sin2r与yz=x2的图象如图所示：

由图可知两函数图象有2个交点，则/U)的零点个数为2.

答案：2

考点三

例2解析：(1)由题意知，如图，在(0,10)上，函数y=∣lgx∣的图象和直线y=c有两个

不同交点，所以必=1,0<c<lg10=1,所以出七的取值范围是(0,1).

(2)画出函数y=/(x)的图象，如图.

方程“r)=—%+。的解的个数，即为函数y=Kx)的图象与直线/：y=-%+α的公共点

4∙4

的个数.

当直线/经过点A时，有2=—；Xl+〃，a=：；

44

当直线/经过点B时，有I=一Lχi+α,«=；；

44

由图可知，a∈g,三时，函数y=∕(x)的图象与/恰有两个交点.

另外，当直线/与曲线y=1,Ql相切时，恰有两个公共点，此时“>0.

(1

V=—,

联立1x得工=-%+〃，

11γ4

y=——X+aa,什

‹4

即工X2—αr+l=0,

4

由/=/-4义：Xl=0,得4=1(舍去负根).

综上，α∈［j,U{l}.

答案：⑴(0,1)(2)D

例3解析：(1)由题意知方程办=/+1在3)上有实数解,

即α=x+5在G，3)上有解,设f=x+[,x∈Q,3),

则f的取值范围是［2,y).

所以实数”的取值范围是［2,

(2)由y(x-i)=y(x+i)=/U-x),可知人X)为偶函数，且一条对称轴为直线X=1；

再由"r+D=/(X—1),可得负2+x)=∕(x),求得周期为2.

根据Xe［1,2］时，∕x)=Iog2JV,作出函数T(X)的草图，如图所示：

：方程√(x)-&v=O在(0,+8)上恰好有两个不等的实数根，

.∙.函数y=ax与y=√(x)的图象在y轴右侧有两个交点.

设y=αr与y=log2X的图象相切时，切点坐标为(XO,Iogiro),

由y'==，得:=维也，解得x0=e>2∙

X0In2X0

,由图象可知，当直线y=ax过点(2,1)时，方程/U)—“x=0在(0,+8)上恰好有两个

不等的实数根，,a=/

答案：⑴D(2)C

例4解析：由八一x)=∕(x),知函数式x)是偶函数，由y(x)=火2-X),可知函数y(x)的图

象的对称轴为直线X=L由于函数y(x)与函数y=ICOS(πx)∣均为偶函数，所以在[一，|]上g(x)

的零点之和为0,只需求在C，|]上的零点和.在同一个直角坐标系中画出函数y=∣cos(πx)∣,

尸危)在&|]上的图象