新高考复习练习：13 利用导数证明或求函数的单调区间(教师版)

专题13利用导数证明或求函数的单调区间

一、多选题

I.已知函数/(x)=2In无+，，数列｛凡｝的前〃项和为5“，且满足4=2,an+↑=/(tzn)(∕ι∈N'),则下

列有关数列｛0,,｝的叙述正确的是()

A.a2<a｝B.an>1C.Sioo<IOOD.an∙an+i+1<2all

【答案】AB

【分析】

A.计算出出的值，与αj匕较大小并判断是否正确；B.利用导数分析/(x)的最小值，由此判断出4>1是

否正确；C.根据%与1的大小关系进行判断：D.构造函数MX)=InX+L—l(x>l),分析其单调性和

X

最值，由此确定出Ina将Ina变形可得4+∣+-!->2,再将+」->2变形

ana,,anan

可判断结果.

【详解】

11ɜI

A选项，生=21n2+-=In4+—<111/+-=2,A正确；

2222

ɔIɔ1

,

B选项，因为∕(Λ)=---Γ=ɪ-,所以当X>1时，r(%)>0，所以F(X)单增，所以∕U)>/(D=1,

因为q=2>l,所以a”+1=∕(α,,)>1,所以4>1,B正确；

C选项，因为4>1,所以R00>100,C错误;

D选项，令h(x)=InX-I-----I(X>1)，∕ι,(x)=--------=--->0>

XXX

所以〃(X)在(1,”)单调递增，所以〃(X)>Zz(I)=O,所以Ina”+∙-l>0,

a,,

2八，1、11

则2In。“+----2>O,所以2InH-----+—>2,Bpan+↑+—>2,

a..aaa.,

所以4%M+1>2%,所以D错误.

故选：AB.

【点睛】

易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：

(I)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的

问题；

(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

2.设函数/(x)=xh√x+x的导函数为了'(X),则()

A./Y)=OB.九=’是ya)的极值点

ee

C./(X)存在零点D./(X)在(j,+∞)单调递增

【答案】AD

【分析】

求出定义域，再求导，计算即可判断A,由导函数r(x)=l∏2χ+21nx+l=(lnx+l)2≥0,即可判断选项

B、D,由/(x)>0,即可判断选项C,从而可得结论.

【详解】

由题可知/(x)=Λln2x+x的定义域为(0,+8),

对于A,/'(x)=ln2χ+21nx+l,则rd)=ln2』+21n1+l=l-2+l=0,故A正确；

eee

对于B、D,∕,(%)=ln2x+21nΛ+l=(l∏Λ+l)2≥0,所以函数/(x)单调递增，故无极值点，故B错误，

D正确；

对于C,/(x)=xln2%+Λ=x(ln2x+1)>O,故函数/(x)不存在零点，故C错误.

故选：AD.

3.已知函数〃X)=七，xe((),%],则下列结论正确的有()

A.7(x)在区间(0,可上单调递减

B.若0<%<工2〈]，则％∙sin%2>W∙sin玉

C.r(x)在区间(0,司上的值域为[0,1)

D.若函数g(x)=xg[x)+cosx,且g(%)=T,g(x)在((),可上单调递减

【答案】ACD

【分析】

先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，

对于选项A:当X《0,5时，可得r(x)<0,可得/(x)在区间(0,5上单调递减；当XG%%,可

TT

得/'(x)<0,可得/(x)在区间-,π上单调递减，最后作出判断；

对于选项&山/(x)在区间(0,句上单调递减可得/(xj>/(x2),可得吧吧迤，进而作出判断；

XiXQ

sinɪXsinTT

对于选项C由三角函数线可知Sin尤<X，所以——<-=l,JW=——=0,进而作出判断；

XXπ

对于选项O：g'(x)=g'(x)+xg"(X)-Sin%,可得g"(χ)=1=/(X),然后利用导数研究函数g'(x)

在区间(0,万］上的单调性，可得g'(x)Wg'(4)=0,进而可得出函数g(x)在(0,万I上的单调性，最后作出

判断.

【详解】

f(X)=----------------，x∈(0㈤，

(4、

当x∈0,不时，Cosx>O,由三角函数线可知XVtan工，

∖L)

SinX

所以—,即XCoSX<sinx,所以XCoSX—SinX<0,

COSX

所以/'(X)<O,所以/(x)在区间(0仁)上单调递减，

冗

当x∈-.π,cosx≤O,sin%≥Ot所以XCoSX-SinX<0,,f'(x)<O,

所以“X)在区间y,Λ∙上单调递减,

所以/(%)在区间(0,可上单调递减，故选项A正确;

当0<玉<%2〈万时，/(∙X∣)>/(∙^2)1

sinxsinx

所以一1L>-9-即玉与11工2<工2与11%,故选项3错误;

einχχSin7Γ

由三角函数线可知SinX<x,所以^一<—=1,于(兀)=：—=0，

XXπ

所以当x∈(0,司时，/(x)∈[0,l),故选项C正确；

对g(x)=xg'(x)+COSX进行求导可得：

所以有g'(x)=g'(x)+xg"(x)-Sin%,

所以g"(x)=W=/(ɪ).所以g"(x)在区间(0,可上的值域为[0,1)，

所以g"(x)≥O,g'(x)在区间(0,句上单调递增,因为g'(%)=0,

从而g'(x)≤g'S)=0,所以函数g(x)在(0,可上单调递减，故选项。正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数f(x)=?的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数

线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解

能力，属于中档题.

4.已知函数/(x)=InW-x+g,给出下列四个结论，其中正确的是()

A.曲线y=∕(x)在x=-l处的切线方程为χ+y+l=O

B./(x)恰有2个零点

C./(X)既有最大值，又有最小值

D.若玉/>0且/(xJ+∕(%)=O,则X∣尤2=1

【答案】BD

【分析】

本题首先可根据/(-1)=0以及FK-I)=-3判断出A错误，然后根据当x>0时的函数单调性、当X<0时

的函数单调性、/(-1)=0以及/(1)=0判断出B正确和C错误，最后根据/(3)+/(々)=0得出

=根据函数单调性即可证得XW=1，D正确.

【详解】

函数/(x)=InW-X+1的定义域为(-∞,0)5°，+8)，

当x>0时，f(x)=lnx-x+',∕,(χ)=l-i--!=二A+J-1;

,λ+λ

当x<0时，/(x)=ln(-x)-X+，，∕(x)=i-l--y=-2~ɪ•

.2

A项：/(-1)=In(I)+1-1=0,代尸-卜)；-1二3

(^1)^

则曲线y=∕(x)在X=T处的切线方程为y-0=-3(x+l),即y=-3x—3,A错误;

1125

B项:当x>()时，.、-X2+x-1-覆5-IR函数/(χ)是减函数,

方(X)=

X2X2

1-12_5

当x<0时,-X2+x-1森24<0，函数/(x)是减函数,

制X)=

X2X2

因为/(T)=O'/(1)=0,所以函数/(x)恰有2个零点,B正确;

C项：由函数/(X)的单调性易知，C错误;

D项：当％>0、X2>0时,

因为/(x∣)+∕(w)=6

+x

所以/(XI)=^∕(⅞)=-In¾2--=In-------+x2-f

∙^2X,

因为/(χ)在(0,+8)上为减函数，所以x∣=-,X1X2>0,

X2

同理可证得当X1<0,X2<O时命题也成立，D正确，

故选：BD.

【点睛】

本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函

数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于O,则函数是增函数，若导函数值小于O,则函数是减函

数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.

5.已知函数/(x)=e'+αsinx,则下列说法正确的是()

A.当α=τ时，/(x)在(0,+?)单调递增

B.当α=T时，/(x)在(Oj(()))处的切线为X轴

C.当α=l时，/(x)在(—兀,0)存在唯一极小值点毛,且一1<∕(ΛO)<O

D.对任意0>0,/(X)在(一兀,物)一定存在零点

【答案】AC

【分析】

结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

对于A,当α=-l时，/(x)=e'-sinx,/'(x)=e*-CoS%,

因为XW(O,+8)时，e`>l,cos%≤l,即∕<x)>0,所以/(x)在(0,+?)上单调递增，故A正确；

对于B,当α=-l时，f(x)=e*-sinx,f'(x)=eX-COSX,则F(O)=eθ-sin0=l,

/'(O)=e°-cos0=0,即切点为(0,1),切线斜率为0,故切线方程为y=l,故B错误；

对于C,当α=l时，/(x)=ev+sinx,∕,(x)=ev+COSΛ,/"(x)=e*-Sinx,

当x∈(-π,0)时,sinx<O,ev>0.则/"(x)=e'-SinX>0恒成立，即f'(x)=ejc+cosx⅛(-π,0)±

单调递增，

《―牛卜中—亭<0,所以存在唯一/e(—去、)，使得∙∕'(xO)=O成立，

所以“力在(―π,x°)上单调递减，在(％,0)上单调递增，即“力在(一兀,0)存在唯一极小值点小,

π

由r(∙⅞)=e*+COSΛ=0，可得/(⅞)=ev°+sinx=-cosx+sinx=6Sin

0000x0~4

(3兀71iπ(一π,一弓)，则/(xo)=√∑sin(∕一微)

因为XO∈[-7-,-5),所以XO一—∈∈(-l,0),故C正确;

4

对于选项D,/(x)=eλ+tzsinx,x∈(-π,+∞),

令/(x)=e'+QSinX=0,得一∙1二^∙^,

π

sinx.-yjlsinX——

g")=x∈(-π,-Hx>),则g,(χ)=cosx-sinx4

ex

ITt

令g")=O,得SinX——=0,则X=E+；(ZN-LZGZ),

I4

πC(Ci兀Cr5兀

令g")<0,得SinX——>0,则九∈[2⅛π+-,2⅛π+-(Z≥TAeZ),此时函数g(x)单调递减,

4

πI5τΓQJT、

令g,x)>0,得Sinx<0,则x∈∣2E+丁，2E+]J(A≥—1,Z∈Z),此时函数g(x)单调递

增,

5τr

所以％=2阮+彳伙≥T%∈Z)时，g(x)取得极小值，极小值为

sinI2kπ+—.5π

sin—/、

g(2E+升I44(Z≥-l,Zs∈Z),

2⅛π+-2⅛π+-

e4e4

.5π

sin——

在g(x)的极小值中,2π+一生最小,

4-T3π

e~

,5π

当X∈卜无,一雪时，g(x)单调递减，所以函数g(x)的最小值为sin——

变、41

g3π3π

e4√2e~

1131

当一一一时，即o<α<JIe寸时;函数g(x)与丁=一一无交点，即/(x)在(—π,+8)不存在零

√2e4ci

点，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能

力，属于难题.

二、单选题

6.已知定义域为R的函数/(x)的图象连续不断，且∀xeR,/(x)+"r)=4χ2,当χ∈(0,+s)时，

,f(x)<4x,若/(2m+l)—/(fi)≤6∕√+8m+2,则实数〃?的取值范围为()

A.-；,+°C)B∙[-l,+∞)C.(-00,-^；D.(-∞,-l]

【答案】A

【分析】

利用已知条件得到/(x)-2χ2=-[/(—X)-2(—x)2],构造函数g(x)=∕(x)—21,利用已知条件得到

函数g(x)为奇函数且函数g(x)在(0,+8)上单调递减，由奇偶性可知，函数g(x)在R上单调递减，得到

g(2m+l)≤g(-m),利用单调性求解即可.

【详解】

依题意，/(Λ)+∕(-X)=4X2,

故/(x)-2x?=_f(-x)-2(-%)^,

令g(x)=∕(6-2f,

可知，函数g(x)为奇函数.

因为当x∈(0,+∞)时，∕,(x)<4x,

即当x∈(0,+∞)时，[/(χ)-2f]'<0，

故函数g(x)在(0,+a)上单调递减，

由奇偶性可知，函数g(x)在R上单调递减，

因为/(2∕x+l)-J'(T")≤6M+8m+2,

故/(2m+l)-2∙(2m+l)^≤f(―m)—2•(―«?)2-

即g(2m+l)≤g(-加),

故2m+l≥-机，

故”2≥一」,

3

故实数小的取值范围为一；，+81

故选：A.

【点睛】

关键点睛：构造函数g(x)=∕(x)-2无2,研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.

7.函数/(x)=χ2一Inkl+:的图象大致是()

【答案】C

【分析】

当x>0时，/(x)=%2-InX+,，/[％)=(XT)RE2*+1),求出此时函数的单调区间，根据选项的

X2

图象，可得答案.

【详解】

当x>0时，/(X)=Λ2-Inx+-,

则r(x)-2x」1-2入1_(1乂2/+2川)

v722

XX2XX"

当x>l时，/'(尤)>0,则/(x)在(1,+8)上单调递增.

当O<x<l时，/'(x)<0,则/(x)在(0,1)上单调递减.

根据选项，只有选项C满足

故选：C

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8.设函数AX)在火上存在导数/'(X),对于任意的实数X,⅛/(x)+f{-x)=2x1,当Xe(YO,0)时，

f∖x)+3≤2x,若/(根+2)+∕Q”)≤2m2-2m-2,则实数加的取值范围是()

A.m≥lB.m£1C.m≥-1D.m<-∖

【答案】C

【分析】

构造g(x)=∕(x)-/+3χ,由g(x)+g(-x)=0,可得g(x)为奇函数，利用导数可知g(x)在R上单调

递减，结合函数的单调性解不等式即可.

【详解】

Q∕,(x)+3<2x,.∙.∕,(x)+3-2x≤0

令g(x)=/(X)-J+3χ,且g，(X)=r(χ)-2x+3,贝IJg(X)在X6(—8,0)上单调递减.

又Qf(X)+/(-x)=2f

.∙.g(x)+g(-x)=f(x)-x2+3x+/(-%)-%2-3X=f(x)+f(-x)-2x2=O

.∙.g(x)为奇函数，g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减.

Q于(In+2)+f(m)<2rrΓ-2m-2,且f(m)+f{-ιri)=2m2

代入得f(m+2)+2m2-f{-ni)≤2ιn2-2m-2,

转化为/(m+2)-(m+2)2+3(m+2)≤f(-∕n)-m2+3(-m),即g(m+2)≤g(-ιn)

由于g(x)在R上递减，则加+2≥τzZ,解得：m≥-∖

故选：C.

【点睛】

方法点睛：利用f(χ)进行抽象函数构造，常见类型：

(I)利用/(χ)与X的构造，常用构造形式有:出现“+”用皿X),出现“一”用丛»；

X

(2)利用F(X)与e'的构造，常用构造形式有：出现/(x)+∕”(x),构造函数F(X)=e"(X)；出现

/(x)-f(x),构造函数/(X)=空ɪ;

e

Inγ

9.函数〃X)=吐，若α=∕(4),⅛=/(5.3),c=/(6.2),则()

X

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【分析】

求导f(x)="坐，可得/(χ)在(e,+8)的单调性，利用单调性，即可得答案.

X

【详解】

Inγ∙

因为〃X)=%上(X>O),

X

所以/'(X)=匕少，

X

当x>e时，/(χ)<O,则/(尤)在(e,+8)为减函数，

因为e<4<5.3V6.2,

所以/(4)>∕(5.3)>∕(6.2),BP0>⅛>c,

故选：B

1

10.已知函数/(x)=]χ29-]nx,则其单调增区间是()

A.(l,+∞)B.(0,+∞)C.(O,l]D.[0,1]

【答案】A

【分析】

求导(X)=已_-f求函数的单调递增区间，即求不等式/'(%)>。，解不等式即可的答案.

X

【详解】

由/(x)=gχ2-lnX,函数定义域为(O,+e),

1γ2_[

求导r(x)=X-L='二，令/'(x)>0,得χ>l或χ<T(舍去)

XX

所以/(x)单调增区间是(l,+∞)

故选:A.

II.某数学兴趣小组对形如/(x)=xi+ax2+bx+c的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，

其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是()

A.函数/(X)的图象过点(2,1)

B.函数/(x)在X=O处有极值

C.函数F(X)的单调递减区间为[0,2]

D.函数/(x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】D

【分析】

首先假设4个选项都正确，依题意只有一个错误选项，即可得到BC都正确，从而求出。、。的值，

【详解】

解：题意对于A选项，/(2)=8+4a+»+c=l；

对于8选项，f∖x)-3x1+2ax+b,

对于C选项，由递减区间可得了'(0)=8=0,/'(2)=12+4α+A=0;

因为有且仅有一个选项错误，所以B、C正确，所以。=一3，8=()

对于。选项，函数/O)的图象关于点(1,0)时称，则有“l+x)+∕(l-x)=0,

可赋值得到：当产。时,40)=0,当k1时，/(2)+∕(0)=0,即可得到8+4a+»+c+c=0解得c=2

与“+h+c=0解得c=3,显然C有两个取值，故D错误；

所以A正确，解得c=5,所以/(x)=χ3-3f+5,所以/(2)=1,f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以函

数在(-8,0)和(2,4W)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在X=O处取得极大值，故ABC均正确；

故选：D

【点睛】

本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值，函数的对称性的应用，若

/(iz+x)+/(/?-%)=2c,则/(x)关于(与2,C)成中心对称；

12.函数/(x)=——-—(x∈[-Λ∙,O)(0,乃D的图象大致是()

X-S1ΠX

C.

【答案】B

【分析】

首先判断函数的奇偶性,再利用导数研究函数的单调性即可得解:

【详解】

X

解：因为/(X)=(x∈[rr,0)(0,句)，定义域关于原点对称，乂

X-SinX

-XXY

“T=TTin(T)=7^=/(H所以小)=卜肛。)(。,力为偶函数，函数

图象关于y轴对称，所以排除A、D；

f-SinX)-(XTinX)x_xcosx-sinx

(x-sinXy(x—sinx)2

令g(x)=XCoSΛ-sinx,ρ∣∣Jg'(%)=-xsinx,所以当x∈(O,τr]时g'(x)≤。,所以g(x)=XCoSX-SinX

在x∈(0,司上单调递减，又g(0)=0,所以g(x)<O在x∈(0,司上恒成立，所以/'(x)<0在x∈(0,司

上恒成立，即函数/(X)=---在(0,乃］上单调递减，故排除C,

X-S1ΠX

故选：B

【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

13.己知偶函数y=/(x)对于任意的X∈［0,万)满足厂(X)cosX+f(x)SinX>O(其中尸(x)是函数/(χ)

的导函数)，则下列不等式中成立的是()

B.√2∕(-¾<∕(-¾

34

C.fφ)>y∕2f(~)

4

D./(ɪ)<√3∕⅛

63

【答案】D

【解析】

试题分析：令F(X)=W,因F(X)=/(X)CoSX+/(x)⅛>x,故由题设可得F(力>O,即函数

COSXCOS3X

产(力=£2在［0,。上单调递增且是偶函数.又因,Y羡Y∣,⅛rφ<F(.<F号),即

<"∕'g),故应选D.

考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.

【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数

学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数F(X)=正2,

COSX

再运用求导法则求得户(X)=/(X)C8X[/(X)MnX,故由题设可得F(力>0,即函数F(M=Z也在

COS*XCOSX

JT

[0.[)上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.

一

14.已知函数/(x)在定义域H上的导函数为了'(X),若函数y=∕'(x)没有零点，且/[〃尤)—20191

=2019,当g(x)=sinx-cosx—依在一%,%上与/(x)在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围

是()

A.(-00,-1]B.(∙~oo,2]C.[-1,√2]D.[0^,+∞)

【答案】A

【分析】

根据导函数与单调性关系，可知/(x)为R上的单调函数，设r=〃x)-2()19、

利用换元法即可得/(x)=∙+20191进而可得/(x)为增函数，即可知g(x)也为增函数，先求得g'(x),

并令g'(x)≥0,结合正弦函数的性质即可确定人的取值范围.

【详解】

由函数y=∕'(x)没有零点，即方程/'(X)=O无解，则/(X)>0或,(X)<0恒成立，

所以/(x)为R上的单调函数，

VxeR都有/[/(X)-2019Λ]=2019,则/(x)-209为定值，

设，=∕(x)-2019Λ.

则/(x)=/+2019',易知/(x)为R上的增函数，

,."g(x)=Sinx-Cosx-Ax,

/.g<χ)=cosX+sin%-Z:=V∑sinx-∖--∖-k,

又g(力与的单调性相同,

TTyτJ,T^TΓ

.∙.g(x)在上单调递增，则当Xe时,g'(x)N0恒成立.

ππππ3π

当x∈时,%+—∈

2247,T

(Tt

所以由正弦函数性质可知Sinx+-∈-与

I4J2

.∙.∙J1sin(/+小-可

所以一1—∕c≥O,左4—1,即左e(―00,-1],

故选：A.

【点睛】

本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.

15.函数产√(x)的导函数内(X)的图象如图所示，给出下列命题：

①-3是函数)=y(x)的极值点；

②y=∕(x)在区间(-3,1)上单调递增；

③-1是函数月(X)的最小值点；

④y=处)在户0处切线的斜率小于零.

以上正确命题的序号是()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】A

【分析】

根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可

知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率.

【详解】

根据导函数图象可知：当x∈(-8,-3)时，∕,(x)<0,在xe(-3,l)时，∕,(x)≥O

二函数y=∕(x)在(―,一3)上单调递减，在(—3,1)上单调递增，故②正确；

则一3是函数y=/(%)的极小值点,故①正确；

∙.∙在(一3,1)上单调递增，.∙.一l不是函数>=/(%)的最小值点，故③不正确；

∙.∙函数y=∕(x)在X=O处的导数大于0,二切线的斜率大于零，故④不正确.

故选：A

【点睛】

方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的儿何意义，其中利用导函数判

断单调性的步骤为：

1.先求出原函数的定义域；

2.对原函数求导；

3.令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；

4.若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调.

16.已知/Xx)是定义在R上的偶函数，且/(2)=1,当x>0时，x∕j(x)+f(x)>1,则不等式~-<0

X

的解集为()

A.(-∞,2)U(2,+∞)B.(-8,2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+8)D.(-2,0)U(0,2)

【答案】B

【分析】

设HX)=X[〃力-1]由奇偶性的定义可判断该函数的奇偶性，结合导数即可求出函数的单调性，从而可

求出不等式的解集.

【详解】

解：设F(X)=X[y(x)-l],则尸'(x)=∕'(x)x+/(X)-I>0,

即F(X)在(0,+⑹上单调递增,因为I(X)在R上为偶函数,Bp∕(-x)=∕(x),

∣i!∣J∕(-2)-l=∕(2)-l=0,F(-2)=F(2)=0,由E(-x)=-x[∕(-X)—1]=一E(X),

x≠Q

f(χ)τ

得尸(x)在及上为奇函数，所以F(X)在R上单调递增,<0等价于〈

XF(x)<0

当x>()时，F(Λ)=X[∕(X)-1]<0=F(2),则0<χ<2;

当X<O时，F(x)=x[∕(x)-l]<0=F(-2),则》<一2；

综上所述，与二ɪvθ的解集为(-8,-2)(0,2),

故选:B.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，属于中档

题.本题的关键是合理构造新函数.

17.已知函数/(X)=『+"+I,g(x)=-x+m,若对任意玉w[l,3],总存在x,w[l,3],使得

x+1

/(x,)=g(Λ2)成立，则实数m的取值范围为()

17917

A.^4,2B.-∞,γ[9,+∞)

179

C.D.—00,,+8

745

【答案】A

【分

对任意办目1,3],总存在々41，3],使得f(ɪ,)=g(Λ2)成立，等价于/O)的值域是g(x)值域的子集,

只要求出两函数在[1,3]上的值域，列出不等式组可求得答案

【详解】

X2+3x+3x^+x+2(x+1)+1

依题意〃X)==Xd--------F2,

x+1x+1x+1

则r(χ)=j12,

(χ+ι)

当x∈[l,3]时,f(x)>0,故函数/(x)在[1,3]上单调递增,

7-

21

-L4

当刃∈[1,3]时，/(Λ1)∈2

-

而函数g(x)=τ+m+2在[1,3]上单调递减,

故g(%2)£卜〃一1,加+1]，

721

则只需2,TU[∕n-l,m+11,

故，ɔ,解得7≤m≤5,

m+l≥—~

I4

「1791

所以实数加的取值范围为—.

_42_

故选：A.

【点睛】

结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(X),xe[α,b],y=1g(x),x∈[c,^]

⑴若Vxl∈[α,0，∀W∈[c,d],总有Fa)<g(%)成立,故F(X)max<g(w)min;

⑵若Vx∣∈[α,以，3X2e[c,d],有/(χ)<g(%)成立,故f(x)max<g(%)nax；

(3)若%∈[α,0],≡x2∈[c,J],有了㈤<g(w)成立,故/(%)min<g(w)mh,:

(4)若VXIG[a,。],3X2e[c,d],有f(%)=g(w),则F(X)的值域是g(x)值域的子集.

18.若定义在R上的函数/(x)满足/(τ)="2+x),且当χ<l时，/(X)='，则满足"3)-/(5)

的值()

A.恒小于0B.恒等于0C.恒大于0D.无法判断

【答案】C

【分析】

当x<l时，求导，得出导函数恒小于零，得出F(X)在(T»,1)内是增函数.再由x)=∕(2+x)得，(尤)

的图象关于直线X=I对称，从而得/(x)在(L+∞)内是减函数，由此可得选项.

【详解】

当x<l时，/(%)=-⅛->0,则/(x)在(-8,1)内是增函数.

由〃T)=F(2+力得”x)的图象关于直线X=I对称，.∙./(x)在(LE)内是减函数,

.Λ∕(3)-∕(5)>O.

故选：C.

【点睛】

本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大

小关系，属于中档题.

19.下列区间是函数y=xsinx+cosx的单调递减区间的是()

A.(0,Æ)B.IIC.(%,2%)D.Iɪ`ɪI

【答案】B

【分析】

先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案.

【详解】

由已知得y=fsinx+x(sinx)+(cos%)=SinX+xcosX-SinX=XCOSx，

A.当XW时，cosx>0.所以y'>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误;

B.Xe时，CoSX<0，y'=xcosx<0,y=xsinx+cosx是单调递减函数，正确;

2,2

C.X∈[G',2Λ∙J时，CoSX>0，所以y'>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误;

D.x∈时，cosx>0,所以y'>0,y=xsinx+cosx是单调递增函数，错误.

2'2

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.

20.已知/(x)为偶函数，且/⑴=O,令F(X)=冬，若尤>0时，√Z(Λ)-2∕(X)>0,关于X的不等

X"

式"InX)Vo的解集为()

A.<χ!<x<l或l<x<e}B.{x∣O<x<e}

C.<X-<x<e>D.<xθ<%<-或x>e}

eJ[e

【答案】C

【分析】

先对函数尸(X)=与求导,根据题中条件，判定X>O时，函数单调递增，根据函数奇偶性，得到尸(X)=整

XX

在(fO,0)上单调递减；结合函数奇偶性与单调性，即可求出不等式的解集.

【详解】

因为F(X)=少，则F'(x)=铲蛆"=V"(κT∕(x),

XXX

当x>0时，√,(x)-2∕(x)>0,所以F(X)=M''w[2∕⅛)>0,

X

即函数F(X)=§在(0,+8)上单调递增；

又/(X)为偶函数，所以F(X)=孝在(-∞,0)上单调递减；

因为/(I)=O,所以F(I)=0,

则不等式F(InX)<O可化为F(lnx)<F(I),

则IlnxI<1,即一IVInXV1,解得L<x<e.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查由导数的方法判定函数单调性，考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型.

21.已知/(x)=3χ2+6x-G'+5,则函数/(x)的单调减区间为()

A.(l,+∞)B.(ln3,+∞)C.(-∞,In3)D.(-∞,+∞)

【答案】D

【分析】

根据题意，对/(x)求导得/'(x)=6(x+l-ejt),构造新函数g(x)=x+l-e",利用导数研究函数的单

调性和最值，得出g(x)≤O恒成立，从而得出/'(x)≤0在R上恒成立，根据导函数和原函数的关系，即

可求出y(x)的单调减区间.

【详解】

解：由题可知，f(x)=3x2+6x-6ex+5,且/(x)的定义域为R,

贝IJ/'(x)=6x+6-6e*=6(x+l-e*),

令g(x)=x+l-e*,则F(X)=I-e*,χ∈R,

当x∈(-∞,0)时，g'(x)>O,当x∈(0,+∞)时，g'(x)<O,

所以g(x)在(TAo)上单调递增，g(x)在(0,+8)上单调递减，

则g(x)的最大值为:g(0)=0,

故g(x)≤o恒成立，故r(x)≤o在R上恒成立，

所以/(χ)在R上单调递减，即函数/(χ)的单调减区间为(y,y).

故选：D

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，还涉及利用构造函数法解决恒成立问题，考查运算能力和转

化思想.

/、ex-x+2a,x>0,、

22.若函数/(x)=<∕八°CC在(-∞,”)上是单调函数，则实数α的取值范围是()

(α-l)x+30-2,x≤0

A.[l,+∞)B.(1,3]C.ɪ,lD.(1,2]

【答案】B

【分析】

根据分段函数一侧的单调性，确定另一侧的单调性，再比较分界点处函数值的大小，求实数α的取值范围.

【详解】

因为函数/(x)在(f,m)上是单调函数，并且当x>0时，/(X)=CA=x+2α,

∕∙'(x)=e*-l>O,所以函数在(O,+“)单调递增，所以x≤0时，/(x)=(α-l)x+3α-2也是增函数,

所以α-l>O,即α>l,

并且在分界点处需满足当X=O时，(α-l)χ0+3α-2≤e°-0+2α,

解得：α≤3,

综上可知实数”的取值范围是(1,3].

故选：B

【点睛】

本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.

23.已知人x)是定义在R上的连续函数，[(X)是/U)的导函数，且,∕ω√(-x)+4x=0.若当Qo时，/(x)>-2,则不

等式火x-2)√(x)>4的解集为()

A.(-8,-1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)

【答案】B

【分析】

设函数g(x)=∕(x)+2x,根据条件得出函数g(x)的奇偶性和单调性，再由条件可得g(x—2)>g(x),

根据单调性和偶函数的性质解出不等式即可.

【详解】

设函数g(%)=f(x)+2∙x,

由/(x)-∕(-x)+4x=0,可得/(x)+2x=/(―x)+2(—x)

即g(x)=g(-X)，所以g(x)为偶函数.

又g'(x)=r(%)+2>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增.

由/(x—2)—/(x)>4∙可得/(x-2)+2(x-2)>∕(x)+2x

即g(x-2)>g(x),即g(∣尤-2∣)>g(∣x∣)

22

所以卜一2|>国，UPX-4X+4>X.解得X<1

故选：B

【点睛】

本题考查构造函数，利用导数判断出函数的单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

3

24.已知函数/(X)=--XSinX,=/(Iog023),⅛=/(Iog30.2),c=∕(0.2),则()

A.a>b>cB.h>a>cC.c>b>aD.h>c>a

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=x-sinx,Λ∈(0,+∞),利用导数得到函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(∙x)>O,又

函数V=X