自动控制原理第5章-频域分析

第5章控制系统的频域分析第5章控制系统的频域分析

主要介绍典型环节的频率特性、开环频率特性、最小相位系统、Nyquist稳定判据、闭环频率特性及用频率特性来分析系统的品质。内容提要知识要点

开环频率特性、幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线）、对数频率特性曲线（又称Bode图）、对数幅相频率特性曲线、Nyquist稳定判据、闭环频率特性、相对稳定性、等M圆和等N圆、定性或定量分析系统的时域响应。第5章控制系统的频域分析重点难点

重点：开环频率特性、Nyquist稳定判据

难点：开环系统的Nyquist曲线、Bode图的绘制教学要求

熟练掌握频率特性与传递函数之间的关系；熟练绘制开环系统的Nyquist曲线、Bode图；熟练利用Nyquist稳定判据，由开环频率特性判别闭环系统的稳定性；会利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。第5章控制系统的频域分析

频率响应：在正弦输入信号作用下，系统输出量的稳态值。（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验方法来确定。（2）对二阶系统而言，频率特性和动态性能指标之间有明确的对应关系。（3）可以根据系统的开环频率特性研究闭环系统的稳定性，不需要求解闭环特征方程。（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件地推广应用到非线性系统中。

它具有以下特点：

第5章控制系统的频域分析§5.1频率特性一、频率特性概述1、RC网络的频率特性其传递函数为：在复数域内讨论RC网络，并求输出电压第5章控制系统的频域分析于是有：——RC网络的频率特性—幅频特性—相频特性第5章控制系统的频域分析比较和

可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。2、线性定常系统的频率特性

线性定常系统如图所示(n≥m)（1）第5章控制系统的频域分析若r(t)=Rsinωt则有

设传递函数G(s)可表示成极点形式

假定系统是稳定的，即其根均在S平面的左半平面式中A1、A2、ci为待定系数，由留数定理求得第5章控制系统的频域分析

由拉普拉斯反变换得输出响应第5章控制系统的频域分析

对于稳定系统，当t→∞时，e-pit（i=1,2,…,n）均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为:

而A1、A2为共轭复数，可表示为第5章控制系统的频域分析于是式中，欧拉公式第5章控制系统的频域分析

定义线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)

稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性——幅频特性

稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性——相频特性第5章控制系统的频域分析显然有3、频率特性的另外表示G(jω)=p(ω)+jθ(ω)式中p(ω)——为G(jω)的实部，称为实频特性；

θ(ω)——为G(jω)的虚部，称为虚频特性。第5章控制系统的频域分析二、频率特性的求取实例

例5-1已知系统的传递函数为，求其频率特性。解：令s=jω得系统的频率特性或幅频特性:相频特性:第5章控制系统的频域分析实频特性:虚频特性:第5章控制系统的频域分析三、频率特性G(jw)的表示方法以

为例幅频相频Ⅰ.

频率特性Ⅱ.

幅相特性(Nyquist)Ⅲ.

对数频率特性(Bode)Ⅳ.

对数幅相特性对数幅频对数相频第5章控制系统的频域分析

频率特性与微分方程也存在着内在联系，它们之间可以相互转换：第5章控制系统的频域分析四、频域性能指标2、谐振峰值

幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率；1、谐振频率

幅频特性的最大值。第5章控制系统的频域分析3、频带

大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小4.A(0)值

指零频(ω=0)时的幅值

A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度第5章控制系统的频域分析§5.2典型环节的频率特性5.2.1概述●幅相频率曲线（极坐标图）●Bode图（对数坐标图）1、幅相频率曲线（极坐标图或乃奎斯特(Nyquist)图）

规定：幅相频率特性图的实轴正方向为相位的零度线；矢量逆时针转过的角度为正；顺时针转过的角度为负。第5章控制系统的频域分析

当频率ω由0→+∞变化和ω从-∞→0变化的幅相频率特性曲线关于实轴对称故一般只绘制ω从0→+∞变化时的曲线

当频率ω由0→∞时，G(jω)变化的曲线，即矢量端点轨迹就称为极坐标图第5章控制系统的频域分析例如，RC网络的幅频特性和相频特性第5章控制系统的频域分析2、对数频率特性曲线（Bode图）

由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。（1）对数幅频特性

频率特性的对数值L(ω)=20lgA(ω)（dB）与频率ω的关系曲线；

纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；

横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。第5章控制系统的频域分析（2）对数相频特性

频率特性的相角(度)与频率ω的关系曲线。

横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。第5章控制系统的频域分析②可将系统的各个环节的幅值相乘转化为幅值的叠加，简化了作图过程；（3）Bode图的特点：①Bode图的横坐标采用对数分度，扩大了频率视野，有利于分析较大频率范围内的系统特性；

例如，n个环节串联

对数幅频特性为第5章控制系统的频域分析

对数相频特性为③可以分段用直线作出对数幅频特性的渐进线，然后再借助修正曲线对其进行修正；④通过Bode图可以直观看出各个环节对系统总特性的影响。3、对数幅相特性曲线（图）

对数幅相图是将对数幅频特性和相频特性两张图，在角频率为参变量的情况下合成一张图。第5章控制系统的频域分析

一、频率特性线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω)——频率特性

稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性——幅频特性

稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性——相频特性课程回顾（1）

第5章控制系统的频域分析二、频率特性、传递函数和微分方程之间的关系课程回顾（2）

第5章控制系统的频域分析三、频域性能指标2、谐振峰值1、谐振频率课程回顾（3）

3、频带4.A(0)值第5章控制系统的频域分析四、幅相频率曲线（极坐标图或乃奎斯特(Nyquist)图）

系统频率特性可表示为

规定：幅相频率特性图的实轴正方向为相位的零度线，矢量逆时针转过的角度为正；顺时针转过的角度为负。课程回顾（4）

第5章控制系统的频域分析五、对数频率特性曲线（Bode图）（1）对数幅频特性

纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；

横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。课程回顾（5）

（2）对数相频特性

横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。第5章控制系统的频域分析1、积分环节5.2.2典型环节的频率特性相频特性幅频特性频率特性传递函数：(1)幅相频率特性(Nyquist）第5章控制系统的频域分析(2)对数频率特性对数幅频特性对数相频特性斜率为-20dB/dec第5章控制系统的频域分析2、惯性环节相频特性：幅频特性频率特性传递函数(1)幅相频率特性：实频特性虚频特性第5章控制系统的频域分析上式配方之后得：

上式表明，惯性环节的极坐标图(乃奎斯特图)是以（0.5，j0）为圆心，半径为0.5的圆。惯性环节的极坐标图第5章控制系统的频域分析对数幅频特性：渐进线

惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率ω=1/T，称为转折频率。(2)对数频率特性：在低频段，Bode图近似为0dB线；斜率为-20dB/dec在高频段，它为一直线，其斜率为-20dB/dec第5章控制系统的频域分析

用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即ω=1/T处。

在高于转折频率一个倍频处，即ω=2/T的误差为第5章控制系统的频域分析对数相频特性第5章控制系统的频域分析例1根据Bode图确定系统传递函数。解.依图有转折频率第5章控制系统的频域分析3、微分环节对数幅频特性相频特性幅频特性频率特性G(s)=S传递函数(1)幅相频率特性(2)对数频率特性第5章控制系统的频域分析4、二阶振荡环节相频特性幅频特性频率特性二阶振荡环节的传递函数(1)幅相频率特性实频特性虚频特性第5章控制系统的频域分析极坐标图的绘制（考虑欠阻尼情况）①ω=0，A(ω)=1，φ(ω)=0，即极坐标曲线起始于正实轴上，模为1。②ω=1/T，A(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-900，即极坐标曲线与负虚轴相交。ωn=ω=1/T。③ω→∞，A(ω)=0，φ(ω)=-1800，即极坐标曲线从负实轴趋近于坐标原点。图5-14振荡环节极坐标图(1，j0)(0，-j1/2ζ)第5章控制系统的频域分析例2系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(ω0)：由|G(ω0)|：第5章控制系统的频域分析对数幅频特性(2)对数频率特性第5章控制系统的频域分析5、比例环节对数幅频特性相频特性幅频特性频率特性G(s)=K传递函数(1)幅相频率特性(2)对数频率特性第5章控制系统的频域分析6、滞后环节对数幅频特性相频特性幅频特性频率特性滞后环节的传递函数(1)幅相频率特性(2)对数频率特性第5章控制系统的频域分析§5.

3系统的开环频率特性

5.3.1系统的开环对数频率特性

对n个环节串联的系统，其开环传递函数为其频率特性第5章控制系统的频域分析

由此看出，系统的开环对数幅频特性L(ω)等于各个串联环节对数幅频特性之和；

系统的开环相频特性等于各个环节相频特性之和。系统的开环对数幅频特性开环对数相频特性第5章控制系统的频域分析例1设一单位反馈系统，其开环传递函数为试绘制该系统的开环对数频率特性(Bode)。解：系统开环频率特性为

系统的开环对数幅频特性:第5章控制系统的频域分析

注意：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。斜率为-20dB/dec20lgK斜率为-40dB/dec第5章控制系统的频域分析

由L(ω)知，该类型(0型)系统的开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线，随着ω的增加，每遇到一个转折频率(ω1=1/T1，ω2=1/T2)，对数幅频特性曲线就要改变一次斜率。

若遇到惯性环节的转折频率时，斜率改变-20dB/dec；第5章控制系统的频域分析

若遇到振荡环节的转折频率时，斜率改变-40dB/dec；遇到一阶微分环节的转折频率时，斜率改变+20dB/dec；遇到二阶微分环节的转折频率时，斜率改变+40dB/dec；第5章控制系统的频域分析开环对数相频特性:第5章控制系统的频域分析例2设一单位反馈系统，其开环传递函数为试绘制该系统的开环对数频率特性(Bode)。解：系统开环频率特性为系统的开环对数幅频特性:第5章控制系统的频域分析

该类型(Ⅰ型)系统的开环对数幅频特性的低频段斜率为-20dB/dec（积分环节）；它在ω=1处与L(ω)=20lgK的水平线相交；在转折频率(ω1=1/T1)处，其斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec。斜率为-20dB/dec斜率为-20dB/dec1/T120lgK第5章控制系统的频域分析系统的开环对数幅频特性的特点:(1)低频段斜率为-20νdB/dec(ν为串联积分环节的数目)(2)低频段在ω=1处，L(ω)=20lgK；(3)当L(ω)由低频向高频延伸时，在转折频率处，渐进线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型：如果遇到G(s)=(Ts+1)±1的环节，斜率要变化±20dB/dec;遇到G(s)=(T2s2+2ζTs+1)-1的环节斜率要变化-40dB/dec;开环对数相频特性:第5章控制系统的频域分析绘制系统开环对数幅频特性的步骤:(1)将系统的开环频率特性G(jω)写成若干典型环节频率特性相乘的形式；(2)计算各典型环节的转折频率，并标在Bode图的ω轴上(3)计算20lgK值，过点(1,j20lgK)作斜率为-20νdB/dec的直线，直到第一个转折频率；(4)从低频段开始，随着ω的增加，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐进线的斜率；(5)必要时可利用误差曲线进行修正，得到精确曲线；(6)相频特性曲线的绘制可以按前述方法绘制，先作出各个环节的对数相频特性，然后叠加。第5章控制系统的频域分析例5-2系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。解系统开环频率特性为(1)计算典型环节的转折频率比例环节dB惯性环节1惯性环节2比例微分环节(2)在Bode图的ω轴上标出转折频率ω1、ω2、ω3第5章控制系统的频域分析(3)过点(1,j40)作斜率为-20dB/dec的直线；

在ω3=20rad/s处，其斜率由-60dB/dec变为-40dB/dec；

在ω2=10rad/s处，其斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec；

在ω1=5rad/s处，其斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec；斜率为-20dB/dec斜率为-40dB/dec斜率为-60dB/dec斜率为-40dB/dec第5章控制系统的频域分析(4)利用误差曲线进行适当修正，得到精确曲线；(5)画出各个环节的相频特性曲线：第5章控制系统的频域分析例5-3系统开环传递函数为试绘制系统的对数幅频特性。解系统的开环频率特性

系统由5个典型环节组成:

转折频率且时L(ω)=20lgK=20dB或L(ω)=0作对数幅频特性渐近线

过ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一条斜率为-20dB/dec直线作为低频段直线；第5章控制系统的频域分析

过ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一条斜率为-20dB/dec直线作为低频段直线；第5章控制系统的频域分析课程回顾（1）

1、积分环节(1)幅相频率特性(Nyquist）：(2)对数频率特性：一、典型环节的频率特性斜率为-20dB/dec第5章控制系统的频域分析课程回顾（2）

2、惯性环节(1)幅相频率特性：(2)对数频率特性：斜率为-20dB/dec第5章控制系统的频域分析课程回顾（3）

3、微分环节(1)幅相频率特性：(2)对数频率特性：第5章控制系统的频域分析课程回顾（4）

4、二阶振荡环节(1)幅相频率特性：(2)对数频率特性斜率为-40dB/dec第5章控制系统的频域分析课程回顾（5）

5、比例环节(1)幅相频率特性：(2)对数频率特性：第5章控制系统的频域分析课程回顾（6）

二、绘制系统开环对数幅频特性的步骤(0型系统）(1)将系统的开环频率特性G(jω)写成若干典型环节频率特性相乘的形式；(2)计算各典型环节的转折频率，并标在Bode图的ω轴上(3)从低频段开始，随着ω的增加，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐进线的斜率；

若遇到惯性环节的转折频率时，斜率改变-20dB/dec；

若遇到振荡环节的转折频率时，斜率改变-40dB/dec；遇到一阶微分环节的转折频率时，斜率改变+20dB/dec；遇到二阶微分环节的转折频率时，斜率改变+40dB/dec；第5章控制系统的频域分析5.3.2系统开环极坐标图（奈氏图）1、逐点计算法

逐点计算法就是在研究的频段内，根据不同的ω值，依次代入A(ω)和φ(ω)，得出极坐标图中相应的点，然后用光滑的曲线连接各点即可得出系统的开环极坐标图。2、概略曲线绘制法

设系统的开环传递函数为系统的开环频率特性为第5章控制系统的频域分析3、开环幅相特性的特征点(1)起点

在低频段，当ω→0时有：

Ⅱ型系统起始于相角为-1800的无穷远；…·ImRe

0型系统的极坐标图的起点，由开环增益K决定，即起始于实轴上的点(K,j0)；

Ⅰ型系统起始于相角为-900的无穷远；第5章控制系统的频域分析(2)终点

在高频段，因为n≥m，当ω→∞时有：

可见，系统的极坐标曲线将按角度-(n-m)π/2终于坐标原点。(3)曲线的拐点

如果系统无零点，则曲线上无拐点；如果系统有零点，则曲线上将出现拐点；第5章控制系统的频域分析(4)渐进线

Ⅰ型系统的极坐标图在低频段的渐进线是平行于虚轴且交于实轴于点(x,j0)的直线。(5)与实轴的交点(6)与虚轴的交点第5章控制系统的频域分析例3系统开环传递函数绘制系统开环极坐标图。解系统开环频率特性(1)起点：该系统为0型，曲线起始于实轴上的点(K,j0)；(2)终点：该系统的n=2、m=0，曲线将按角度-(2-0)π/2=-π终于坐标原点；(3)拐点：该系统无零点，则曲线上无拐点；第5章控制系统的频域分析(4)与虚轴的交点第5章控制系统的频域分析例4系统开环传递函数绘制系统开环极坐标图。解系统开环频率特性(1)起点：系统为Ⅰ型，曲线起始于相角为-900的无穷远(2)终点：该系统的n=3、m=0，曲线将按角度-(3-0)π/2=-3π/2终于坐标原点；(3)拐点：该系统无零点，则曲线上无拐点；第5章控制系统的频域分析(4)渐进线(5)与实轴的交点第5章控制系统的频域分析5.3.3最小相位和非最小相位系统

在s右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。当控制系统中包含有纯滞后环节或存在不稳定的小回环时，都是非最小相位系统。

设有两个系统(a)和(b)，其传递函数第5章控制系统的频域分析零、极点分布如图所示(a)(b)两系统的频率特性分别为对数频率特性分别为第5章控制系统的频域分析

可见，(a）和（b）系统的对数幅频特性相同，而相频特性不同.第5章控制系统的频域分析

表5-1最小相位系统幅频、相频对应关系环节幅频相频-20dB/dec→-20dB/dec0dB/dec→-20dB/dec0dB/dec→-40dB/dec0dB/dec→20dB/dec………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec0dB/dec→m·(+20)dB/dec返回第5章控制系统的频域分析(1)起点

在低频段，当ω→0时有：·ImRe课程回顾（1）

第5章控制系统的频域分析(2)终点(3)曲线的拐点

如果系统无零点，则曲线上无拐点；如果系统有零点，则曲线上将出现拐点；课程回顾（2）

第5章控制系统的频域分析(4)渐进线

Ⅰ型系统的极坐标图在低频段的渐进线是平行于虚轴且交于实轴于点(x,j0)的直线。(5)与实轴的交点(6)与虚轴的交点课程回顾（3）

第5章控制系统的频域分析5.4.1映射定理(幅角定理)§5.4乃奎斯特稳定判据N(s)和M(s)分别为s的n阶和m阶多项式，且n≥m。

闭环传递函数为

特征多项式函数第5章控制系统的频域分析F(s)的分子、分母均为s的n阶多项式，该函数有以下三个特点：（1）F(s)的极点Pj为系统开环传递函数的极点；F(s)的零点Zi为系统的闭环传递函数的极点；（2）F(s)的极点和零点的数目相同；（3）F(s)和G(s)H(s)只差常数1；

闭环系统的稳定性仅由F(s)的零点Zi（即系统闭环传递函数的极点），在S平面上的位置所决定。开环闭环特征多项式第5章控制系统的频域分析

设s=

+jω，F(s)=u+jv图5-26点映射关系图5-27

s平面与F(s)平面的映射关系第5章控制系统的频域分析第5章控制系统的频域分析第5章控制系统的频域分析

s平面上的封闭曲线Cs，应满足下列条件:(1)曲线Cs不通过F(s)的奇点（即F(s)的零点和极点）(2)曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。

当s1沿闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量零点至S1的相角增量极点至S1的相角增量第5章控制系统的频域分析

当s平面上的试验点s1沿封闭曲线Cs顺时针方向绕行一圈时，F（s）平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原（P-Z）圈。幅角定理第5章控制系统的频域分析令N=P-Z式中，N—F(s)平面上封闭曲线Cs/包围原点的次数；当N>0时，F(s)端点逆时针方向包围原点；当N<0时，F(s)端点顺时针方向包围原点；当N=0时，F(s)端点不包围原点；第5章控制系统的频域分析

由整个虚轴和半径为∞的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该封闭曲线称为Nyquist轨迹。5.4.2Nyquist轨迹及其映射1、Nyquist轨迹Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。2、Nyquist曲线第5章控制系统的频域分析

一部分沿虚轴由下而上移动，s=jω，ω由-∞→+∞变化，在F平面上的映射就是曲线F(jω)。3、Nyquist轨迹与Nyquist曲线F(∞)=1+G(∞)H(∞)

另一部分为s平面上半径为R→∞的右半圆，映射到F平面上为F(jω)=1+G(jω)H(jω)

在这两种情况下，s平面上半径为R→∞的右半圆映射到F平面上均为一个点(1,j0)或(K,j0)第5章控制系统的频域分析

闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面。即Z=0或N=P。

根据映射定理可得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(jω)，(ω从-∞→+∞)逆时针包围坐标原点的次数N为

N=P-Z式中，Z—位于右半平面F(s)=1+G(s)H(s)的零点数，即闭环传递函数在右半S平面上的极点个数；

P—位于右半平面F(s)=1+G(s)H(s)的极点数，即开环传递函数在右半S平面上的极点个数；

N—Nyquist曲线包围坐标原点的次数。第5章控制系统的频域分析4、开环频率特性∵F(jω)=1+G(jω)H(jω)∴G(jω)H(jω)=F(jω)-1

故F(jω)曲线包围坐标原点的次数N，就相应变为G(jω)H(jω)曲线包围(-1,j0)点的次数N。二者比较，仅实部相差1。第5章控制系统的频域分析(1)ω从-∞→+∞变化时的Nyquist曲线G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1,j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即Z=P-N=0，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。5.4.3Nyquist稳定判据一(2)如果开环系统稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件为：当ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点。(3)如果G(jω)H(jω)曲线，当ω由-∞→+∞变化时，曲线通过点(-1，j0)，则闭环系统处于临界稳定状态。第5章控制系统的频域分析

考虑到对称性，Nyquist判据(1)为:

例5-6已知单位反馈系统，开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。解:

系统开环稳定，即P=0，从图中看到ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1,j0)点，即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。G(jω)H(jω)曲线(ω：0→+∞)逆时针包围(-1,j0)的次数为N=P/2，则闭环系统稳定,否则闭环系统不稳定。第5章控制系统的频域分析试分析系统稳定性。例1：系统的开环传递函数：解：该系统开环幅相图如右，由图中G(s)H(s)的G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0）点可知，该系统稳定。-1

事实上，只要K,T1,T2

均大于零，G(jω)H(jω)的幅角只会在0-1800内变化，不会与负实轴相交，因而不会包围（-1,j0）点，因此只要K，T1，T2

均为正数，系统总是稳定的。第5章控制系统的频域分析例5-7单位反馈系统，其开环传递函数为

作出ω=0→+∞变化时G(jω)H(jω)曲线如图所示，镜像对称得ω：-∞→0时的G(jω)H(jω)曲线(虚线)。解:系统开环频率特性为试判断闭环系统的稳定性。

开环系统不稳定,因为有一个位于s右半平面的极点1/T，即P=1。第5章控制系统的频域分析

从G(jω)H(jω)曲线看出:

当K>1时，Nyquist曲线逆时针包围(-1，j0)点一圈，即N=1，Z=P-N=1-1=0则闭环系统是稳定的。

当K<1时，Nyquist曲线不包围(-1，j0)点，N=0，Z=P-N=1则闭环系统不稳定，闭环系统有一个右极点第5章控制系统的频域分析例2：若两个单位反馈系统的开环传递函数分别为：试用奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性。解：系统1：

当ω由0→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线如图所示。

依题意，G(jω)H(jω)在右半S平面的极点数为0，即P=0；而由图知，当ω由0→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围点(-1,j0)，即N=0。因为N=P，所以闭环系统稳定。第5章控制系统的频域分析

当ω由0→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线如图所示。

系统2：

可见，当开环增益增大后，会使系统的稳定性变坏。

依题意，G(jω)H(jω)在右半S平面的极点数为0，即P=0；由图b知，当ω由0→+∞变化时，G(jω)H(jω)顺时针包围点(-1,j0)一次，即N=-1。因为N≠P，故闭环系统不稳定第5章控制系统的频域分析例3

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性解依题有(稳定)(不稳定)第5章控制系统的频域分析一、Nyquist轨迹与Nyquist曲线课程回顾（1）

(1)曲线Cs不通过F(s)的奇点（即F(s)的零点和极点）(2)曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。第5章控制系统的频域分析课程回顾（2）

(1)ω从-∞→+∞变化时的Nyquist曲线G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1,j0)点的次数N，等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即Z=P-N=0，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳定。二、Nyquist稳定判据一(2)如果开环系统稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件为：当ω由-∞→+∞变化时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点。(3)如果G(jω)H(jω)曲线，当ω由-∞→+∞变化时，曲线通过点(-1，j0)，则闭环系统处于临界稳定状态。第5章控制系统的频域分析5.4.4Nyquist稳定判据二设系统开环传递函数为1、Cs的选取(1)以原点为圆心,以无限大为半径的大半圆；----映射到F平面为坐标原点：(2)由-j∞到j0-的负虚轴；----映射到F平面有：ω由-∞→0-；第5章控制系统的频域分析3、以原点圆心，以(→0)为半径的从j0-到j0+的小半圆。----映射到F平面有4、由j0+沿正虚轴到+j∞；----映射到F平面有：ω由0+→∞；

S平面上原点附近的无限小圆弧，映射到G(jω)H(jω)平面上为无限大的圆弧，该圆弧的角度从ω=0-开始，顺时针方向转过υπ到ω=0+终止。乃奎斯特封闭线或辅助园第5章控制系统的频域分析

当系统的开环传递函数有υ个极点位于s平面坐标原点时，如果增补开环频率特性曲线G(jω)H(jω)（ω从-∞→+∞）逆时针包围（-1，j0）点的次数N等于系统开环右极点个数P，则闭环系统稳定,否则系统不稳定。2、Nyquist曲线稳定判据二第5章控制系统的频域分析例5-8系统开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。解：系统的频率特性为令虚部为零，得：于是得与实轴的交点：第5章控制系统的频域分析

作出ω=0+→+∞时，G(jω)H(jω)的曲线从ω=0-到ω=0+以无限大为半径顺时针转过π，得封闭曲线(或辅助圆)。正虚轴负虚轴θ=-900θ=+900对应S平面的无限大半圆对应S平面的无限小半圆第5章控制系统的频域分析当ω由-∞→+∞变化时(1)当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即N=-2，而开环系统稳定，即P=0。

因为N≠P

，Z=P-N=2，故闭环系统不稳定(2)当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线不包围（-1，j0）点，闭环系统稳定。第5章控制系统的频域分析临界放大倍数(3)当时，G(jω)H(jω)(ω从-∞→+∞)曲线穿越(-1，j0)点，系统处于临界状态。第5章控制系统的频域分析例4

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有(稳定)(不稳定)第5章控制系统的频域分析例5：某单位反馈系统试用Nyquist

判据判断其稳定性。解：系统的开环幅相图如右.

可见，幅相曲线包围（-1，j0）点2次，而开环系统稳定，故闭环系统不稳定。

由于有二阶积分环节，补画半圆。第5章控制系统的频域分析Nyquist判据可描述为：

当ω由-∞→+∞变化时，系统开环频率特性曲线在负实轴上(-1，-∞)区段的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差等于开环系统右极点个数P时，则闭环系统稳定3、穿越概念：

正穿越：由上而下穿过负实轴(-1，-∞),且伴随着相角增加，记作N+

负穿越：由下而上穿过负实轴(-1，-∞),且伴随着相角减小，记作N-N+-N-=P

注意：在点(-1,j0)之右的穿过不算穿越。第5章控制系统的频域分析5.4.5Nyquist对数稳定判据1、Nyquist图与Bode图的对应关系(1)Nyquist图中│G(jω)H(jω)│=1的单位圆对应Bode图的0dB线。第5章控制系统的频域分析(2)Nyquist图中│G(jω)H(jω)│>1的部分（即单位圆以外的部分）对应Bode图的L(ω)>0的部分。(3)Nyquist图中│G(jω)H(jω)│<1的部分（即单位圆以内的部分）对应Bode图的L(ω)<0的部分。第5章控制系统的频域分析(4)Nyquist图中的负实轴对应Bode图中相频特性的-1800线。

这样，在奈氏曲线G(jω)H(jω)中，发生在负实轴上(-1，-∞)区段的正、负穿越，在Bode图中为在L(ω)>0的频段内，沿ω增加的方向，φ(ω)对-1800的穿越。第5章控制系统的频域分析

当ω由0→+∞变化时，在L(ω)≥0的频段内，相频特性曲线对-180°线的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差为等于P/2时（P为s右半平面开环极点数），则闭环系统稳定。2、Nyquist对数稳定判据第5章控制系统的频域分析主要内容

控制系统的相对稳定性

增益裕度

相角裕量

用幅相频率特性曲线分析系统稳定性

§5.5控制系统的相对稳定性第5章控制系统的频域分析5.5.1控制系统的相对稳定性

3、通过Nyquist曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量其稳定性的量，称为增益裕度Kg及相角裕量。

2、开环系统的G(jω)H(jω)曲线离(-1,j0)点越近，则闭环系统的稳定程度越低。

1、开环系统的G(jω)H(jω)曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高。

根据Nyquist稳定判据，对于开环稳定的系统，

G(jω)H(jω)曲线不包围(-1,j0)点时，闭环系统是稳定的。第5章控制系统的频域分析

3、物理意义：如果系统的开环增益放大Kg倍，则系统处于临界状态。

1、定义：G(jω)H(jω)曲线与负实轴相交时的幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒数称为增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。其中，ωg点为交点处的频率，称为相位穿越频率5.5.2增益裕度

在相位穿越频率处φ(ωg)=-1800。

2、表示：

Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB4、增益裕度用分贝数来表示第5章控制系统的频域分析（a）最小相位系统的Nyquist图（b）对数频率特性

5、应用：

当Kg>1，或Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|>0(dB)时，闭环系统稳定。

当Kg<1，或Kg(dB)<0时，闭环系统不稳定。第5章控制系统的频域分析

当Kg=1，或Kg(dB)=0

时，闭环系统处于临界稳定。

为使闭环系统稳定，G(jω)H(jω)曲线应包围(-1,j0)点，此时Kg<1，即Kg(dB)<0时，闭环系统稳定

对于开环不稳定系统

增益裕度Kg表示系统到达临界状态时，系统增益所允许增大的倍数。

结论第5章控制系统的频域分析5.5.3相角裕量

这表明，仅由Kg还不足以表示所有系统的稳定程度。AB第5章控制系统的频域分析

1、定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角，称为系统的相角裕度或相角裕量。

2、表示：

其中：ωc是G(jω)H(jω)与单位圆相交于c点处的频率，称增益穿越频率，也称剪切频率或截止频率。

|G(jωc)H(jωc)|=1

在Bode图中，相角裕量γ为ωc处相角与-180°线之距离第5章控制系统的频域分析

3、物理意义：当φ(ωC)再滞后γ角度时，则系统处于临界状态。

对于最小相位系统

当γ＞0时，闭环系统稳定；

当γ＜0时，闭环系统不稳定。

4、应用：第5章控制系统的频域分析

5、综述：

(1)对于闭环稳定系统，应当有γ＞0，且Kg>1，即Kg(dB)>0。这时在G(jω)H(jω)曲线上，γ在负实轴以下。在Bode图上，γ在-1800线以上，Kg(dB)在0dB线以下第5章控制系统的频域分析

(2)对于不稳定系统，应当有γ＜0，且Kg＜1，即Kg(dB)＜0。这时在G(jω)H(jω)曲线上，γ在负实轴以上。在Bode图上，γ在-1800线以下，Kg(dB)在0dB线以上第5章控制系统的频域分析一、Nyquist稳定判据二

如果增补开环频率特性曲线G(jω)H(jω)（ω从-∞→+∞）逆时针包围（-1，j0）点的次数N等于系统开环右极点个数P，则闭环系统稳定,否则系统不稳定。课程回顾（1）

第5章控制系统的频域分析

当ω由0→+∞变化时，在开环对数幅频特性曲线L(ω)≥0的频段内，相频特性曲线对-180°线的正穿越次数N+与负穿越次数N-之差为等于P/2时（P为s右半平面开环极点数），则闭环系统稳定。二、Nyquist对数稳定判据课程回顾（2）

第5章控制系统的频域分析

物理意义：如果系统的开环增益放大Kg倍，则系统处于临界状态。

定义：G(jω)H(jω)曲线与负实轴相交时的幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒数称为增益裕度。其中，ωg点为交点处的频率，称为相位穿越频率三、增益裕度

在相位穿越频率处φ(ωg)=-1800。

表示：课程回顾（3）

当Kg>1，或Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|>0(dB)时，闭环系统稳定（对最小相位系统而言）。

当Kg<1，或Kg(dB)<0时，闭环系统不稳定。第5章控制系统的频域分析

定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角，称为系统的相角裕度或相角裕量。

表示：

其中：ωc称增益穿越频率，也称剪切频率或截止频率，此时|G(jωc)H(jωc)|=1在Bode图中，相角裕量γ为ωc处相角与-180°线之距离四、相角裕量课程回顾（4）

第5章控制系统的频域分析

物理意义：当φ(ωC)再滞后γ角度时，则系统处于临界状态。

对于最小相位系统

当γ＞0时，闭环系统稳定；

当γ＜0时，闭环系统不稳定。

应用：课程回顾（5）

第5章控制系统的频域分析稳定裕度(γ、Kg)的计算解法I：由幅相曲线求例1，求(1)令试根得第5章控制系统的频域分析(2.1)令可得第5章控制系统的频域分析(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式令得代入实部第5章控制系统的频域分析由L(w):得解法II：由Bode图求同前第5章控制系统的频域分析解.作L(w)求法I:例2，求法II:第5章控制系统的频域分析主要内容

由开环频率特性求取闭环频率特性

等M圆（等幅值轨迹）

等N圆（等相角轨迹）

利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性§5.6闭环频率特性第5章控制系统的频域分析

开环传递函数G(s)，系统的闭环传递函数

系统的闭环频率特性5.6.1由开环频率特性求取闭环频率特性第5章控制系统的频域分析5.6.2等M圆（等幅值轨迹）

定义

设开环频率特性G(jω)为G(jω)=p(ω)+jθ(ω)=x+jy

令M=|M(jω)|

，则

整理得：(1-M2)x2+(1-M2)y2-2M2x=M2

当M=1时，可求得x=-1/2，这是通过点（-1/2，j0）且与虚轴平行的一条直线第5章控制系统的频域分析

对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式，圆心在处，半径。所以在G(jω)平面上，等M轨迹是一簇圆.

当M≠1时，由上式可化为第5章控制系统的频域分析等M圆

分析

当M>1时，随着M值的增大，等M圆半径越来越小，最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧。第5章控制系统的频域分析

当M=1时，它是通过（-1/2，0j）点平行于虚轴的一条直线。等M圆既对称于M=1的直线，又对称于实轴。

当M<1时，随着M值的减小，M圆半径也愈来愈小，最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧。第5章控制系统的频域分析5.6.3等N圆（等相角轨迹）

定义

闭环频率特性的相角ψm为：令

整理得：第5章控制系统的频域分析

等N圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加±180°时，其正切相同，因而在同一个圆上

当给定N值(等N值)时，上式为圆的方程，圆心在处，半径为,称为等N圆。第5章控制系统的频域分析

对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。

所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点第5章控制系统的频域分析5.6.4利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性

将开环频率特性的极坐标图G(jω)叠加在等M圆线上，如图(a)所示。G(jω)曲线与等M圆相交于