抽象函数常见模型习题归纳

抽象函数常见模型归纳汇编1、正比例函数型正比例函数型函数特征式为：例1、是定义在R上的函数，对任意的、都有，且当>0时，＜0，EQ。问当时，函数是否存在最大值？假设存在，请求出最大值；假设不存在，请说明理由。分析：我们知道，正比例函满足。根据题设，我们可推知此题是以正比例函数，于是，用赋值法令x=y=0再从的奇偶性、单调性入手解。解：令那么，解得又因为，所以，即函数为奇函数。设、<,那么EQ>0，依题意,有<0EQ，所以,EQ即函数在R上是减函数。因此，函数当时有最大值，且例2、函数f〔x〕对任意实数x，y，均有f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕，且当x＞0时，f〔x〕＞0，f〔－1〕＝－2，求f〔x〕在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数f〔x〕是的抽象函数，因此求函数f〔x〕的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f〔x〕为增函数。在条件中，令y＝－x，那么，再令x＝y＝0，那么f〔0〕＝2f〔0〕，∴f〔0〕＝0，故f〔－x〕＝f〔x〕，f〔x〕为奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝2，又f〔－2〕＝2f〔－1〕＝－4，∴f〔x2、一次函数型例1、函数满足:对任意的，都有，并且当时,，如,解不等式,。分析:猜测的背景函数是一次函数,又由于时,，那么为增函数,那么求不等式的解就转化成证明为增函数。解:令,有,由=,那么为增函数；因为，由,所以,又因为，那么，所以,那么。点评：将数值化成函数值，将一般不等式转化成增函数的不等式是此题化归的关键。例2、函数f〔x〕对任意，满足条件f〔x〕＋f〔y〕＝2+f〔x＋y〕，且当x＞0时，f〔x〕＞2，f〔3〕＝5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f〔x〕是y＝x＋2的抽象函数，且f〔x〕为单调增函数，如果这一猜测正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，∵当，∴，那么，

即，∴f〔x〕为单调增函数。∵，又∵f〔3〕＝5，∴f〔1〕＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1<a<3。3、指数函数型指数函数型函数特征式为：例1、定义在R上的函数，当时，且对任意都有〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕判定函数值的正负；〔Ⅲ〕判断在R上的单调性；〔Ⅳ〕假设，求的取值范围。分析：由可知此函数是由指数函数抽象而来的，再由条件“当时，”可知此函数是单调递增函数。由此可知在R上单调递增函数。由背景函数引导得到问题的结论，然后用赋值等方法得以证明。解：〔Ⅰ〕令那么，因为，所以〔Ⅱ〕当时，，所以，即又当时，所以时，恒有〔Ⅲ〕设那么，所以×因为且，所以。从而即是R上的增函数。〔Ⅳ〕由>1,得>又是R上的增函数，所以>0，解得0<x<3.4、对数函数型对数函数型函数特征式为：例1、函数的定义域是〔0，+〕，当时，且。〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕判在定义域上的单调性；〔Ⅲ〕如果求满足不等式的的范围。分析：由可知此函数的背景函数为对数函数，又由条件当时，，可知此函数是单调递增函数且=0，可用函数的单调性解不等式。解：〔Ⅰ〕令，得，所以。(Ⅱ)令得，所以.任取,且那么,由于,所以,从而.所以在定义域上单调递增.〔Ⅲ〕由于,而,所以.在中,令,得.又,所以所给不等式可化为,即,所以有解得.所以的取值范围是.例2、函数是定义在〔0，+〕上的增函数，且满足:对任意的，都有，如,解不等式.分析:猜测的背景函数是对数函数,且经过特殊点(1,0),由于是增函数,就有,那么题设不等式的解就应浓缩转化成增函数的不等式解。解:因为,所以,又因为,所以,即,有,由于在定义域〔0，+〕上是增函数,那么由,,联立求得解集为:。点评：此题由于是增函数，所以对抽象函数的增减性不要再作证明，关键是充分应用表达式，经过屡次配凑、转化，架设解决问题的桥梁。5、幂函数型幂函数型函数特征式为：例1、函数的定义域为R，都有且，，当时，。〔1〕判断的奇偶性；〔2〕判断并证明在[0，+〕上的单调性；〔3〕如且，求的取值范围。分析:由题设条件的特殊性，可联想是的抽象函数,且经过特殊点(1,0),是偶函数,在[0，+)上是增函数。解:(1)令，那么，故为偶函数；〔2〕设，那么，又，得，即在[0，+]上为增函数；〔3〕因为,所以,又因为,所以,那么有,即.1.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,那么f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,2.f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.假设g(x)=f(x)+1-x,那么g(2002)=___1___.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.3.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，那么〔4、对任意整数函数满足：，假设，那么CA.-1B.1C.19D.435、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，假设，那么=〔〕〔B〕A.2005B.2C.1D.06，是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，那么当时，函数的解析式为〔D〕A．B．C．D．解：易知T=2，当时,,∴;当时,∴.应选D7，y=f(2x+1)是偶函数，那么函数y=f(2x)的图象的对称轴是〔D〕A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,那么f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.8，①定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=–f(x)，那么f(6)的值为〔B〕A.–1B.0C.1D.2周期性的性质〔1〕假设图像有两条对称轴，那么必是周期函数，且一周期为；〔2〕假设图像有两个对称中心，那么是周期函数，且一周期为；〔3〕如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，那么函数必是周期函数，且一周期为；〔4〕①假设f(x+a)=f(x+b)那么T=|b-a|；②函数满足，那么是周期为2的周期函数；③假设恒成立，那么；④假设恒成立，那么.解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又T=4，所以f(6)=f(2)=–f(0)=0。②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，那么f(2x)的图像关于对称。〔x=1/2〕9，函数满足：，，那么=_____________.解析：取x=1y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=ny=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)联立得f(n+2)=—f(n-1)所以T=6故=f(0)=10，奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x)，那么在区间［0，2T］上，方程f(x)=0根的个数最小值为〔〕CA.3个B.4个C.5个D.6个解：∵f(0)=0→x1=0，又f(2T)=f(T)