国家教师资格考试数学学科知识与教学能力全真模拟卷-初中

2022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷1

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

L求极限期1。S点=（）。

A.0

B.1

C.2

D.∞

2.对于函数f（x）=霖，存在（）个可去间断点。

A.1

B.2

C.3

D.∞

3.已知r（x°）=A（A为常数），则图①产f）=（）o

A.½

B.2A

C.3A

D.0

aIla12a132。112。122。13

4已知a2la22a23=Q,则~a21一。22~a23

a31a32a33all+⅝1a12+a32a13+a33

A.-CL

B.α

C.-2α

D.20

5.已知平面兀经过直线汜=F=平及点Q（2,3,4）,则经过点（3,4,5）与平面兀

平行且与直线—=I=W垂直的直线方程为（）。

1-1-1

*3-2--1

-x-3y-4z-5

c--=-=~

CD.-x-3=-y---4=-z---5

-3-2-1

∞yn-ι

7⅛生的收敛域为()o

Σn=lS+2"71

A.(-2,2)

B.[-2,2)

C.(-2,2]

D.[-2,2]

7.下列选项中，与《义务教育数学教学课程标准(2011版)》关于学生评

价的表述不符合的是()

A.学生评价是以全面了解学生的数学学习过程和结果为目的

B.学生评价是以激励学生学习和改进教师教学为目的

C.学生评价是以帮助学生认识自我建立信心为目的

D.学生评价是以提高学生学习成绩满足家长需求为目的

8.()是指利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，

有助于探索解决问题的思路，预测结果。

A.空间观念B.符号意识C.几何直观D.模型思想

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)

9.请利用导数的定义求函数f(x)=SiTIX的导数。

10.设f(%)是连续可积函数，且f(x)=%+2。/«)也，求f(%)。

(3-x^

IL讨论函数f(%)=］ι2O≤X≤1

在区间［0,2］上是否满足拉格朗日

1<X<+∞

定理条件。

12.理论联系实际，并结合新课程改革，谈谈你对新课程实施过程中数学教

学方法应该如何创新？

13.简述如何处理数学中巩固知识与发展能力的关系。

三、解答题(本大题1小题，10分)

14.设函数f(%)在开区间(α,b)内连续，ɑVXlVX2<b,试证：在开区间(a,b)

y

内至少存在一点c,使得t/G⅛)+t2f(x2)=(tɪ+t2)f(c),(t1>0,t2>0)o

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.数学里有很多的思想方法，它们是数学的真谛，是人类思想的结晶.以

“求函数的最值''教学为例，说明在数学教学中如何渗透数形结合的数学思想.

五、案例分析题（本大题1小题，20分）

16.下面是《勾股定理》一课的教学片段：

【新课引入】听故事，想问题：相传2500多年前，古希腊著名数学家毕达

哥拉斯去朋友家做客。宴席上，其他宾客在尽情欢乐，毕达哥拉斯却盯着朋友家

的地面破发呆。原来，地砖由许多个直角三角形组成的图案铺成，黑白相间，非

常美观。主人正纳闷时，毕达哥拉斯突然恍然大悟，原来，他发现了图案中三个

正方形的面积存在某种数量关系，从而通过此关系还发现了直角三角形三边的某

种数量关系。同学们,地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢,让我们一起探索吧。

【后续教学环节】接下来，在教师的引导下，在小组合作中，同学们发现了

以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的大正方

形的面积，及直角三角形三边之间有特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方

和。再接下来，在网格中探索，得到其他的直角三角形也有上述性质，由此猜想

出勾股定理。

根据以上材料，请你回答下列问题：

（1）以上教学过程中体现了哪些教学优点？

（2）以上教学过程中还有什么需要改进？说明改进方法。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.“多边形内角和”作为初中数学图形与几何中的基础知识，是我们一定需

要理解并掌握的，针对本节课：

（1）给出“多边形内角和”的教学目标

（2）给出“多边形内角和”的重点、难点；

（3）设计“多边形内角和”的教学过程。

2022年下半年中小学国家教师资格考试（初级中学）模拟卷2

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

L已知Iim立丝坦=3,则（)o

X→2X-2

A.a=1,b=2

B.α=-1,b=2

C.a=1,b=—2

D.α=-1,b=-2

2,设f(%)=(x-l)(x-2)∙∙∙(x-100),则((2)=()o

A.97!

B.98!

C.99!

D.100!

3.已知曲线/"（%）=则曲线的渐近线有（)o

A.x—0,y=0

B.x=0,y=1

C,x=1,y=0

D.x=1,y=1

10

123

4.已知4=(,B=\2—1|>贝IjAB=()o

210

02

5

A.f-ɪ)

B.r5

<47)

5

C

一4B

D.(一5

I4B

5.点(2,LO)到平面3%+4y+5z=0距离为(）。

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.级数＞0°更察的收敛域为()。

^n=ln-3n

A.(-5,l)

B.[-5,l)

C.(-5,l]

D.[-5,l]

7.以下著作中，()中第一次用小数表示无理根的近似值。

A.《九章算术注》

B.《数书九章》

C.《恒河沙数》

D.《流数简论》

8.建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是()和进行数学思考的重

要形式。

A.数学运算B.数学推理C.数学表达D.数学抽象

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)

9.求曲线tan(%+y+：)="在点(0,0)处的切线方程.

10.由曲线/=4y与直线y=1及y轴所围成的平面图形分别绕X轴、y轴旋转

一周所生成的旋转体的体积。

以为:M且与直线，上=平平行，求

11.设平面兀过直线2=W

平面兀的方程。

12.举例说明数学抽象的含义，内容以及具体表现。

13.试结合实际教学说说在数学教学中如何激发学习兴趣，引起学习动机?

三、解答题(本大题1小题，10分)

14.设奇函数f(x)在上具有二阶导数,且f(l)=1,证明:

(1)存在f∈(0,i),使得尸(D=1；

(2)存在〃∈(-1,1),使得f'(在+f'0?)=I-

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.解释解析几何的含义，并说明解析几何的意义。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）

16.阅读《反比例函数的图象与性质》的教学片段，然后回答问题。

教师：请同学画一次函数y=2%-3的图象。

学生1（走上黑板）：取两点（|,0）,然后画出一条直线。

教师（接着要求）：画反比例函数y=：的图象。

学生2（自信地走到黑板前）：类似取两点（1,2）,（2,1）,也画出来了一条直

线。

注：此时教室里出现了学生们的窃窃私语，有学生认为画得对，也有学生认

为画得不对，有一部分学生傻傻地盯着老师看，想从他这里得到答案。

学生3（大胆地站起来对学生2说）：从解析式上看y不能等于0,即与支轴不

会有交点，你怎么有交点了？我想你可能错了。

教师（及时肯定学生3）：能用函数解析式来分析问题，不简单啊！

学生4：若x>0,从解析式上看，无论χ取多大，函数值y均是一个正数，

而从画出的图象看，此时有些函数值是负数，这不可能啊！

教师：有的同学不光会看解析式，并且还会看图象了，有进步。

教师：函数y=2%-3为什么只要找到两点就可以画出图象？

学生5：因为以前画一次函数的图象前，找到好多点画在坐标系中，发现这

些点都在一条线上，所以得出一次函数的图象是一条直线，而两点可以确定一条

直线。

教师：好!讲得好!同学们应该知道下面怎么办了吧。

问题：

（1）分析上述教学片段，教学过程中师生的哪些教学行为值得肯定？

（2）分析上述教学过程中存在的问题，并进行改进。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.“列表法求概率”是初中统计与概率中常见的求概率的方法，以下为“列表

法求概率”部分教材截图。在此基础上完成下列问题：

例2同时掷两枚质地均匀的骰子.计算下列事件的概率：

（1）两枚俄子的点数相同：

（2）两枚骰子点数的和是9,

（3）至少有一枚骰子的点数为2.

分析：当一次试验是掷两枚骰子时.为不重不漏地列出所有可能的结果•

通常采用列表法.

解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚•可以用表25-2列举出所有可能

出现的结果.

表252

7N枚

23456

第2晓、.ɪ

](1.1)(2,1)⑶1)(4∙1)(5,1)¢6.1)结合共25-2.体

会列表法对■列举所有可

2(1.2)(2.2)(3・2)(4.2)⑸2)(6.2)

能的站果的作用.

3(1.3)(2,3)(3«3)⑷3)(5,3)(6,3)

4；!.：I(2.4)⑶4)(4∙-I)(5,4)(6.4)

5(1.5)(2.5)(3∙5)T，(5.5)(6,5)

6(1・6)(2・6)⑶6)(4.6)⑸6)6》

由表25-2可以看出,同时掷两枚骰子,可能出现的结果有36种,并旦它

们出现的可能性相等.

（1）写出本节内容的教学目标；

（2）写出本节内容的教学重难点;

（3）设计本节内容的教学过程。

2022年下半年中小学国家教师资格考试(初级中学)模拟卷1

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.【答案】A

【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限

【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题，当％-O时，/为无穷小,

3专为有界函数，因此由“无穷小与有界函数的乘积”得该极限仍为无穷小。

故正确答案为Ao

2.【答案】C

【考点】高等数学——极限与连续——函数间断点及分类

3

【解析】本题主要考查函数间断点的相关知识。由于f(χ)=S⅛则当“取

任何整数时，s勿m=0,此时f(x)无意义，因此/(无)有无穷多个间断点，但是

可去间断点为极限存在的点，因此该点为X—∕=0的解，解得X=O或±1。

.X-X3】.1-3X21

I1im-——=Iim-------=-；

x→0sιnπxχ→oτtcosπxπ

.X-X3.1-3X22

1Iim-----=Ii1m--------=-

x→-lsιnπxχ→-iπcosπxπ

.x-x3.1-3X22

1Iim-----=I1im--------=-；

x→1sιnπxχ→ιπcosπxπ

故正确答案为Co

3.【答案】B

【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念

,

【解析】本题主要考查导数的相关知识。由题∕(x0)=/，则

Iimfg+2-fg-")=4因此Iimfg+①-fgv)=2Iim-°+")Vaelf)=24

∕l->02九八TohIlTO2∕l

故正确答案为B0

4.【答案】C

【考点】线性代数——行列式——行列式的性质

aIla12a13

【解析】本题主要考查行列式的相关知识。由题。21a22a23=Q,因此

a31a32a33

2%1aaa

2的22。13Il1213

aa

~a21一。22一023二2^21~22一r23

aaQll+a31a13+a33

QIl+。3112+32a13+。33。12+%2

QIla12a13alla12a13

a21a22a23—2a21a22a23——2CLo

all+a31a12+a32a13÷a33a31a32a33

故正确答案为c。

5.【答案】D

【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线

【解析】本题主要考查直线方程的相关知识。由题，令直线T=U=辞

的方向向量为弓，则厘=(1,2,3),并且直线经过点M(L2,3)。设平面兀的法向量

__,___,__,ιjk

为元，则诂_L^,n±MQ,MQ=(1,1,1,),因此元=TXMQ=123=一1+

Ill

2;-k=(-1,2,-1),设、为一=空=3的方向向量,则另=(L一L一1),令

Ijk

所求直线的方向向量为6,则Sj_元，s±¾,因此$=元x57=-12-1=

1-1-1

-3ι-2∕-k=(-3,-2,-l)o又直线经过点(3,4,5),则所求直线方程为、=

y-4_z-5

-2--10

故正确答案为Do

6.【答案】B

【考点】高等数学——级数——基级数

【解析】本题主要考查级数的相关知识。令Un=共方，"n+l=焉行，

则R=Iimlɪl=Iim互率L=Iim|迎身|=2,因此收敛半径为2。

n→∞∣un+ι∣n→∞I(n+3),2n+in-8I∏+2I

当X=-2时，级数为>8EV=>8寸=，由莱布尼兹判别法可知

n

-ZI=I(∏+2)∙2Z-in=ι2(n+2)

0o

级数收敛；当X=2时，级数为>°r4总=S8-⅛-=∣y°ɪ-由P

乙n=l(n+2>2"21ιn=12(n+2)2乙n=ι∏+2

级数的性质可知级数发散；因此收敛域为［-2,2)。

故正确答案为Bo

7.【答案】D

【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念

【解析】本题考查的是教学知识的相关知识。学生评价不是为了满足家长需

求为目的的。

故正确答案为Do

8.【答案】C

【考点】教材教法——数学课程标准——课标内容与理念

【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。《义务教育数学课程标准(2011

年版)》指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以

把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。

故正确答案为Co

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)

9.【参考答案】

【考点】高等数学——导数与微分——导数的概念

∣∣(X)sin(x+h.')-sinx

/'(%)=m=Iim

h→0hh→0h寸端2os(x+T)s吗=

Iimcosf%+∙=Cosx。

h→Q\2J-

10.【参考答案】

【考点】高等数学——积分——定积分

设则f(%)=x+2/,等式两边同时积分得/：(%+2A)d%=

∕07(t)dt。又∕j(%+2A)d%=@/+24%］：=j+24⅛∣+2½=A,解得A=

—；，所以f(x)=x-1。

IL【参考答案】

【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理

由题可知分段点为4=1,因为Ji,W~=l,=1,/(1)=1,所以

IimfQ)=f(l)=1,因此函数在%=1处连续。函数在［0,2］的非分段点处均为

X→l

初等函数，因此函数/(%)在区间［0,2］上连续。又二(I)=J粤隼警=

3—%2ɪ

ɪim^-ɪ^=Iim=-1>/⑴=Ii9，『⑴=Ii珞»==-1,所以

式(1)=#(1),函数f(%)在％=1处可导,则函数八久)在区间［0,2］上可导。

综上，函数f(x)在区间［0,2］上满足拉格朗日定理条件。

12.【参考答案】

新课程改革是近几年来教育改革不断深入的一个重要方面，而改革后的新课

程应具有时代性，生长性和创新性等。因此，课堂教学方法也要相应紧紧跟随新

课程地实施进行不断创新发展。就数学教学方法的创新而言，应该注意以下几点：

第一、时时注意教学活动要与实际问题情境相结合，积极营造良好的教学氛

围。学生乐于学习是确保教学有效性的重要因素,也是教学是否成功的一个标志。

例如学习锐角三角函数时，可以通过呈现测量山高的生活情境，提出问题，引发

学生思考。

第二、数学教学方法要在“生活问题数学化”中创新，这样数学教学才能更形

象有味。例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一

些生活中常见的实例，提出问题，学生列出关系式，引出课题。

第三、要注意积极引导学生主动投入学习进行研究性活动。这样，学生在情

境的激励下和问题的互动中才能真正的理解老师所教授的知识。例如在学习一次

函数时，教师通过几何画板展示不同函数图象，引导学生小组讨论图象的性质。

第四、更重视现代化教学技术在课堂教学中的应用，使数学教学通过现代化

手段，变静态为动态，变抽象为直观，变复杂为简单。

13.【参考答案】

【考点】教学技能——教学原则——巩固与发展

（1）遵循记忆的规律，巩固所学知识。

①通过加深理解，增强识记和保持。

②通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。

（2）掌握遗忘的规律，复习所学知识。

（3）巩固知识要着眼于发展能力。

①基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练。

②综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。

三、解答题（本大题1小题，10分）

14.【参考答案】

【考点】高等数学——极限与连续——函数的连续

证明：因为函数f（x）在开区间（a,b）内连续，α<%ι<X2<b,所以/（%）在

[%1,%2]上连续，由闭区间上连续函数的性质可得，f(%)在上存在最大值M

与最小值tn,即在[x1,x2]上，m≤/(ɪ)≤M,所以(tι+t2)m<t1f(x1)+

t∕(x)≤(tι+t)M-又因为S+t2>0,所以小≤过依取'>≤M,由连续

222tl+t2

函数的介值定理可得，存在C∈[X1,%2],使得地乎普义=f(c),BPt1Z(X1)+

tl+t2

t2f(Λ2)=Ql+±2)/(C)，(^1>0,t2>0)0

得证。

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.【参考答案】

所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关

系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽

象问题具体化.解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行

代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法或几何

问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合.

求函数最值问题是一个代数问题，如果能画出函数图象便可以将抽象的代数

问题转化成直观的几何问题.例如二次函数求值域，需要先引导学生画出二次函

数的图象，然后引导学生找到要求最值的区间，将区间与函数图象对应起来，如

果正函数自变量取值范围之内函数是单调函数，那么便可以看出来在区间端点处

取得最值，如果二次函数的对称轴在自变量区间之内，那么要看函数的开口方向，

开口向上，则对称轴处取得最小值，反之对称轴处取得最大值.在解决问题之后

要引导学生总结数形结合思想方法的便利之处，并找到数形结合思想方法的限

制.最后多利用练习题巩固数形结合的思想方法.

五、案例分析题(本大题1小题，20分)

16.【参考答案】

【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价

(1)教学优点：①新课程标准指出数学教学活动应激发学生的兴趣，调动

学生积极性，引发学生思考，以上材料中采用了讲故事的方法引入新课，该教学

方法适应学生的认知发展水平和已有的经验，能较好地激发学生学习兴趣。②丰

富的教学方法和与实际结合的内容选取，较好地落实了本节课的教学目标，尤其

对于在探究活动中，培养合作交流意识和探索精神这一情感目标的达成特别到位。

（2）需改进的方面：新课标要求教师不仅要教会学生知识，还要教会学生

学习方法，所以在教学过程中要注意使用启发式的教学方法，能更大程度上地拓

宽学生的思考范围，增强学生各方面能力的提升。

改进方法：为了达到启发学生的目的，在学生进行探究性活动的时候可以设

置一些问题串来引导学生，让所有的学生都能达到较好的学习效果。

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17.【参考答案】

【考点】教学技能——教学设计——教学设计工作

（1）教学目标

知识与技能目标：掌握多边形内角和公式，并能运用公式解决简单问题。

过程与方法目标：通过探究多边形内角和公式，体会化归思想以及从具体到

抽象的研究问题的方法。

情感态度与价值观目标：通过公式的猜想、归纳、推断一系列过程，体验数

学活动

充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。

（2）教学重难点

教学重点：多边形内角和公式的探究过程。

教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三

角形的个数。

（3）教学过程

一、导入新课

教师活动：通过复习导入的方式，复习三角形内角和与矩形内角和，提问：

任意四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？

学生活动：就教师的提问展开独立思考或进行讨论。

教师活动：教师顺势引出课题——多边形的内角和。

二、探索新知

L任意四边形内角和

教师活动：请学生在纸上画长方形和任意四边形，并提问：长方形和正方形

的内角和都是360°,那么是否任意四边形的内角和都等于360°?能否证明？组

织学生同桌之间交流，教师进行巡视指导，找学生回答讨论结果并进行适当的评

价。

学生活动：预设学生回答：只需连接一条对角线，将一个四边形分割为两个

三角形，即可求出四边形的内角和。

教师活动：给出证明过程，并板书，注意强调两个三角形的内角全部加起来

刚好是四边形的内角和。

2.探究多边形内角和

教师活动：教师提问：类似地，你能知道五边形、六边形的内角和是多少度

吗？并将得到的结果记录在表格中。组织学生以四人为一小组进行讨论，讨论结

束之后请小组代表分享成果，教师给予积极的评价。

学生活动：预设学生利用分割四边形的方法,探究五边形、六边形的内角和。

前后四人为一组，合作完成表格的前两行。

3.总结归纳，得出结论

教师活动：继续提问：如果是九边形，内角和又是多少呢？怎么利用分割法

求九边形的内角和？引导学生观察四边形、五边形、六边形对应的数据，进行归

纳猜想。

学生活动：预设学生根据四边形、五边形、六边形的内角和得出规律：九边

形从一顶点出发的对角线条数为（九-3）条、分割成的三角形个数为S-2）个，

内角和为180°×（n-2）,完成表格。

从一顶点出发的对角线

多边形边数分割成的三角形个数内角和

条数

523540°

634720°

nw-3w-2180oX(w-2)

三、巩固提高

教师活动：教师通过多媒体出示相关题目，引导学生在练习本上进行练习或

找学生代表到黑板进行板演，针对结果进行相应评价。

1.八边形的内角和是多少度？

2.已知一个多边形的内角和是1980°,则这个多边形是几边形？

学生活动：学生进行相关练习，展示结果。

四、课堂小结

教师活动：教师利用课件展示以下几个问题：

(1)本节课学习了哪些主要内容？

(2)我们是怎样得到多边形内角和公式的？

(3)在探究多边形内角和公式的过程中，连接对角线起到什么作用？

学生活动：学生畅谈本节课收获。

五、布置作业

你能否想到其他分割方法推导出多边形的内角和公式？

2022年下半年中小学国家教师资格考试(初级中学)模拟卷2

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.【答案】D

【考点】高等数学——极限与连续——函数的极限

【解析】本题主要考查极限的相关知识。由题可得Iim立宇=3,又因为

χ→2X-2

Iim(x-2)=0,因此Iim(X2+ax+b)=O9令/+αχ+b=(%—2)(%+m),

χ→2x→2

则Iim(%+m)=3,因此Tn=1,x2+ax+b=(^x-2)(%+1)=%2—x—2,所

x→2

以Q=—1,b=-2o

故正确答案为Do

2.【答案】B

【考点】高等数学——导数与微分——导数的运算

【解析】本题主要考查导数的相关知识。由题，((2)=Iimfa)-，⑵=

χ→2X-2

Iim(XT)(X-2)…(X-IOO)=1.—D.(_2)…(-98)=98!。

χ→2X-2

故正确答案为Bo

3.【答案】C

【考点】高等数学——极限与连续——渐近线

【解析】本题主要考查渐近线的相关知识。由题，因为Iim卢为=0,所以

χ→∞(x-I)”

y=0是其水平渐近线；又因为Iim产⅛=8,所以％=1是其垂直渐近线。

XTl(XT)2

故正确答案为Co

4.【答案】A

【考点】线性代数——矩阵——矩阵的运算

【解析】本题主要考查矩阵的相关知识。由题A=GɪM=G3)

则AB=(54

4—1

故正确答案为A。

5.【答案】B

【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线

【解析】本题主要考查点到平面距离公式的相关知识。由题，利用点到平面

的距离公式可得

d=-!I===√2o

^v9÷lo÷Z5

故正确答案为B。

6.【答案】B

【考点】高等数学——级数——幕级数

【解析】本题主要考查级数的相关知识。令“n=焉，"n+l=Q⅛π,则

R=Iim誓I=3,因此收敛半径为3,所以

un+ι

∣x+2|<3,-5<%<Io

数收敛；当X=I时，级数为58ɪɪv001,由P级数的性质可知级数发

^n=ln-3n乙n=lτt

散；因此收敛域为

故正确答案为Bo

7.【答案】B

【考点】课程知识——数学史——中国古代数学

【解析】本题主要考查数学史的相关知识。《数书九章》论述了自然数、分

数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根的近似值。

故正确答案为B0

8.【答案】C

【考点】教材教法一一数学课程标准一一课标内容与理念

【解析】本题主要考查课程标准的相关知识。《义务教育数学课程标准(2011

年版)》指出：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变

化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号

意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。故正确

答案为C。

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)

9.【参考答案】

【考点】高等数学一导数与微分——导数的意义与应用

左右同时对为求导得7―~~-ʒ,(1+y')=ey∙y',当％=o,y=。时,y⅛∙

Wk+y+9](f)

[1+/(0)]=/(0),2[l+y,(0)]=/(0),解得V(O)=—2。

故切线方程为y-0=-2(x-0),即y=-2久。

10.【参考答案】

【考点】高等数学——积分——积分的应用

由题意作出平面图形，绕%轴旋转一周所生成的旋转体的体积，则匕=匕-

彩=兀X出X2—ʃ。件)dx=x4dx=2π-ɪ×γ∣θ=y；绕y轴

2

旋转一周所生成的旋转体的体积，则为=/；ττ(λ∕4y)dy=4πʃθydy=

4兀X二I；=2πθ

2Io

IL【参考答案】

【考点】空间与图形——解析几何——空间平面与直线

对于直线21，令z=0,则解得二:，因此点(2,LO)在直线4

上，也在平面兀上。

→→

令直线。的方向向量为£,则弓=123=8ι+5；-6k=(8,5,-6)O

2-21

又令直线，2的方向向量为£，则t=(2,L-1),设平面兀的法向量为元，则元

ιjk_

-

£,nɪsɪ.因此有=KX石=35-6=I4;—2/c=(1,—4,—2)o

21-1

故平面兀的方程为(K-2)-4(y-1)-2(z-0)=0,即X-4y-2z+2=0。

12.【参考答案】

【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程概述

数学抽象是指通过数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。

主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系抽象出数学概念及概念之间

的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

数学抽象表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方

法与思想，认识数学结构与体系。

通过高中数学课程的学习，学生能够在情境中抽象出数学概念、命题、方法

和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和事件中一般性思考问

题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问

题。

举例：函数单调性概念的教学中，结合实例，经历从具体的直观描述到形式

的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号表达数学定

义的必要性。

13.【参考答案】

【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程实施

兴趣是一个人积极探究某种事物或进行活动的意识倾向。学习兴趣是学生对

学习活动或学习对象的一种力求认识或趋近的意识倾向。兴趣是入门的向导，是

感情的体现，能促使动机的产生。学习兴趣是一种学习动机，是学习积极性中很

现实、很活跃的心理成分。总是积极主动，心情愉快的进行学习，不会产生负担。

例如：在学习一元二次方程时，教师应精心设计教学学习情境，通过一些生

活中常见的实例，提出问题，将学生置于该情境之中，激发学习兴趣，千方百计

的诱发学生的求知欲，使学生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真

理的欲望，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情。

三、解答题(本大题1小题，10分)

14.【参考答案】

【考点】高等数学——导数与微分——微分学基本定理

证明：(1)由于在［—1,1］上是奇函数，则/"(_%)=—/•(%),且f(0)=00

令F(X)=/(x)-X,则尸(X)在［0,1］上连续,在(0,1)上可导，且F(O)=/(0)-0=

0,F(I)=/(1)-1=0,满足罗尔定理，因此存在f∈(0,1),使得■6)=0,

即广延)一ι=0,Γ(0=io

得证。

(2)由于f(x)在上是奇函数，贝Ur(X)在［-Ll］上是偶函数，因此由

(I)可得，存在f∈(0,i),∕,(-0=∕,(O=Io

令G(X)=ex［f'(χ-)-1］,则Ga)在上连续,在(一1,1)上可导,且G(f)=

G(-f)=0,由罗尔定理可得，存在T7∈(-f,f),即存在4∈(一1,1),使得。⑺=0,

即/S)+/'S)=1。

得证。

四、论述题(本大题1小题，15分)

15.【参考答案】

【考点】课程知识——高中数学课程知识——课程内容

解析几何是这样一个数学学科，在采用坐标法的同时，运用代数方法来研究

几何对象。

(1)解析几何使得数学的研究方向发生了一次重大的转折：以几何为主导

的数学转变为以代数和分析为主导的数学；

(2)解析几何使得以常量为主的数学转变为以变量为主的数学为微积分到

的诞生奠定了基础；

(3)解析几何使代数与几何融为一体，实现了几何图形的数字化，是数学

化时代的先声；

(4)代数的几何化和几何的代数化，使得人们摆脱了现实的束缚，它带来

了认识新空间的需要，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高

维的空间。

五、案例分析题(本大题1小题，20分)

16.【参考答案】

【考点】教学技能——教学评价——课堂教学评价

（1）上述教学片段中，教师的教学行为值得肯定之处有：①教师先让学生

画出一次函数y=2%-3的图象，既复习了旧知，又为反比例函数图象的画法打

下了基础，符合《义务教育数学课程标准》中提到的数学教学活动必须建立在学

生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；②当学生3和学生4回答出问题

后，教师及时给予肯定，并鼓励学生，激发了学生的学习兴趣，符合《义务教育

数学课程标准》中提到的全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感

态度等方面的表现；③在教学过程中，教师一直充当着组织者、引导者与合作者

的角色，充分体现了学生是学习的主体。

学生的学习行为值得肯定之处有：①学生对旧知的掌握非常扎实；②在课堂

上，学生积极踊跃进行思考，并回答教师的问题，答案多样化。

（2）存在的问题：①在整个教学过程中，在提问回答的交流中，针对学生

出现的错误答案教师没有及时引导，只对回答正确的同学进行了关注，违背了《义