第十四章知识资料知识资料静不定问题分析

§14-1引言第十四章静不定问题分析§14-2用力法分析静不定问题§14-3对称与反对称静不定问题分析§14-4平面刚架空间受力分析§14-5位移法概念简介§14-1引言我们解决过的简单静不定问题：特点与解法回顾：一根杆件杆件存在多余的外部约束，而且通常是1度静不定解除多余约束，代之以约束反力，明确变形协调条件；利用计算杆件变形的叠加法，将变形协调条件表示为外载和多余约束反力之间的协调条件，得到补充方程。特点:解法:复杂静不定问题的分类：外力静不定（仅在结构外部存在多余约束）内力静不定（仅在结构内部存在多余约束）混合(一般)静不定复杂的静不定问题：结构复杂，桁架、梁杆结合体等多余约束数目较多，静不定度高多余约束的类型（静不定形式）多样。

外力静不定外1度（平面）外3度（平面）外6度（空间）约束力分量个数：平面固定铰平面固定端平面活动铰空间球形铰空间固定端21336

(平面桁架)内力静不定内1度静不定度=m-(2n–3)

m:杆数；n：节点数内2度内6度单闭口的平面刚架或曲杆内3度静不定内3度

(平面刚架)内力静不定断开：内力静定刚性连接：多了三个内部约束FF6度内力静不定FF5度内力静不定FF4度内力静不定,加一根二力杆增加一度静不定FF2度内力静不定加一中间铰减少一度静不定

混合静不定1（内）＋1（外）＝2度3（内）＋3（外）＝6度梁：外3环：内3梁环接触：13+3+1=7度圆环(a)(b)(c)(a):内2度(b):内1度(c):2度

梁杆结构的静不定问题§14-2用力法分析静不定问题

几个概念：

基本系统：解除多余约束后的静定结构（静定基）

相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。基本系统和相当系统不唯一

力法分析要点：1、去除多余（内外）约束，建立相当系统（静定）,明 确变形协调条件2、根据变形协调条件建立补充方程3、确定多余未知力(多余内力和多余外力)一、外力静不定结构分析1.解除多余的外部约束，代之以支反力在解除约束处，建立变形协调条件相当系统相当系统变形协调条件：ACllRCM相当系统变形协调条件：单位载荷系统1单位载荷系统22.利用单位载荷法和变形协调条件，得到补充方程例1：已知外力偶M0，求水平位移。qORAB1(b)解：（1）先求支反力弯矩配置单位载荷（本题第一次利用单位载荷法）qORABM0FB(a)变形协调条件=0

构造相当系统，确定(2)求讨论：选取哪种单位载荷系统?qORABM0FB

1qORABFB'(b)qORAB1(a)（本题第二次利用单位载荷法）B端的水平位移为方法1:单位载荷加在静定基上qORAB1(c)方法2:单位载荷加在载非静定基上解静不定问题，求单位载荷系统的1qORABFB'(d)例2：已知EI为常数，求

AABCllM1、去除多余约束，建立相当系统ABCMHC2、利用变形协调条件和单位载荷法求HcABCll1x1x2ABCll1自行验证将单位力偶载荷加在非静定基上，应用单位载荷法求

A的结果2.第二次利用单位载荷法求

A

。ABCll1x1x2结构的弯矩方程为：由单位载荷法：二、内力静不定结构分析F利用切开截面的相对广义位移为零，利用单位载荷法建立变形协调条件切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力相当系统mm’F例3：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。a12345678aaP解：判断静不定度：内力静不定度：8-2

5+3=11、去除多余约束，建立相当系统2、建立补充方程(找变形协调条件)1234568PN7N7mm’1234568111234568PN7N7

利用单位载荷法建立补充方程N7PNi1817a6a5a4a30a201Nilia12345678aaP12345681思考1：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态1234568112345681思考2：求BD杆的转角，正确的单位载荷系统是_______答：C、DF分析（1）单位载荷法求解的是原结构在原载荷下的BD转角,而不是静定基（C或D）在单位载荷下的BD转角。12345612345665a4a3a2a1iliFNiFNi000065a4a3a2a1iliFNi0FNi（2）尽管不同的静定基在同样单位载荷作用下的内力不同，但按单位载荷法计算出的BD转角却是相同的例4：已知I=Aa2/10,求杆CH的轴力以及节点H的垂直位移解：判断静不定度：组合梁：1度内力静不定aaBDCHAEIEIEIFEAa1、

去除多余约束，建立相当系统BDCHAFNFNP2、建立补充方程(找变形协调条件)

利用单位载荷法建立补充方程

求CH杆的轴力：BDCHAFNFBDCHA11RDRBx1x2x3建立相当系统：单位载荷状态：FN

求节点H的垂直位移：aaBDCHAEIEIEIFEAaBDCHA1将单位载荷加在基本系统上作业：14-2(b),14-3,14-5作业分析：13－20A,B横截面上加何种外力使二截面恰好密合？两个条件需同时满足方能密合：（1）AB相对位移为（1）AB相对转角为一般地，设需要在AB截面上加在集中力F和集中力偶Me使AB面密合§14-3对称与反对称静不定问题分析高度静不定问题的求解较为繁琐如果研究对象是对称结构，加在对称结构上的载荷又是对称或反对称的，那么静不定问题的求解将会简化

基本概念

对称结构：形状、截面尺寸、材料性质、支持方式等沿对称面对称。对称面PM沿对称面对折后，载荷完全重合FFPPMMPPFFMM

对称载荷：作用位置、方位与指向对称，数值相等的载荷

反对称载荷：作用位置与方位对称，数值相等，指向反对称的载荷沿对称面对折后，载荷大小相同，方向相反作用在对称面上的集中载荷是对称载荷作用在对称面上的集力偶荷是反对称载荷

对称定律对称结构承受对称载荷承受反对称载荷内力、变形对称内力、变形反对称FFF利用对称变形条件 可以唯一确定对称内力，（例如取左半结构为研究对象)对称面变形特征：DC=0,qC=0对称面内力特征：FSC

=0利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算.

对称载荷作用时对称面上的变形与受力特点：利用反对称变形条件fC

=0，可以唯一确定反对称内力FSC在结构对称点C，对称加载情形，可直接确定一个内力，反对称加载情形，可直接确定两个内力。变形特征：内力特征：FNC

=0,MC=0fC=0

反对称作用时对称面上的变形与受力特点：例：已知圆环EI，求B、D相对位移d解：（1）建立相当系统B结构和载荷关于AC对称，故A、C截面上剪力为零；又A、C关于载荷对称，故A、C截面上的内力相等（其中轴力＝F/2)解：（2）利用单位载荷法，计算MB（3）计算利用圆环FABR2FRFABR2FR内力特征未知力反对称轴AB上例：小曲率圆环，B端固定，A端受力F已知R,EI.求A截面内力.ABRF变形特征:ABABAB1一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解FFFF例：对称还是反对称问题？FF双反对称轴问题双对称轴问题例：对称还是反对称问题？对称问题FF反对称问题中间杆的内力是多少？

结构对称、载荷不对称的问题F结论:

结构对称、载荷不对称的平面结构问题可分解为一个对称与一个反对称问题。＝＋FFxFyFyFx

结构不对称、载荷也不对称的问题改错

：求C点支反力与铅垂位移对不对？不对！配置的单位载荷系统必须能够静力平衡对称与反对称静不定问题的几个要点对称与反对称静不定问题都是基于对称结构而言的，对称结构上作用一般载荷往往可以分解为对称载荷和反对称载荷的叠加利用内力的对称与反对称性，直接确定对称面上的若干内力为零，以部分结构为基础建立相当系统，以对称面的变形特点为协调条件，求解对称面上剩余的未知内力利用对称与反对称性，只是简化了对称结构静不定问题的求解过程，并没有降低结构的静不定度作业：14-914-10(a)(c)14-12§14-4

平面刚架空间受力分析平面刚架-----轴线位于同一平面的刚架面内加载-----外载荷位于刚架轴线平面内（已研究）面外加载-----外载荷位于垂直于刚架轴线平面（a）平面刚架面内加载FCBADqM（b）平面刚架面外加载FCBADqM

内力－六个内力分量中,凡面内的内力分量（轴力FN、面内剪力FSz与面内弯矩My）忽略不计

反力－作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩忽略不计面外加载时变形与受力的特点:

位移－小变形时,横截面形心在轴线平面内的位

移（轴线的面内变形）忽略不计CBADFqMeEC’B’D’CBAMeCBAMe一般载荷分解及面内、面外内力分量:结论：作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外载荷，分别引起面内与面外内力，可以解耦计算。面内内力与面内约束力分量面外内力与面外约束力分量一般载荷的分解面外载荷与面内载荷对称问题的比较对称面上内力特征：FSC

=0面内载荷对称问题MeMe对称面上的面内内力：对称面上的面外内力特征：变形特征：面外载荷对称问题CBAMeFMeFTeTezyxo例：已知EI，GIP，求C点内力MCx及铅垂位移分析：待求未知量MCx变形条件：qCx=0FCBAzy