陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析

陕西省高三下学期（理科）数学模拟考试卷附带答案解析

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.设复数Z满足z∙（l+2i）=卜3+4i∣,则Z的虚部是（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

已知集合∣和则

2.4=k6≤2}B=Hw<1},AB=()

A.(-1,4]B.[0,l)C.(0,l]D.[1,4)

3.己知i为虚数单位，（2-i>z=l-2i则复数Z=（）

3.c32.八4.c43.

A.—iB.—i—iC.—iD.——i

555555

已知函数/（x）=gsins-#COSs（0>0）在（0,乃）上恰有三个零点，则正数0的取值范围为（）

4.

已凹bfɪ2ɪɜlCa回D但吗

AΛ.B-lɜ,ɜj°-[β,β∖D-16飞]

Q

5.若4<=3和2>'=I,则2x+y的值为（）

A.2B.1C.8D.3

6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为

续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符

合该标志的是

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3I）.丁地：总体均值为2,总体方差为3

7.等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=6与S6=21,则Sg=（）.

A.27B.45C.18D.36

8.数列｛a〃｝是递增数列，则｛a力的通项公式可以是下面的（）

2n

A.%B.a,,=n-3nC.an=TD.4=（-〃）"

9.圆/+V=I上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是（）

A.6B.4C.5D.1

10.一个球从100勿高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时经过的

路程是（）

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A.100+200(l-2^9)B.100+100(l-2^9)

C.200(l-2^9)D.100(l-2^9)

11.点以4是正方体A88-A8Cα的两棱AA与ABl的中点，户是正方形力及力的中心，则树与平面PCg

的位置关系是()

A.平行B.相交

C.MNU平面PCBlD.以上三种情况都有可能

22

⑵双曲线u[-3=l(a>0,6>0)的两个焦点为£,鸟，点A(/l)在双曲线C上，且满足前•伤=0,

则双曲线C的离心率为()

Λ.√2B.√3C.2D.√5

13.设函数f(x)的定义域为R,满足F(X)=3〃尤-1),且当x∈(0,l]时/*)=X(X-I).若对任意Xe(Yo,加I,

都有f(x)≥5-4W,则0的最大值是()

二、填空题

14.已知两个非零向量”,b满足W=W=卜-0=2,则〃在/,方向上的投影为一

15.的展开式中常数项为.

16.已知<υ>0,函数/(x)=sin(3x+?)在年,左)上单调递增，则。的取值范围是—.

17.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线.它的画法是：以斐波那

契数：1,1,2,3,5,…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连

起来的弧线就是斐波那契螺旋线.下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，

则该圆锥的体积为.

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三、解答题

18.已知JiBC的三个内角尔B、C的对边分别是a、b、c,且满足〃sinBSinC=Gl一.).

sinA2

(1)求角C的值；

⑵若α=2,b=5,iLAD=^AB,求CO的长度.

19.有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众

生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部

门加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的

行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题

进行调查，在随机调查的IOOO名骑行人员中年龄低于40岁的占60%,记录其年龄和是否佩戴头盔情况，

得到如下列联表：

佩戴头盔未佩戴头盔合计

年龄低于40岁540

年龄不低于40

岁

合计8801000

(D完成上面的列联表；

(2)通过计算判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？

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1

〃2n(ad-bc)4,

附：K-=(α+b)(c+d)(α+c)0+d),其中〃=α+"c+d∙

2

P(κ≥ka)0.0500.010O.OOl

ZO3.8416.63510.828

20.如图，在直三棱柱ABC-AB£中NACB=90。，AC=BC=I且AA=2,I),£分别是棱A4，BC的中

点.

A\

D

A

(1)证明：AE//平面8CQ；

(2)求二面角A-8。-C1的余弦值.

21.已知函数/(X)=加+x-e".

⑴若a=0,求函数f(x)的单调区间；

(2)若XHO时方程/(x)=l有3个不同的实数解，求实数。的取值范围.

22.已知椭圆C*∙+W=l(o>6>0)的左，右顶点分别为AB,上顶点"与左，右顶点连线M4,MB的

斜率乘积为焦距为.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设过点O(0,4)的直线/与椭圆C交于EZ两点，。为坐标原点，若NEOF=90。，求直线/的方程.

23.在平面直角坐标系XQy中以0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线(与曲线。的极坐标方

程分别为PeOSe=2,p=4sin。点一的极坐标为(4,：).

(1)求直线4以及曲线C的直角坐标方程；

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⑵在极坐标系中已知射线4：e=α]θ<α<S与4,，的公共点分别为A,8且IoAHoBl=16+8√3,求POB

的面积.

24.已知函数F(X)=IX.

⑴求不等式/(x)<2x-l的解集;

⑵已知函数g(x)=2∕(x)+∣2x-l∣的最小值为加，且a、b、C都是正数，α+"+c=c,证明/+∖^≥4.

参考答案与解析

1.C

【分析】先求出∣-3+4i∣的值，然后两边同除l+2i,最后用复数的除法运算求解.

【详解】z∙(l+2i)=∣-3+4i∣

.iz∙(l+2i)=5,即Z=Y^5(l-2i)5(l-2i)

(l+2i)(l-2i)5

所以Z的虚部是-2∙

故选：C

2.B

【分析】先求出集合A、B,再结合交集的定义求解即可.

【详解】因为4={X∣6≤2}={X∣0≤X≤4}B={φ∣<l}={x∣-l<x<l)

所以Ac8=[0,l).

故选：B.

3.D

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

l-2i(l-2i)(2÷i)4-3i

【详解】由(2T)∙z=l-2i得

^2≡Γ"(2-i)(2+i)~5

故选：D

4.A

77TT']1)7

【分析】由1£(。，/)，可得血-g∈(-],砌-§),结合三角函数的性质可得2"〈力-5≤3I,从而得解.

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【详解】由/(x)=sin(3x-∙∣J(∕>0)

y/7/17

由X∈(0,ZF),可得COX——∈(―—,71(0——)

若函数/（X）恰有3个零点，只需要2"〈加,得g<G≤∙^.

故选：A

5.D

Q

【分析】将4、=3,2,二：转化为对数的形式求出匹儿然后代入2x+y化简求值即可

【详解】因为4*=3,所以x=log43=fog23;

Q0

又2>=∙∣,所以y=logj

I88

所以2x+y=2x51og23+log2§=k)g23+k)g2§

=IOg2X3)=kg?8=∣og?23=3

故选：D.

6.D

【详解】试题分析：由于甲地总体均值为3,中位数为4,即中间两个数（第56天）人数的平均数为4,

因此后面的人数可以大于・，故甲地不符合.乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总数为10,又由

于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于・，故乙地不符合，丙地中中位数为2,众

数为3，3出现的最多，并且可以出现8,故丙地不符合，故丁地符合.

考点：众数、中位数、平均数、方差

7.B

【分析】根据等差数列前〃项和的性质可得S3,S6-S3.Sg-Sf成等差数列，从而可列方程Uf求出结果.

【详解】由已知易,st-Si,Sg-S-即6.15.59-21成等差数列

所以2xl5=6+（S9-21）,所以$=45

故选：B.

8.A

【分析】根据数列通项公式的性质，由数列｛aH是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断

即可.

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【详解】对于A,因为y=-L为单调递增函数，所以，。“=-L为递增数列，A正确;

Xn

对于B,因为％=-2=%,所以不是递增数列，B错误

对于C,因为J=2T为递减函数，所以，=2一”为递减数列，C错误；

对于D,%=(-〃)"为摆动数列，D错误.

故选：A

9.B

【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.

【详解】圆的圆心坐标(0,0),至IJ直线3x+4y-25=0的距离是m=5

所以圆f+y2=ι上的点到直线3χ+4y-25=0的距离的最小值是5-1=4

故选：B.

10.A

【分析】表示出第10次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解

【详解】由题意，第10次着地时经过的路程是

100+2x(50+25++IOOx2_9)=100+2×IOOx(2^'+2"2++2^9)

=100+200×2虫三)=100+200(1-2^9)

故选：A

11.A

【分析】推导出助V〃/区从而HV与平面此比的位置关系是平行.

【详解】：点M,A'是正方体ABCD-A1B1C1D1中A1A,力£的中点，；.MN//AB1

0是正方形4驱的中心，延展平面汽沟即为平面AB1C

又AB1U平面PB1C,MNC平面PB1C

所以必V〃平面PB1C.

也V与平面A%,的位置关系是平行.

故选：A.

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Di

【点睛】本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查线面平

行的判定定理，是中档题.

12.A

【分析】设6(-c,0),K(C,0),进而根据向量垂直的坐标表示得c=2,再根据点4班,1)在双曲线C上待定

系数求解即可.

【详解】解：由题，设4(-c,0),g(c,0),因为A("l)

所以A6=hc-G,-l),Ag=k-G,-l)

因为AE∙Ag=O

所以∙Ag=3-C2+1=0,解得°=2

2_1=1

因为,/bλ,解得"=O?=2

⅛2+672=C2

C2L

所以，双曲线。的离心率为e=/=&=J2.

故选：A

13.A

【分析】分别求得X€(7,0].xe(0,1],xe(l,2],e(2,3]时/(χ)的最小值，作出y=∕(χ)的简图,因

为954上3.解不等式可得所求范围.

4254

【详解】解：因为/(X)=3f(X-I),所以“x+l)=3∕(x)

当Xe(0,1]时/(x)=V-X的最小值为一；；

当％∈(T,θ]时X+]∈(0,l]/(x+l)=(x+l)2-(x+1)

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由3∕(x)=∕(冗+1)知.f(x)=3∕(x+l)

所以此时/(X)=！[(X+1)2-(X+1)],其最小值为-W;

3

同理，当xw(l,2]时/(χ)=3[(χT)2-(χT)],其最小值为-:；

4

9

当x∈(2,3]时/(χ)=9[(x-2)Z-(x-2)]的最小值为-：；

要使/(X)…-Il

则有9[(x-2)2-(x-2)]…嘿.

解得X”三12或X∙∙弓13

54

要使对任意XG(-∞,列I,都有/(χ)…-—

则实数机的取值范围是.

故选：A.

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14.1

【分析】把已知式∣a-0=2平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影.

【详解】解：由卜-b∣=2,得/_2a仿+/=4

又H=W=2,Λ4+4-2×2×2cos<a,⅛>=4,即CoS<α,b>=g

α在6方向上的投影为MCoS<a,6>=2xg=l.

故答案为：1.

15.-3

【解析】利用二项展开式通项公式直接求解.

［详解］（3—］（l+x）3=3（1+X）3—0+x）3

展开式中常数项为3（；13——.《12/=3-6=-3

X

故答案为：—3.

【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特

定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中〃和r的隐含条件，即〃，r均为非负

整数，且〃》八如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

16.0<切≤'

4

【详解】试题分析：本题已知函数/（x）=ASin（5+0）的单调区间，求参数。的取值范围，难度中等.由

7ΓTTJTι7Γ7ΓTT

2kττ≤69xH—≤2kτr4—,Z∈Z得2攵乃---≤cox≤2kτrH—,又函数/（x）在（一,不）上单调递增，所以

242442

3ππω3

2κπ------≤——ω≥4κ——

{42,即{注意到g≥］,即0<o≤2,所以取A=0,得0<<υ≤;.

πω≤2kπ+±ω≤2k+-

44

考点：函数/（X）=ASin（0X+9）的图象与性质.

【方法点晴】已知函数“幻=Sin（S+［）为单调递增函数，可得变量X的取值范围，其必包含区间（g,m,从

42

π

而可得参数0的取值范围，本题还需挖掘参数0的隐含范围，即函数/（x）在（］,乃）上单调递增，可知T≥乃，

因此0<o≤2,综合题设所有条件，便可得到参数。的精确范围.

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178Vt5π

3

【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.

【详解】接下来的一个扇形半径为R=3+5=8,故围成的圆锥母线长为/=8

JT

因为扇形的圆心角为90°,所以其弧长为L=αH=5∙8=47r,也即底面圆周长C=2α=4兀

所以底面圆半径为r=2,则圆锥的高为h=∖∣l2-r2=2∙j∖5

所以圆锥的体积为V=L叵

33

故答案为：乃空白公式+

3

18.(DC=

⑵迥

3

【分析】(1)根据正弦定理与余弦定理即可得tanC=√L从而可得角。的值；

12

(2)根据向量共线定理可得8=]CB+§CA,利用向量的模长运算即可得Co的长度.

【详解】(1)解：由正弦定理」4=刍得：当=2,因为，/sinBsinC=有(一+/广一C-)

SinAsinBSmAaSinA2

所以ASinC=6任+/＞。2),即加inC=6("人巧

a22

又由余弦定理得cosC=VL,贝IJSinC=Mi-C)=SC

2ab2ab

化简得tanC=√L又Ce(O,π),所以C=1.

1-12

(2)解：由AO=]A8可得CO=产+3CA

所以ICZ)F=[,c3+2α]=-a2++2χ2c5∙CA=3+^^+2χ2χ2χ5xcos∙^=∙^

U3J99999939

.∙.∣CD∣=空I,即C。的长度为毡I.

33

19.(1)填表见解析

⑵没有

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【分析】（I）根据题意求出年龄低于40岁的人数，再结合列联表中数据即可完成列联表;

（2）求出K?,再对照临界值表，即可得出结论.

【详解】（1）年龄低于40岁的有IoooX60%=600人

完成的列联表如下：

佩戴头盔未佩戴头盔合计

年龄低于40岁54060600

年龄不低于40

34060400

岁

合计8801201000

⑵片J0(W>0x540-60x340)2=世=682<6635

600X400×880×12022

，没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.

20.（1）证明见解析

⑵-3

2

【分析】（1）设CG的中点为R连接∠1F∙EF.分别证明4F〃平面BCQ,即〃平面8CvD∙通过面面

平行证得线面平行;

（2）根据题意，以C为原点.C4,CB.CG所在的直线分别为X.y.Z轴，建立空间直角坐标系，转化

为空间向H处理即可.

【详解】（1）证明：设CG的中点为尸，连接石∙.EF.

因为GF〃/D,C1F=AD,所以四边形GEtD为平行四边形，所以GD〃4F

因为CQU平面BCQ.HFa平面BGD.所以4F〃平面BCQ:

在ACGB中E尸〃GB.GBU平面BCQ.bz平面BCQ.所以〃平面8G。.

因为"C班=尸,AF,EFU平面AEF,所以平面BCtD〃平面/ZF.

因为/Eu平面IE尸,所以4E〃平面3CQ.

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(2)以C为坐标原点,分别以CB∙CG所在直线为X轴,y轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(l,O,l)∙B(0,l,0),C1(0,0,2),N(LO,0),BD=(L-Ij),Bq=(0,-1,2).

X

___r、π∙BD=0,

设平面DrBG的法向量为〃=(zx,y,z),则

n∙BCx=0,

fx-y+z=0,,/、

即•取z=l,则"=(1,2,1).

[-y+2z=0,/

取AB的中点G,连接CG.由AC=BC=I得CGLAB.

在直三棱柱4BC-A44中AA_L平面ABC,CGU平面4BC,所以AA^CG

又ABCAʌ=A，A5,∕½u平面4BB∣A,所以CG_L平面ABAA∣.

所以CG=为平面ABB1A1的一个法向量

11厂

Hcc"÷r≡7i=⅛+=f∙

72

易得二面角A-BD-Cy为钝角,故二面角A-BD-C1的余弦值为-日.

21.(1)单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,+8)

.√e2-l1

⑵丁+8

【分析】(1)求出函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系即可求解;

(2)求出导函数，讨论单调性，求出极值即可求解.

【详解】(1)若α=0,W∣J∕(x)=x-et,.∖∕,(x)=l-er.

令制x)>0,得x<0;令f'(x)<O,得x>0.

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∙∙.函数/(X)的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,+8).

(2)当x≠()时方程/(x)=l等价于α=e,-f+∣

X

令gα)=≤≡r1,则g,(x)=(x-2)L)

XX

当g'(x)>0时则X<O或χ>2,g(x)在(y,0),(2,+8)上单调递增;

当g'(x)<O,则0<x<2,g(x)在(0,2)上单调递减.

当X→-8时g(χ)f0；当X->0时g(x)→+8;

当x=2时g(2)=z->0；当冗f÷∞时g(x)→+8.

综上，实数〃的取值范围为(宁,+8).

22.(1)—+y2=l

4'

(2)y=+y∣∖9x+4

【分析】(1)根据题意列出关于。，〃的方程，求得其值，即得答案.

(2)设直线/方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合NEoF=90。可得不々+>阴=。，化简

求值，求得4的值，即得答案.

【详解】(1)由题意知M(0,6)A(-α,O),B(α,O)2<∙=2√3C=W

,,⅛-0h-0b21.⅛21

^MA°=TΓΞΛ=2=-T**~=T

O+aO-aa4a4

Vα2=⅛2+3∙∙.∕=4,⅛2=1.∙.椭圆C的方程为三+V=1.

4

(2)由已知过点。(0,4)满足题意的直线/的斜率存在，设Ly=Ax+4

工2=1

联立｛Z^+)',消去)'得(1+4/)/+32"+60=0

γ=fcc+4

△=(32JIy-2400+4公)=64k2-240,令△>(),解得

设Ea,x),F(W,%)，则%+w=-S⅛玉

1十^TK1^r

第14页共16页

:NEOF=O0。,，0E∙OF=0，即不超+》％=。

2

(1+⅛)Λ⅛X,+4k(xl+X2)+16=0,/.”*O+/)32/∣4二。

1+4J121+4公

解得k=±JW,满足公＞?

直线I的方程为y=±√19