广东省中山市三鑫学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

初三数学假期反馈一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、去括号、幂的乘方、合并同类项法则分别运算即可判断求解，掌握同底数幂的乘法、去括号、幂的乘方、合并同类项法则是解题的关键．【详解】解：A．，选项错误，不合题意；B．，选项错误，不合题意；C．，选项错误，不合题意；D．，正确，符合题意；故选：．2.用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了简单组合体的三视图，根据三视图的画法解答即可．【详解】从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B符合题意．故选B．3.在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：从装有3个白球和5个红球的布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是．故选：D．4.在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，依次判断即可求解，本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是：找到对称中心．【详解】解：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，故选：．5.如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm【答案】B【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出答案．【详解】连接OA，∵OC⊥AB，∴AC=AB=3cm，∴OC==4．故选：B．6.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm【答案】C【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.7.遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为()A.－＝20 B.－＝20 C.－＝20 D.＋＝20【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．详解】解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：，故选A．【点睛】本题考查列分式方程，掌握题目数量关系是解题关键．8.二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由二次函数的开口方向，对称轴，以及二次函数与的交点在轴的上方，与轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】解：①二次函数的开口向下，，对称轴在1的右边，，，故①正确；②观察图象，抛物线与轴的交点在轴下方，，又对称轴为在轴的正半轴上，故，，．，故②错误．③二次函数与轴有两个交点，△，故③正确．④观察图象，当时，函数值，故④错误；⑤观察图象，当时，函数值，故⑤正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分）9.把用科学记数法表示为___．【答案】【解析】【分析】根据科学记数法的定义：将一个数写成（，n为整数）的方法叫科学记数法直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故答案为：；【点睛】本题考查科学记数法的定义：将一个数写成（，n为整数）的方法叫科学记数法．10.一个n边形的内角和为1080°，则n=________．【答案】8【解析】【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．故答案为8．【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．11.某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是_____．【答案】7.5．【解析】【分析】试题分析：根据中位数的概念求解．【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9，则中位数为：=7.5．故答案为7.5．12.在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为______cm．【答案】．【解析】【详解】试题分析：L==．故答案为．考点：弧长的计算．13.如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∵于点D，于点E，，∴四边形是矩形，∴，由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，此时，，代入数据：，∴，∴最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．三、解答题（共56分）14.先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式．当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.解不等式组并将解集数轴上表示出来．【答案】，在数轴上表示见解析【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．【详解】解：，由①得，，由②得，，故此不等式组的解集为：．在数轴上表示为：．16.小明在学校组织的校园安全知识竞赛中，通过自己的努力，一路过关斩将，走到了最后一个环节．最后环节中，他还需要回答三道判断题，每道题只有正确和错误两种选择．由于三道题的答案小明均不确定；于是随机给出了三个结果．（1）小明回答第一道判断题，答对的概率是；（2）如果小明在最后一个环节中至少答对两道题就能获胜，那么他获胜的概率是多少？请用树状图来说明．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【小问1详解】小明回答第一道判断题，答对概率是，故答案为：；【小问2详解】画树状图如下：由树状图知共有8种等可能结果，其中至少答对两道题的有4种结果，所以他获胜的概率为．17.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．【答案】（1）；（2）；（3）P（，0）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入即可求出结果；（2）先把B的坐标代入得到B（4，1），把A和B的坐标，代入即可求得一次函数的解析式；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．【详解】（1）把A（1，4）代入得：m=4，∴反比例函数的解析式为：；（2）把B（4，n）代入得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入，得：，∴，∴一次函数的解析式为：；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：，当y=0时，x=，∴P（，0）．18.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC=∠ABD；（2）求证：AD2=AM•AB；（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．【解析】【详解】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；（2）证明△ADM∽△ABD，即可得到结论；（3）根据三角函数和勾股定理即可得到结果．试题解析：（1）连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；（2）∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2=AM•AB；（3）∵sin∠ABD=，∴sin∠1=，∵AM=，∴AD=6，∴AB=10，∴BD==8，∵BN⊥CD，∴∠BND=90°，∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，∴∠DBN=∠1，∴sin∠NBD=，∴DN=，∴BN==．考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．19.如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE=2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）(﹣1,0)，(3,0)（2）3（3）(1,4)或(−2,−5)【解析】【分析】(1)根据抛物线解析式令y=0，求出A，B的坐标即可；(2)先求得点C坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE=2ED可得PD=3ED，设P(m,-m2+2m+3)，则E(m,-m+3)，用含m的式子表示出PD和DE，根据PD=3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；(3)分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．【小问1详解】解：令抛物线y=0，则−x2+2x+3=0，解得：x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)；故答案为：(−1,0)，(3,0)；【小问2详解】解：在y=−x2+2x+3中，当x=0时，y=3，∴C(0,3)，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,3)代入，得：，解得，∴直线BC的解析式为y=−x+3，若PE=2ED，则PD=3ED，设P(m,−m2+2m+3)，∵PD⊥x轴于点D，∴E(m,−m+3)，∴−m2+2m+3=3(−m+3)，∴m2−5m+6=0，解得m1=2，m2=3(舍)，∴m=2，此时P(2,3)，E(2,1)，∴PE=2，∴，∴△PBC的面积为3；【小问3详解】解：∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，∴有两种情况：

①点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，交x轴于点D，连接P1B，∵B(3,0)，C(0,3)，∴OB=OC=3，∴∠BCO=∠OBC=45°，∵P1C⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCO=45°，又∵∠DOC=90°，∴∠ODC=45°=∠DCO，∴OD=OC=3，∴D(−3,0)，∴直线P1C的