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文档简介

1.3空间向量及其运算的坐标表示(精练)1.(2023甘肃)在空间直角坐标系中,若,,则点的坐标为(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】设,则,所以,解得:,,.所以点的坐标为.故选:D2.(2022·全国·高二专题练习)若,,,则(

)A.-11 B.3 C.4 D.15【答案】C【解析】由已知,,,∴.故选:C.3.(2023春·重庆=)下列几组空间向量中,不能作为空间向量基底的是(

)A.B.C.D.【答案】D【解析】对于A,设,无解,即不共面,故可以作为空间向量一个基底,故A错误;对于B,设,无解,即不共面,故可以作为空间向量一个基底,故B错误;对于C,设,无解,即不共面,故可以作为空间向量一个基底,故C错误;对于D,设,解得,所以共面,故不可以作为空间向量一个基底,故D正确.故选:D4.(2023北京)已知向量,则(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵向量,∴.故选:B.5(2023秋·广东深圳·高二统考期末)已知向量,,若,则(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知,由,得,解得.故选:B.6.(2023·河南周口=)已知向量,向量满足,则(

)A.22 B.11 C. D.【答案】D【解析】因为,所以,则.故选:D7.(2023·高二单元测试)若直线的方向向量分别为,则(

)A. B.C.相交但不垂直 D.平行或重合【答案】B【解析】由题意∵,∴,∴.故选:B.8.(2023·黑龙江黑河·高二校联考阶段练习)(多选)已知,若为钝角,则实数的值可以是(

)A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】因为,为钝角,所以且与不共线,由,得,得,当与时,令,则,得,所以当且时,为钝角,故选:BC9.(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知空间向量,,下列说法正确的是(

)A.若,则B.若,则C.若在上的投影向量为,则D.若与夹角为锐角,则【答案】ABD【解析】对于A:,,即:,解得:.故A选项正确;对于B:,,解得:.故B选项正确;对于C:在上的投影向量为:,即,代入坐标化简可得:,无解,故C选项错误;对于D:与夹角为锐角,,解得:,且与不共线,即,解得:,所以与夹角为锐角时,解得:.故D选项正确;故选:ABD.10.(2023春·甘肃白银·高二校考期末)(多选)已知向量,,则下列结论正确的是(

)A.若,则 B.若,则C.的最小值为2 D.的最大值为4【答案】ABC【解析】对于A,若,且,,则存在唯一实数使得,即,则,解得,故A正确;对于B,若,则,即,解得,故B正确;,故当时,取得最小值,无最大值,故C正确,D错误.故选:ABC.11.(2022秋·高二单元测试)(多选)已知空间向量,,则下列结论正确的是()A. B.C.) D.与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为,且,故A不正确;因为,,则,故B正确;因为,,故C正确;由于,,所以,所以D正确.故选:BCD.12.(2023秋·高一单元测试)若向量与的夹角为锐角,则实数x的值可能为(

).A.4 B.5 C.6 D.7【答案】CD【解析】因为与的夹角为锐角,所以,解得,当与共线时,,解得,所以实数x的取值范围是,经检验,选项C、D符合题意.故选:CD13.(2023·高三课时练习)若ABCD为平行四边形,且已知点、、,则顶点D的坐标为______.【答案】【解析】设,因为四边形为平行四边形,所以,所以,所以,所以,即.故答案为:.14.(2023春·福建龙岩·高二校联考期中)如图,在直四棱柱中,,,,E,F,G分别为棱,,的中点.

(1)求线段的长度;(2)求.【答案】(1)(2)【解析】(1)如图,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,故,所以,即线段的长度为;(2),则,所以.

15.(2023春·高二课时练习)如图,在正四棱锥中,底面是边长为的正方形,是与的交点,,是的中点.请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标.【答案】答案见解析【解析】由正棱锥的结构特征可知:平面,方法一:以为坐标原点,正方向为轴,作轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,.方法二:四边形为正方形,,以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,.16.(2022秋·重庆江北·高二校考期末)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥平面PCD;(2)求点C到平面MND的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,建立如图所示空间直角坐标系,则,,由,又平面PCD,∴MN⊥平面PCD.(2)∵平面PCD,∴,设点C到平面MND的距离为,,,则有,解得.故点C到平面MND的距离为17.(2023·江苏·高二专题练习)棱长为2的正方体中,E、F分别是、DB的中点,G在棱CD上,且,H是的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:(1)求证:;(2)求;(3)求的长.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)解:如图,以为原点,分别为轴,建立空间直角坐标系,则,因为,所以,所以,故;(2)解:因为,所以因为,且,所以;(3)解:因为是的中点,所以又因为,所以,.即.18.(2022·高二课时练习)如图,在直三棱柱中,,,为AB的中点,点在线段上,点在线段上,求线段EF长的最小值.【答案】【解析】依题意,、、两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,,设,,则,设,,则.若线段EF的长最小,则必满足,则,可得,即,因此,,当且仅当时等号成立,所以线段EF长的最小值为.19.(2023云南)如图所示,在四棱锥中,为等腰直角三角形,且,四边形ABCD为直角梯形,满足,,,.(1)若点F为DC的中点,求;(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当时,求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为为等腰直角三角形,,,所以,又,,所以.而,,故,因,平面,故平面.以点C为原点,CP,CD所在直线分别为x,z轴,过点C作PB的平行线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则,,,,.则,,所以.(2)由(1)知,设,而,所以,所以,所以,又,因为,故,所以,解得,所以.20.(2023天津)如图,已知多面体ABC,,,均垂直于平面ABC,,,,.证明:平面.【答案】证明见解析【解析】证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下:,,,,.因此,,.由,得.由,得.又因为,所以平面.1.(2023广西)如图,在四棱锥P­ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为(

A.

B.

C.

D.

【答案】A【解析】以为原点,分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系,如图所示,设,正方形边长为,则,则,由,即,整理得到,所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分故选:A.

2.(2022·辽宁)(多选)已知正方体的边长为2,为的中点,为侧面上的动点,且满足平面,则下列结论正确的是(

)A. B.平面C.动点的轨迹长为 D.与所成角的余弦值为【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为,则,,,,,所以,,,由平面,得,即,化简可得,所以动点在直线上,A选项:,,,所以与不垂直,所以A选项错误;B选项:,平面,平面,所以平面,B选项正确;C选项:动点在直线上,且为侧面上的动点,则在线段上,,所以,C选项正确;D选项:,,D选项错误;故选:BC.3.(2023黑龙江)如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4,P是的中点,点M在侧面(含边界)内,若.则△BCM面积的最小值为()A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,设,则,,因为,所以,得,所以,所以,当时,取最小值,易知,且平面,平面故,故所以的最小值为.故选:D.4.(2022·江苏徐州·高二期中)如图,正方体的棱长为6,点为的中点,点为底面上的动点,满足的点的轨迹长度为(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】分别以,,为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设,,则,,由得,即,由于,所以,,所以点的轨迹为面上的直线:,,即图中的线段,由图知:,故选:B.5.(2023内蒙古)如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若,则点S与P距离的最小值是___________.【答案】【解析】如图,以O为原点,OB为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系,则,,,,设,则,,∵,∴,解得,∴知,当时,点与距离的最小,其最小值为.故答案为:.6.(2022·湖南·高二期中)(多选)已知正方体ABCD-EFGH棱长为2,M为棱CG的中点,P为底面EFGH上的动点,则(

)A.存在点P,使得B.存在唯一点P,使得C.当,此时点P的轨迹长度为D.当P为底面EFGH的中心时,三棱锥P-ABM的外接球体积为【答案】BCD【解析】以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.A(2,0,0),M(0,2,1),设P点坐标为(x,y,2)(),,为求的最小值,找出点A关于平面EFGH的对称点,设该点为,则点坐标为∴故A选项错误.由可得故B选项正确.时,即,此时由点P坐标为得到点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段,其长度为线段HF的一半,即长为.故C选项正确.当P为底面EFGH的中心时,由B选项知.易得.∴外接球球心为棱AM的中点,从而求得球半径为.故D选项正确.故选:BCD.7.(2023·江苏)(多选)设正方体ABCD—的棱长为2,P为底面正方形ABCD内(含边界)的一动点,则(

)A.存在点P,使得A1P平面B.当时,|A1P|2的最小值是C.若的面积为1,则动点P的轨迹是抛物线的一部分D.若三棱锥P—的外接球表面积为,则动点P的轨迹围成图形的面积为π【答案】ABD【解析】A选项,连接,则BD∥,平面,平面,所以BD∥平面,同理可证:∥平面,而,所以平面∥平面,故点P在线段BD上时,满足A1P平面,A正确;B选项,取CD中点E,以E为圆心,EC为半径在平面ABCD中作圆,如图,为圆弧CD,当P点在弧CD上时,能够满足,连接AE交圆弧CD于点P,此时AP的长度最小,则|A1P|2取得最小值,其中由勾股定理得:,,由勾股定理得:,B正确;连接,由勾股定理可得:,若的面积为1,则动点P到直线的距离为,以为轴,半径为的圆柱,与平面ABCD的交线即为P点的轨迹,由平面知识可知:用平面不垂直于轴去截圆柱,得到的是椭圆的一部分,C错误;D选项,若三棱锥P—的外接球表面积为,设外接球半径为R,则,解得:,设球心O在平面上的投影为F,则F在线段的中点,,设点P在平面投影为G,过点O作OH⊥GP于点H,连接,OP,则OH=FG,OF=HG,,其中PG=2,则由勾股定理得:,则,则,所以,所以P点到F点的距离为定值,故动点P的轨迹围成图形是半径为1的圆,面积为,D正确.故选:ABD8.(2023·山东枣庄)已知正方体的棱长为2,E、F分别是棱、的中点,点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点,若直线与平面BEF无公共点,则点P的轨迹长度为______.【答案】【解

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