1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）（解析版）

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精练）1．（2023甘肃）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，所以，解得：，，．所以点的坐标为．故选：D2．（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【解析】由已知，，，∴.故选：C．3．（2023春·重庆=）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B错误；对于C，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，解得，所以共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D正确.故选：D4．（2023北京）已知向量,则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故选:B.5（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，由，得，解得.故选：B.6．（2023·河南周口=）已知向量，向量满足，则（

）A．22 B．11 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则．故选：D7．（2023·高二单元测试）若直线的方向向量分别为，则（

）A． B．C．相交但不垂直 D．平行或重合【答案】B【解析】由题意∵，∴，∴.故选：B.8．（2023·黑龙江黑河·高二校联考阶段练习）（多选）已知，若为钝角，则实数的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【解析】因为，为钝角，所以且与不共线，由，得，得，当与时，令，则，得，所以当且时，为钝角，故选：BC9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则【答案】ABD【解析】对于A：，，即：，解得：.故A选项正确；对于B：，，解得：.故B选项正确；对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C选项错误；对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：.故D选项正确；故选：ABD.10．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为2 D．的最大值为4【答案】ABC【解析】对于A，若，且，，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，解得，故B正确；，故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.11．（2022秋·高二单元测试）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为，且，故A不正确；因为，，则，故B正确；因为，，故C正确；由于，，所以，所以D正确.故选:BCD.12．（2023秋·高一单元测试）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是，经检验，选项C、D符合题意.故选：CD13．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．【答案】【解析】设，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以，所以，即.故答案为：.14．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点.

(1)求线段的长度；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，故，所以，即线段的长度为；（2），则，所以.

15．（2023春·高二课时练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，是与的交点，，是的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【解析】由正棱锥的结构特征可知：平面，方法一：以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，.方法二：四边形为正方形，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，.16．（2022秋·重庆江北·高二校考期末）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求点C到平面MND的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，建立如图所示空间直角坐标系，则，，由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD.（2）∵平面PCD，∴，设点C到平面MND的距离为，，，则有，解得.故点C到平面MND的距离为17．（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：；(2)求；(3)求的长．【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】（1）解：如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则,因为，所以，所以，故；（2）解：因为，所以因为，且,所以；（3）解：因为是的中点，所以又因为，所以,.即.18．（2022·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值．【答案】【解析】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设，，则，设，，则．若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，因此，，当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．19．（2023云南）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．(1)若点F为DC的中点，求；(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，又，，所以．而，，故，因，平面，故平面.以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，．则，，所以．（2）由（1）知，设，而，所以，所以，所以，又，因为，故，所以，解得，所以．20．（2023天津）如图，已知多面体ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.证明：平面.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz．由题意知各点坐标如下：，，，，．因此，，．由，得．由，得．又因为，所以平面．1．（2023广西）如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】以为原点，分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，设，正方形边长为，则，则，由，即，整理得到，所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分故选：A.

2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，，，，，所以，，，由平面，得，即，化简可得，所以动点在直线上，A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误；B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确；C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确；D选项：，，D选项错误；故选：BC.3．（2023黑龙江）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（）A．8 B．4 C． D．【答案】D【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，因为，所以，得，所以，所以，当时，取最小值，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为．故选：D.4.（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.5．（2023内蒙古）如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．【答案】【解析】如图，以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴知，当时，点与距离的最小，其最小值为．故答案为：．6．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（

）A．存在点P，使得B．存在唯一点P，使得C．当，此时点P的轨迹长度为D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为【答案】BCD【解析】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），，为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为∴故A选项错误．由可得故B选项正确．时，即，此时由点P坐标为得到点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确．当P为底面EFGH的中心时，由B选项知．易得．∴外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为．故D选项正确．故选：BCD．7．（2023·江苏）（多选）设正方体ABCD—的棱长为2，P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则（

）A．存在点P，使得A1P平面B．当时，|A1P|2的最小值是C．若的面积为1，则动点P的轨迹是抛物线的一部分D．若三棱锥P—的外接球表面积为，则动点P的轨迹围成图形的面积为π【答案】ABD【解析】A选项，连接，则BD∥，平面，平面，所以BD∥平面，同理可证：∥平面，而，所以平面∥平面，故点P在线段BD上时，满足A1P平面，A正确；B选项，取CD中点E，以E为圆心，EC为半径在平面ABCD中作圆，如图，为圆弧CD，当P点在弧CD上时，能够满足，连接AE交圆弧CD于点P，此时AP的长度最小，则|A1P|2取得最小值，其中由勾股定理得：，，由勾股定理得：，B正确；连接，由勾股定理可得：，若的面积为1，则动点P到直线的距离为，以为轴，半径为的圆柱，与平面ABCD的交线即为P点的轨迹，由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一部分，C错误；D选项，若三棱锥P—的外接球表面积为，设外接球半径为R，则，解得：，设球心O在平面上的投影为F，则F在线段的中点，，设点P在平面投影为G，过点O作OH⊥GP于点H，连接，OP，则OH=FG，OF=HG，，其中PG=2，则由勾股定理得：，则，则，所以，所以P点到F点的距离为定值，故动点P的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为，D正确.故选：ABD8．（2023·山东枣庄）已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.【答案】【解