2023年高考数学一轮复习讲义：第二章 2-2函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值

【考试要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.掌握函数单调性的简单应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数Tu)的定义域为/,区间。=/,如果VM,X2≡D

当为<X2时，都有函)<"?),

定义当Xla2时，都有"ι)>∕tχ2),那么

那么就称函数T(X)在区间。上

就称函数y(χ)在区间。上是减函数

是增函数

y=f(×)×fy=∕(∙^)

j¼)僧丁瑞)

≤⅛L

图象描述0ɪi~⅛^^X

θpɪX2X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=∕(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=Ax)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间D叫做y=y(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=Ax)的定义域为/,如果存在实数M满足

(l)∀x∈∕,都有∕U)≤M;(l)Vx∈λ都有∕U)NM;

条件

(2)3A¾∈Z,使得"O)=M(2)Ξxo∈/,使得"o)=M

结论M为最大值M为最小值

【常用结论】

1.Vx∣)X2GD且XlwX2,有AXD二火")>0(<0)或3一X2)次XD―加刈>0(<0)仁次X)在区间D上

X∖—Xl

单调递增(减).

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

函数y=7(χ)(Λχ)>o或HX)VO)在公共定义域内与y=-/(X)，y=六

3.的单调性相反.

j∖χ)

4.复合函数的单调性：函数y=∕("),〃=9(x)在函数y=∕⅛(x))的定义域上，如果y=∕(")与"

=O(X)的单调性相同，那么y=y(9(x))单调递增；如果y=.K")与"=9(x)的单调性相反，那么y

=Λp(χ))单调递减.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若人幻的定义域为R,且人一3)勺(2),则於)为R上的增函数.(X)

(2)函数y(x)在(一2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(一2,3).(X)

(3)因为y=x与y=e',都是增函数，所以y=xe，在定义域内为增函数.(X)

(4)函数)，=：的单调递减区间是(一8,0)U(0,+∞).(×)

【教材改编题】

1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=∣x÷1∣B.y=2~x

C.y=~D.y=√-x+1

答案A

2.函数丫=言在区间［2,3］上的最大值是.

答案2

X1Y9

解析函数y=士=1+士在［2,3］上单调递减，当χ=2时，y=士取得最大值Wi=2.

X1X1入IZl

3.函数y=M"在(-8,1)上为增函数，则实数“的取值范围是.

答案(一8,0)

■探究核心题型

题型一确定函数的单调性

命题点1求具体函数的单调区间

例1下列函数在(0,+8)上单调递增的是.(填序号)

φγ=e'-eɔ';∣x2-2x|；③y=x+cosx;,7%2÷x-2.

答案①③

解析∙.∙y=e∙与y=-e'为R上的增函数，

.∙.y=e'-b，为R上的增函数，故①正确；

由>=仅2—切的图象知，故②不正确；

对于③，y,=I-SinX20,

.∙.y=x+cosx在R上为增函数，故③正确；

y=∖χ2+χ-2的定义域为(一8,—2]U[1,+o°),故④不正确.

命题点2判断或证明函数的单调性

例2试讨论函数«r)=言(α≠0)在(一1,1)上的单调性.

解方法一设一1<X1<T2<1,

危)="(⅛3=M+D'

加)一段2)=小+因一a。+言)

a(x2-x∖)

(XLl)(X2—1)'

由于一1<X1<X2<1,

所以尤2—Xl>0,Xj-l<0,X2—1<0,

故当。>0时，#为)一五]2)>0,即yuι)习口2),函数yu)在(一1,1)上单调递减;

当a<0时，危1)一於2)<0,

即兀⑴勺⑴)，函数yω在(一1』)上单调递增.

士、七一〃,、(QR)'(X-I)-Ga-1)’

方法—f(X)=(Ll)2

a(χ-j)-gχa

=(X-I)2=~(X-I)2,

当a>0时，/(Λ)<0,函数TW在(-1,1)上单调递减;

当“<0时，f(X)>0,函数/)在(一1,1)上单调递增.

【教师备选】

1,x>09

1.设函数兀¥)=<。，4=0，g(x)=x2f(χ-l),则函数g(x)的单调递减区间是

「1,x<0,

答案［0,1)

X2,x>∖,

解析由题意知g(x)=<0,x=l,该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1).

.~xz,x<l,

2.已知4>0,函数T(X)=R++r>O),证明：函数√(x)在(0,也］上单调递减，在［3，+oo)±

单调递增.

证明方法一(定义法)设∙X1>X2>O,

X%1)-∕(X)=X∣+--X2-T

2人1人2

(X1—12)(帝也一。)

XlX2'

Vχ∣>X2>0,/.Xj-X2>0,X∣X2>0,

当Xi,X2≡(0,时，OVXlX2<。，

.∙.X∣X2-^<0,

，於1)一心2)<0,於1)勺S),

∙∙√U)在(0,上单调递减，

当X］,+8)时，X∣X2>6Z,

-,∙x∖X2-a>0,∙'∙∕(JCI)-/%2)>0,

，於1)次X2),

.∖∕(x)在［/，+8)上单调递增.

方法二(导数法)

“4x2-qʌ

f(X)=I-m=^Γ^(x>0),

令/(X)>0=>/—α>o=χ>AyZ

令f'W<0^Λ2—α<O=>O<r<∙∖∕α,

.∙√(x)在(0,上单调递减，在［6，+8)上单调递增.

思维升华确定函数单调性的四种方法

(1)定义法：利用定义判断.

(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数.

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；

二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定

简单函数的单调性.

跟踪训练1(1)函数,/(x)=ln(4+3χ-χ2)的单调递减区间是()

B卷，+8)

c.(-1,ID.∣,4)

答案D

解析段)=ln(4+3χ-产)的定义域为4+3χ-x2>0,

解得χ∈(-l,4).

3

令/=4+3/—对称轴为X=],

故单调递增区间为(一1,1),

单调递减区间为弓，4),

因为y=lnf为增函数，所以贝X)=In(4+3χ-χ2)的单调递减区间为6，4),

(2)函数/(x)=k—21X的单调递减区间是.

答案[1,2]

x2~2x,x22,

解析.穴无)=

.-x2+2x,x<2.

画出y(x)的大致图象(如图所示),

由图知外)的单调递减区间是[1⑵.

题型二函数单调性的应用

命题点I比较函数值的大小

例3(2022.成都模拟)已知函数段)为R上的偶函数，对任意笛，x2∈(-∞,0),均有(Xl-

ɪ1

X2)(AXI)—心2)]<0成立，若α=∕(ln√5),则“，b,C的大小关系是()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

答案B

解析对任意Xl,X2∈(-°°»0),

均有3—X2)[∕U∣)-式检)]<0成立，

.∙.此时函数在区间(一8,0)上单调递减,

:/U)是偶函数，

二当x∈(0,+8)时，y(χ)单调递增，

ɪ

又yU)=χ3在χ∈(o,+8)上单调递增，

，Ke5<35,

1ɪ

又0<ln√2<l,Iny∣2<eɜ<3^,

ɪɪ

.∙./(35)>∕(e5)^ln√2),

即a<c<b.

命题点2求函数的最值

r+5

例4(2022•深圳模拟)函数V=不亮的最小值为

答案I

解析令后q=t,则层2,

函数y=r+:在[2,+8)上单调递增，

当f=2时，Vmin=,.

命题点3解不等式

例5已知函数式X)=InX+2*,若凡r-l)<2,则实数X的取值范围是

答案(1,2)

解析,危0在定义域(0,+8)上是增函数，

且HI)=2,

・,・原不等式可化为,∕U-1)4D,

[x—1<1,

・・・解得∖<x<2.

Lr—1>0,

命题点4求参数的取值范围

ax,XeL

且满足对任意的实数X≠X2都有曲匕幽>0成立,

例6函数段)=/d∖1

X-X2

(4-/工+2,x<∖f∖

则实数”的取值范围是()

A.[4,8)B.(4,8)

C.(1,8]D.(1,8)

答案A

解析函数段)=bG满足对任意的实数，≠X2都有&“二於2>0,

(4—?x+2,x<l为一念

ax,无21,

所以函数7U)=bG是R上的增函数，

(4-])χ+2,x<l

Z>l,

4一4›0

则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足J2“解得4这α<8,

。24—g+2,

所以实数”的取值范围为f4,8).

工教师备选】

l.(2022∙嘉峪关模拟)函数∕x)=1n(∕-αr—3)在(1,+8)上单调递增,则“的取值范围是()

A.(—8,—2]B.(—8,—2)

C.(-∞,2]D.(-8,2)

答案A

解析函数y(x)=ln(Λ2-or—3)为复合函数，令ι∕(x)=χ2-公一3,

y=lnu为增函数，

故只要心)=/一帆一3在(1,+8)上单调递增即可，只要J2解得后一2.

MI)N0,

a,ClWb,

2.对于任意实数mb,定义min{0,h}=∖设函数α¥)=—x+3,g(x)=log2%,则

bya>h.

函数力(x)=min伏x),g(x)｝的最大值是.

答案1

解析方法一在同一坐标系中，作函数应0，g(χ)的图象,

依题意，〃(x)的图象为如图所示的实线部分.

y↑

Y3

:央FN(X)

易知点A(2,1)为图象的最高点，

因此的最大值为Λ(2)=l.

log2%,OVXw2,

方法二依题意，A(x)=

-x+3,x>2.

当OeXW2时，Λ(x)=Iogjx单调递增，

当x>2时，力(X)=3-χ单调递减，

因此〃(X)在x=2时取得最大值〃(2)=L

思维升华(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单

调性解决.

(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去"，'，转化为自变量间的大小

关系，应注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))

或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

跟踪训练2(1)已知函数於)=eμι,记α=y∏og23),b=fi-2),c=∕e),W∣Ja,h,C的大小关

系为()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

答案A

解析函数,/(x)=eR,其定义域为R,

且八一X)=erxl=ew=fix),

•••./U)为偶函数，

当Λ>0时,fix)为增函数，

又6=<-2)=y(2),且e>2>log23,

•Me)次2)Xlog23),即a<b<c.

■■j^2,J..4jʧ4

F若函数y=∕(x)在区间①，〃+1)上单调递增，则实数〃的

{lθg2X,x>4,

取值范围是()

A.(一8,1]B.[1,4]

C.[4,+∞)D.(一8,1]U[4,+∞)

答案D

’的图象，如图，

ɪogu,x>4

f—H4x,

由图可知函数/)=1''的单调递增区间为(一8,2),(4,+∞),

llog2%,x>4

∙.∙函数在(α,α+l)上单调递增，

.∙.α+lW2或a>4,.∖“Wl或a24.

(3)已知y(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递减，则不等式y(2x—1)XX

+1)的解集为.

答案(0,2)

解析依题意汽制是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)上单调递减，所以

fi,2χ-1)»x+1)0(2X-l)2<(x+1)2,

即4x2∙-4x+l<x2÷2x÷1,

即Λ2-2x-x(x-2)<0→Λ∈(0,2).

课时精练

.基础保分练

1.下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减的是()

A.y=^-χB.y=x1-χ

C.y=∖nχ-χD.y=ex

答案A

解析当X£(0,+8)时，y=(与y=-X单调递减，.・.y=：—X在(0,+8)上单调递减.

Y

2.函数TU)==在()

A.(―8,1)U(1,+8)上是增函数

B.(-æ,1)U(I,+8)上是减函数

C.(―8,1)和(1,+8)上是增函数

D.(一8,1)和(1,+8)上是减函数

答案C

解析函数火x)的定义域为{x∣XW1}.

c、X1

="；］

Jy(χ)=^jI-XI-X-,

根据函数y=—：的单调性及有关性质，

可知KX)在(-8,1)和(1,+8)上是增函数.

2Λ2+3

3.(2022.安徽六安一中月考)若函数HX)=H旨，则7U)的值域为()

A.(一8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+∞)

答案C

2

._,r.2x+3ι1

解析J(x)=i+χ2=2+χ2+l,

Vx2≥O,Λx2+l≥l,

∙'∙°c⅛iWi,

∙∙√ω∈(2,3].

4.（2022・贵阳模拟）已知函数次x）在（一8,+8）上单调递减，且为奇函数，若爪1）=一2,则

满足-2W4v-2）W2的X的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[1,3]D.[0,4]

答案C

解析因为,危0为奇函数，

若70)=—2,则式-1)=2,

所以不等式一2<4χ-2）W2可化为

ΛD≤^-2）≤X-1）,

又7U）在（-8,+8）上单调递减，

所以一iWx—2W1,解得IWXW3.

∙eʌ

_1若。=5°∙3,⅛=log32,C=IOg2O.9,则有

^1~x^,XW0,

()

A.J(a)>∕(b)>∕(C)

B.fib)>βa)>βc)

C-fia)>fic)>∕(b)

D.KC)Ma)习S)

答案A

解析y=et是增函数，y=e)是减函数，

因此在(0,+8)上丫=6，一1*单调递增，且此时y(χ)>o.

"x)=一χ2在XWo时单调递增，

所以兀V)在R上单调递增.

C=IOg2。.9<0,⅛=log32,

所以0<⅛<1,α=500l>1,

≡Pa>b>c,所以次α)N∕S)N∕(c).

InX+2'x>0,

6.已知函数段）=42则下列结论正确的个数是（）

[∖-χ

①/U）在R上为增函数；

②Λe）42）;

③若∕x）在（α,α+l）上单调递增,则“<T或心0；

④当x∈[T,l]时,兀r）的值域为[1,2].

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析易知危）在（-8,0],（0,+8）上单调递增，①错误，②正确；

若式X）在（α,。+1）上单调递增，

贝!∣a20或α÷1≤0,

即aW—1或020,故③正确；

当XG时,Λx）∈[l,2],

当x∈（OJ]时，y（χ）∈（-oo,2],

故x∈[-l,l]时,Xx）∈（-∞,2],

故④不正确.

7.函数>=一炉+2园+1的单调递增区间为，单调递减区间为

答案（一8,F和[0,1]（一1,0）和（1,+∞）

—x2+2x+1,xN0,

解析由于y—

—Λ2-2x÷l,x<0,

一(X—1)2+2,x≥0,

即y-'

一(x+1)2+2,x<0.

画出函数的图象如图所示,

单调递增区间为（一8,—1]和[0,1],单调递减区间为（一1,0）和（1,+∞）.

8.（2022・山东师大附中质检）已知函数KX）=eKF（q为常数），若T（X）在区间[1,+8）上单调递

增，则实数”的取值范围是.

答案（一8,1]

e∙l'^0,x≥a,

解析XX）=

eax,x<a,

当XNa时，火x)单调递增，当x<a时，<x)单调递减，

又7U)在［1,+8)上单调递增，所以αWl.

12.

9.已知函数段)=OX—瓦+"(α>0),且於)在(0,1］上的最大值为g(α),求g(α)的最小值.

12

解,/(x)=αr--+-(tz>O),

.∙√(x)在(0,1］上单调递增，

∙∙√U)max=y(l)=α+5,

.∙.g(α)="+}∖2,当且仅当"=［即«=1时取等号，

.∙.g(α)的最小值为2.

2

10.己知函数√(x)=α一不工γ.

⑴求购；

⑵探究HX)的单调性，并证明你的结论：

(3)若式x)为奇函数，求满足4依)勺(2)的X的取值范围.

.2

解(l)∕(O)=4一,泗_］,=〃一L

(2V(x)在R上单调递增.证明如下：

∙.√(x)的定义域为R,

任取x∣,Λ⅛eR且x∣<x2,

22

则於∣)-Λx2)=α——~--«+—~-

2Λ'+1T2+1

2∙(2r'-2r2)

一(1+2D(I+2*)，

2"在R上单调递增且x∣<x2,

Λ0<2v'<2jt2,

jv

...2∙>∙>一2⅛<o,2'+l>0,2金+l>0.

.∙.y(Λl)-χx2)<0,即於1)勺(X2).

.∙√(x)在R上单调递增.

(3)../》)是奇函数，.\/(一》)=-/(》)，

22

即。一^~ci1——ɔvI.»解得α=l.

2*十12+1

.♦..人办)42)即为火x)勺(2),

又∙.√U)在R上单调递增，.∙.x<2.

.∙.x的取值范围是(-8,2).

技能提升练

11.定义max{α,b,c}为4,b,C中的最大值，设M=max{2∙r,2χ-3,6-χ},则M的最小值

是()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析画出函数M=max{2∖2x—3,6—x}的图象(如图)，由图可知，

函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,

故M的最小值为4.

12.已知函数段)=当Xel机+1］时，不等式式2%—x)勺(X+m)恒成立,

则实数〃，的取值范围是()

A.(-8,—4)B.(-8,-2)

C.(-2,2)D.(—8,0)

答案B

I,x≤0,

解析易知函数yu)=<O-在XWR上单调递减,

%3,x>0

又人2勿2-x)矶x+∕n)在x∈［m,m+1］上恒成立，

所以2机一x>x+m,

即2x<τn在χW［加,加+1］上恒成立,

所以2(∕w+∖