2023年山东省济宁市高考数学三模试卷

2023年山东省济宁市高考数学三模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合4={(x,y)∣x+y=4,XeN,y∈N],B={(x,y')∖y>x}(则集合ACB中的元

素个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.若复数Z=器为纯虚数，则实数α=()

A.-∣B.IC.6D.-6

3.若(1+2x)9=α0+的x+c⅛χ2+…+则劭+α⅛+。4++α⅛=()

4.若直线依-丫+1-21=0与圆心(x-l)2+y2=4相交于4,B两点，则∣4B∣的最小值

为()

A.2y∏>B.2y∏,C,y∏>D.

5.若27"==k且工+工=2,则k=()

mn

A.<5B.<6C.5D.6

6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,尸分别为/8,BC的中点，将44DE,ABEF,

△CD尸分另IJ沿DE,EF,。尸折起，使4B,C三点重合于点则三棱锥A-DEF的外接球

体积为()

A.8√~6ττB.6ΛA^6TΓC.4y∕~~6πD.2√~6ττ

7.已知F为双曲线C：≡∣-^j=l(α>0,6>0)的右焦点，过户且垂直于X轴的直线与双曲线

C的右支交于4、B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PAJ.PB,则该双曲线的离心率的

取值范围是()

A.(1,3]B.[3,÷∞)C.(1,2]D.[2,÷∞)

8.已知函数y=/(x)(x∈R)，满足M)=?，/(ɪ)=C'∕φ(∏∈N*).若αrι=log3∕(n),

函数g(χ)=2/-3/+2,则g(矗)+gq⅛)+gq⅛)+…+g(翁)=()

A.3036B.3034C.3032D.3030

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知函数f(%)=Asin(ωx+<p)(4>0,ω>0,∖φ∖<Tr)

的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()

A.7(x)=√-3sin(≡x-ɪ)

B./(x)=√^3sin(→+≡)

zr4-

C.点(2023,0)是“乃的一个对称中心

D.函数f(x)的图象向左平移今个单位得到的图象关于y轴对称

10.已知函数/(X)=备，则对任意实数X,下列结论中正确的是()

A./(-X)+/(x)=0

B.函数/(%)在X=0处的切线方程为y=X

C.f(X)的单调递减区间为(-1,1)

D./⑶的值域为［一另］

11.甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲

袋中随机取出一球放入乙袋，分别以4B,C表示事件”取出的是红球”、“取出的是白球”、

“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以。表示事件”取出的是白球”，则下列结

论中正确的是()

A.事件力，B,C是两两互斥的事件B.事件4与事件。为相互独立事件

9IQ

C.P(D∖A)=^D.P(D)=-

12.已知抛物线C：X2=4y的焦点为产，准线为1,过F的直线与抛物线C交于A、B两点，M为

线段4B中点，4、夕、M'分别为4、B、M在I上的射影，且|力川=3田用，则下列结论中正确

的是()

A.F的坐标为(LO)B.∖A'B'∖=2∖M'F∖

C.A、4、M∖尸四点共圆D.直线AB的方程为y=±一％+1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知COS26一a)=则sin2α=.

14.在棱长为2的正方体ABCD-力IBIClDl中，01为底面为BlClCl的中心，E为BC的中点，

则异面直线4。1与ClE所成角的余弦值是.

15.在AABC中，。、E分别为AC、BC的中点，AE交BO于点M若AB=4,AC=6,NBAC=今

则泥∙MD=•

16.若对任意的工€[0,*],总存在三个不同的ye使得方程xe〃+y2一=0成

立，其中e。2.71828…为自然对数的底数，则实数α的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知锐角△4BC的内角4B,C的对边分别为α,b,c且焉片=

(1)求角A的大小；

(2)若α=6,求b+C的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛ajl｝的前n项和为Sn,a1=4jSαn+1=Sn+4(n∈N*).

(1)求数列｛αj的通项公式；

(2)若bn=(一I)"】怒求数列｛九｝的前n项和

Iiiuy2un

19.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC-AIBIG中，AB1BC,AB=BC=3,CG=6.点D、E、尸分别在线

段BBi、CC1、AA1I.,且Bn=CE,AF>BD.

(I)证明：DE1BF；

(2)若DF=3√^2.且平面DE尸将直三棱柱ABC-AlBICl的体积平分.求二面角B-EF-D的

余弦值.

20.(本小题12.0分)

某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔

方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，

已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是卷，甲、乙两名同学作答问题

相互独立.记甲答对题的个数为X,乙答对题的个数为L

(1)求甲、乙恰好答对2个问题的概率；

(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆E：∖+∖=l(α>b>0)的焦距为4,左、右顶点分别为4、B,左、右焦点分别为

F1>F2,过右焦点F2的直线I交椭圆E于M,N两点,的周长为12.

(1)记直线4M的斜率为右，直线8N的斜率为七，证明：品为定值；

(2)记△4MN的面积为a,ZkBMN的面积为S?,求Sι+S?的最大值.

22.(本小题12。分)

已知函数f(%)=alnx+%2—(α+2)x(Q>0).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)设.、％2(。</V%2)是函数g(%)=/(%)-2/+(Q+1)%的两个极值点•证明：g(%ι)-

g(%2)4

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为a={(x,y)∣x+y=4,x∈N,y€N}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)),

又B={(x,y)∣y>χ},

所以ACB={(0,4),(1,3)},即集合4CB中含有2个元素.

故选：C.

用列举法表示集合4再根据交集的定义求出AnB,即可判断.

本题考查集合的运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：依题意，Z=(嘉图)=6+α+:α-3C=等+等

因为复数Z是纯虚数，且α∈R,

则喈=0且等#0,解得α=-6.

故选：D.

利用复数的除法运算求出z,再结合复数的概念求解作答.

本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】B

aχaχ2aχ9

[解析)解：在(1+2x)9=α0÷ι+2T------卜9中，

令％=1,得3。=α0+α1+α2H------Fa9,

令》二—1,得一1二CLQ-Q]+%—…-Q9,

两式相加得3。—1=(Qo+即+&+…+。9)+(Qo—+。2—…—的)，

39-1

••・3-1=2(α0+。2+Q4+。6+⅝)，・•・Qo++。4+。6+。8=F—。

故选：B.

29

(1+2x)9=α0+a1x+a2xH------Fa9x中，分别令％=1和％=—1,将所得两个方程相加即可得

到结果.

本题考查二项式定理，属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：•••圆C:(X—1)2+y2=4的圆心为(Lo)

二直线hkx-y+l-2k=0过定点P(2,l),

•••∖CP∖=√(2-I)2+(0-I)2=√^2.

.∙.点P在圆C内，

•••当直线CP与直线AB垂直时，Bl取得最小值，

22

∣½B∣min=2√r-∖CP∖==2√T∙

故选:B.

先求出/^一丫+1-21=0经过的定点2，判断点P在圆C内，再结合垂径定理，即可求解.

本题给出直线与圆相交于4、B两点，求截得弦长的最小值，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：因为2rn=3τl=k且工+工=2,所以，小,0且《40,所以，卜>0且卜力1,

mn

且有Tn=IOg2鼠n=log3fc,所以，ɪ=logk2,ɪ=logk3,

所以，ɪ+ɪ=logk2+logk3=logkf>—2.则1=6,

又因为Zc>0且/c≠1,解得k=√-6.

故选:B.

利用指数与对数的互化可得出小、Tl的表达式，结合换底公式可求得k的值.

本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：依题意，A'D1A'E,A'EA.A'F,A'D^A'F,且AD=4,A'E=A'F=2,

于是四面体力'-DEF可以补形成以4D,A'E,A'F为相邻三条棱的长方体，

该长方体与四面体4'-DEF的外接球相同，

设四面体A-DEF的外接球的半径R,则2R为长方体的体对角线长，

即2R=√A'D2+A'E2+A'F2=2门,

所以四面体4一OEF的外接球体积为g兀X(O3=8√^6π.

故选：A.

由四面体A-DEF的棱AC,A'E,AF两两垂直，将它补形成长方体，求出该长方体的体对角线

即可得解.

本题考查四面体的外接球体积的求解，化归转化思想，属中档题.

7.【答案】D

因为久≤-α,⅛-α<0,所以，α=Y

可得X=a2-b2=α2-(c2-tt2)_2α2-c2W

BfJc2—ac—2a2≥0,

整理可得e2-e-2≥0,因为e>l,

解得e≥2.

故选：D.

求出点4、B的坐标，设点P(X,y),其中X≤-a,可得出y2=玲！_炉，由已知可得出肝.正=0,

JaL

可得出X=至W≤-α,整理可得出关于e的不等式，结合e>1可求得e的取值范围.

本题考查双曲线的几何性质，属中档题.

8.【答案】A

【解析】解：因为%)=?，/(⅛i)=√^×∕φ(n∈∕V*),即嗡=「，

所以脸=⅛×S×∙×TAXM)=OnTX?=(OK-2=3竽，

八2)八2)八2)

n1

则f(zι)=ɜɪ=3时1，Qn=log3f(rf)=log33~=n-l,

所以+6t2024=W+矽023=...='1012+。1013=ɪ

m/202320232023202320232023'

又因为g(%)+g(l—%)=2x3-3x2+2+2(1—%)3—3(1-%)2+2=3,

所以。(起)+。(嬴)+g⅛fe)+…+。(翳)=ɪθɪ2X3=3036∙

故选：A.

M-2

根据题意利用累乘法可得FG)=3丁，进而可得αrι=n-1，再结合等差数列的性质以及函数的

对称性分析运算.

本题主要考查数列与函数的综合，对数的运算性质，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：由图可知9=3-(-1),4=「，所以7=8,即即=8,解得3=I

所以/O)=λΛ3sin(^x+φ),又/(T)=√-3sin(-^÷φ)=0,

所以—(+3=TT+2∕cτr,k∈Z,解得(P=竽+2kτr,k∈Z,又|勿<τr,所以中=—年，

所以/(x)=/?sin(5-牛)，故A正确，8错误；

/(2023)=√^sin(^≡-y)=λΛ3sin505τr=0,所以点(2023,0)是f(x)的一个对称中心，故C

正确；

将函数/(X)的图象向左平移抄单位得到y=√^sin[=(x+》一争=√3sinζx+会多)，

显然函数y=，弓sin("+会与)不是偶函数，故。错误.

故选:AC.

根据函数图象可得A=/耳、T=4,即可求出3,再根据函数过点(-1,0)求出处即可求出函数解

析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4函数/(无)=急的定义域为R,f(-x)+f(x)=q^⅛+l⅛=0,故A

正确；

,I-X2

对于8：f'(x)=-l¾,则/(0)=1,而/(0)=0,因此函数/Q)在X=0处的切线方程为y=x,

故5正确；

对于C当％∈(-l,l)时，f(%)>0,因此函数/(%)在(一1,1)上单调递增，故C错误；

对于D：当或x>l时，/(%)<0,即函数f(%)在(一8,-1),(1,+8)上单调递减，

而当％<0时，/(x)<0恒成立，当％>0时，/(x)>0恒成立，

∙∙∙f(X)Mn=f(T)=T/Wmaχ=/d)=I-即f(x)的值域为［一另］，故。正确.

故选：ABD.

计算判断4求导利用导数的几何意义求出切线判断B；利用导数判断单调性判断C：求出函数的

值域判断D,即可得出答案.

本题考查函数的性质和利用导数研究函数的单调性、最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和

运算能力，属于中档题.

Il.【答案】ACD

【解析】解：由题意可得P(A)=焉，P(B)=V，P(C)=;,

显然事件A,B,C是两两互斥的事件，故A正确，

32331219326

-X-+-X-+-X=_X=

P(Z))=P(DA)+P(DB)+P(DC)89894-*

9272

因为P(AD)力P(A)P(D),故事件4与事件。不是相互独立，7-故B错误，8-9-

6

P(DlA)=号符=竽=今故C正确，

P(D)=∣∣,故。正确.

故选：ACD.

根据互斥事件和相互独立事件即可判断4、B,由概率计算值即可判断C、D.

本题考查互斥事件、相互独立事件、概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4选项，抛物线C：χ2=4y的焦点为F(O,1),4错；

对于。选项，当点4在第一象限，过点B作BN垂直于Λ4',N为垂足，如图所示,

设∣8F∣=τn,则MFl=3m,

因为AA'1I,BNIAA',则四边形4'B'BN为矩形,

所以，∣4'Nl=∖BB'∖=∖BF∖=m,

则MNl=∖AA'∖-∖A'N∖=∖AA'∖-∖BB'∖=3m-m=2m,

设直线AB的倾斜角为α,则a为锐角，且Sina=儒=段=则a=也

∣∕ioIzr77ιLO

此时，直线AB的方程为y=?x+l,

当点4在第二象限时，同理可知，直线AB的方程为y=一半χ+1,

综上所述，直线4B的方程为y=±?x+l，。对；

对于B选项，不妨设点A在第一象限，则直线AB的方程为y=殍χ+1,

设点4(%1，丫1)、B(%2,、2)，

联立卜=?久+1,可得一手％一4=0，

(x2=4y3

=

Δ=(―+16=竽>0，x1+X2与ɪ`XIX2=-4，

设点M(XO,y°),则Xo=空=浮，故点M，(浮,一1),

所以，直线M'F的斜率为=就;=-C,

--0

而直线4B的斜率为七B=?，所以，kAB∣iM,F=-l,故M'FL4B,

又因为44'11,故A、A、M'、F四点共圆，

同理可知，当点4在第二象限时，4、A'.M'、F四点共圆，

综上所述，故A、A'.M'、F四点共圆，C对：

对于B选项，|“午|=J2+(一1一1)2=1^2,

A'B'22,对•

∖∖=∣χ1-χ2∣=√(χ1+χ2)-4X1X2-J(-ɪ)+4x4=-2∣ΛfF∣>B

故选：BCD.

根据抛物线的方程求出点尸的坐标，可判断4选项；根据抛物线的定义以及数形结合求出直线AB的

方程，可判断。选项；利用斜率关系判断出WFlAB,可判断C选项；求出|M'F|、∣4B'∣,可判断

B选项.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档

题.

13.【答案】I

【解析】解：因为cos?6-α)=∣,

则sin2α=COS(M—2a)=CoS[2(3—a)]=2cos2(^—a)—1=2×∣-1=∣.

故答案为:ξ∙

由辅助角公式和二倍角的余弦公式化简即可得出答案.

本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题.

14.【答案】喀

6

【解析】解：在棱长为2的正方体ZBCD-AlBIClDl中，取AD,AIDl中点凡M,连接E凡D1F,

AM,O1M,如图,

因为E为BC的中点，有EF"CD"C[D∖,EF=CD=Cl5,则四边形ClDlFE是平行四边形,

于是DIF〃C】E,又AF"D[M,AF≈D1M,即有四边形AMDIF是平行四边形，

因此力M〃D/〃GE,则40通M是异面直线A/与CIE所成的角或补角，

而。1为底面AiBiGDi的中心，则OlM〃CID1，又CIDl，平面4。。送1，

从而OlMJ•平面ZDDIA1，而AMU平面则OlMi.AM,

在4OlMA中，OM=1,AM=jAAf+AM2=√^^5,AO=√^^6>于是COSNolAM="：。,

1y11

所以异面直线401与ClE所成角的余弦值是覃.

6

故答案为：£22.

6

根据给定条件，作出并证明异面直线4。1与ClE所成角，再计算作答.

本题主要考查了求异面直线的夹角，属于中档题.

15.【答案】—I

【解析】解：如下图所示:

因为在AABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AE交BD于点M,

则M为△?!BC的重心，所以，ME=ɪAEf=^(AB+BE)=^(AB+ɪfiɛ)

=^(AB+^AC--AB)=^(AB+AC),

MD=^(AD-ABy)=^AC-AB)=~(AC-2AB),

因为AB=4,AC=6,NBaC=全

由平面向量数量积的定义可得荏-AC=∖AB∖∙∖AC∣cosI=6×4×∣=12,

所以，泥•丽=表(而+确.(而-2确=表(AC2-AB-AC-2AB2)

I2

-

9

36

故答案为：一|.

分析可知M为△4BC的重心，利用而、於表示向量而、^MD,利用平面向量数量积的运算性质可

求得福•前的值.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】康,摄)

2

【解析】解：因为Xey+y2一=0,所以3=Q-χ,

11

又当x∈[0,备]时，a-XE[a-^fa]f

令/(X)=9所以/'(X)=安，

令((X)>0得0<X<2,1(X)<0得2<X<3或一1<x<0

所以/(x)在(—1,0)上递减，在(0,2)上递增，在(2,3)上递减，

7

又f(。)=0,X→+8时，y(x)=AT0，

所以要使y=呜/(x)=||有三个交点，需使t∈既,»

又对任意的久∈[0,击],总存在三个不同的y∈[-1,3],

2

使得方程Xey+y-aey=0成立，

所以[α—击，可U⅛<⅛)<

所以「一子一汽解得S≤α<J

i

c—42ee乙

所以ɑ的取值范围是[悬芬

故答案为：嗡,芬

把原等式变形，构造函数/(X)=3,利用导数画出草图，将问题转化为y=t与/(X)=A有三个交

点，根据题意可得关于α的不等式组，即可求出答案.

本题主要考查函数与方程的综合应用，考查转化能力，属于中档题.

2b—ca2b-c

.【答案】解：(由即

171)cos(i4+fi)CoS(B+C)'cos(π-C)cos(ττ-71),

得等=ɪ,

coseCosA

由正弦定理可得(2sizι8—sinC')cosA=SinAcosC9

所以2siτιBcos√l=SinAcosC+SinCcosA=Sin(A+C),

所以2siτιBcosA=sinBf因为B∈(0,7r),所以SiTlB>0,

所以cos/=5又A∈(O,τr),所以力=永

(2)由正弦定理总=福=募,

所以b+c=就ξ(s∙B+SinC)=4y[~3[sinB+sin(ɪ-B)]

4√-3(smβ+Sin与CoSB—CoS与SiTIB)

=4y∕~~3(^sinB÷ɪcosB+；SiTlB)=12(?SiTIB+；COSB)=12Sin(B+%)•

因为AABC为锐角三角形，且4

0<B<≡7rIr

所以《2ππ>解得*<B<*

O<y-B<≡62

所以Be。7B+旌G片),

所以Sin(B+9∈(?,1],12Sin(B+*∈(6/3,12]，

所以b+C的取值范围为(6，？,12].

【解析】(1)利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出cos4即可得解;

(2)利用正弦定理将边化角，转化为角B的三角函数，再由B的取值范围，求出b+c的范围.

本题考查解三角形相关知识，属于中档题.

.【答案】解：因为

18(1)Qn+ι=Sn+4,

当n=1时，ɑ2=Si+4=8,

当n≥2时，Qn=Sn-I+4,

所以%ι+l—CLn=CLnj

即c

⅛+ι=2αn(π≥2,nEN*),

又因为詈=[=2,满足上式，

Ql4

所以是以为首项，为公比的等比数列，

｛ajl｝42

则

αn=4x2nτ=2"+ι.

⑵因为bn=(T严端=(T)E⅞⅛=(T)iJ+)，

所以7n=0+今一(Hg)+…+㈠严%+六)=1+笔•

【解析】(1)利用外l与Sn的关系得到｛C⅛｝为等比数列求解即可；

(2)利用裂项相消法求和即可.

本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题.

.【答案】解:在直三楼柱中，

19(1)ABC-&B1CiBC1BB1,

因为所以平面人峭必，

ABJL8C,BBICAB=B,BeI

因为BD=CE,

所以DE〃BC,所以DEl平面ZBBi41，

因为BFU平面4BB1人,

所以DE1BF.

(2)过点E作EG〃4C交441,于点G,连接DG,显然平面DEG〃平面4BC,

DG1FG,FG=√DF2-GD2=3.

由平面Z)E尸将直三棱柱ABC—4&G的体积平分可知：VF-DEG+VABC-GDE=^ABC-A1B1C1'

即:×∣×3×3×3+∣×3×3EC=∣×∣×3×3×6,

ɔ乙乙乙/1

解得：EC=2,所以71F=FG+GA=5,

以点B为原点，BC,BA,BBl所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系如图所示:

则B(0,0,0),£(3,0,2),F(0,3,5),D(0,0,2).

BE=(3,0,2).BF=(0,3,5).DE=(3,0,0).DF=(0,3,3).

设平面BE尸的法向量沅=(x,y,z),

C：g：o-C÷i-o>

令％=2,则z=-3,y=5,

同理可得平面DEF的一个法向量五=(0,1,—1),

所以∣cos<沆，n>l=i∣∣=

19

所以二面角B-EF-。的余弦值为嗒.

【解析】(1)根据线面垂直的性质证明OE_L平面即可.

(2)建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

本题主要考查线面垂直的应用以及二面角的求解，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进

行求解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：(1)设“甲、乙恰好答对2个问题的概率”为事件4

则p(4)=P(X=1)∙p(y=1)+P(X=2)∙p(y=o)

=警•震∙(∣)2+管・政∣)0∙(∣)3

=3χ21+2χ2=里.

-1012510125-625'

(2)由已知得X所有可能的取值为1,2,3,

z^l∕^*2Q∕~<2∙∕^*1o,3/ɔθ1

所以P(X=D=管=磊，P(X=2)=管=∣,P(X=3)=罟=击

所以X的分布列为

件H31

所以E(X)=IXK+2x∣+3x白=(

D(X)=(1-1)2×ɪ+(2-1)2×I+(3-1)2×ɪ=ɪ,

由已知得y〜8(3,|),所以E(y)=3x∣=,D(Y)=3×∣×∣=∣∣,

因为E(X)=E(丫)，但是D(X)<D(Y),

所以选择甲同学参赛.

【解析】(1)根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

(2)由已知得X所有可能的取值为1,2,3,求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出E(X),

C(X),在由y〜8(3,|),根据二项分布的期望与方差公式求出E(y),D(Y},即可判断.

本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明：由椭圆E：圣+马=l(α>b>O)的焦距为4,

可知C=2,

因为AFiMN的周长为12,

所以4a=12,

解得Q=3,

此时炉=a2-c2=9—4=5,

所以椭圆E的方程为：⅛+⅛=l,

95

不妨设M(%ι,%)N(X2,丫2)，直线，的方程为:X=my÷2,

联立厅+彳=1,

X=my+2

消去》并整理得(5r∏2+9)y2+2Omy—2=0,

所以为+及=逢，乃丫2=5⅛⅛`

可得91=*=%

件32-255，

即=∣(y1+y2)-

♦1

则b=ɪiil=Yι(χ2-3)=.兀丫2-丫1

«2—j¾—力(/+3)-my1y2+5y2

所以各为定值上

(2)由题意知Si+52=SAM48+SAN48=ɪ×2×3×∣y1-y21=3∣y1-y2∣

(20nt)2+4x25x(5m2+9)_Q√

_J9m2+lf

-5m2+9-5m2+9

不妨令t=√m2÷1≥1，

s

则Sl+S2=∆MAB+SANAB=ɪ×2×3×∣y1-y21=3∣y1-y2∖

90t_90

=5t2+4=5t+?*

又y=5t+:在[1,+8)上单调递增，

90

所以当t=l,即UI=on寸，S1+S2取得最大值为Q耳=1°,

故Si+S2的最大值为10.

【解析】(1)由题意，结合所给信息得到α和C的值，代入Z>2=α2-c2中求出b的值，进而得到椭圆

E的方程，设出点M,N坐标和直线，的方程，联立方程，利用韦达定理进行进一步求解即可得证；

(2)由题意得到S]+SZ=SAMAB+SANAB=嚼宵，利用换元法，令t=C^TT≥l,将其转

化成含有t的式子，再进行求解即可.

本题考查椭圆的性质和直线与椭圆的综合应用；考查了分析问题解决问题的能力.

22.【答案】解：⑴因为f(x)=αlnx+*2-(α+2)%