河北省涞水波峰中学2022-2023学年数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

11O

1.设M,N为两个随机事件,给出以下命题：(1)若N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=W,则P(忆N)=力；

⑵若P(M)=LP(N)=LP(MN)=L则”,N为相互独立事件；⑶若=P(N)=L

23623

P(MN)=',则M,N为相互独立事件；(4)若P(M)=；,P⑻=；,P(MN)=*,则",N为相互独立事件;

(5)若P(M)=；,PM)=；,P(丽)=|,则KN为相互独立事件；其中正确命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知函数/(χ)=Mχ-lnχ)-C,若/(x)只有一个极值点，则实数攵的取值范围是

X

A.(-e,+∞)B.(-∞,e)C.(-∞,e]D.(-∞,-]

e

2'皿，则/(2)=()

3.已知函数/(X)=，

J(X-3),x>0

11

A.32B.-C.16D.

232

4.已知直线分+y-l=。是圆£一］2工一14,+60=0的对称轴,则实数α=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.某校开设10门课程供学生选修，其中A、5、。三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三

门，则每位学生不同的选修方案种数是()

A.70B.98C.108D.120

6.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。

小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()

1133

A.-B.-C.-D.—

73710

7.已知/(X)是定义域为(-∞,+8)的奇函数,满足/(l-ɪ)=/(1+X).若/(1)=2,则

/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=()

A.—50B.0C.2D.50

8.定义在R上的函数/(x)=(g)i∣-1为偶函数，记α=∕(logo52),b=∕(bg21.5),c=f"ι),则()

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<h<cD.c<h<a

9.抛物线V=4x的焦点为尸，点A(5,3),尸为抛物线上一点，且P不在直线AE上，则ΔE4F周长的最小值为

A.6B.8C.11D.13

Iog1Λ,0<X≤1

10.若函数/(无)=5,函数g(x)=/(X)一乙有3个零点，则#的取值范围是()

—ɪ(ɪ-I)(X-3),x>l

A.(0,1)B.(θ,6-2√3)C.(θ,6+2√3)D.(6-2√3,6+2√3)

2

11.如果——=1+加(〃7∈∕?,i表示虚数单位)，那么加=()

1+z

A.1B.-1C.2D.0

12.世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确

定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为()

A.64B.72C.60D.56

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4,则该圆柱的体积为

14.若圆柱的轴截面面积为2,则其侧面积为一；

/ɪʌ

15.已知函数/(光)=02，,则/匕卜

log—%,%>0

I2

16.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科，3

门文科)中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李

同学的选科方案有种.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：

网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜

题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取

了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：

一周时间内进行网络搜题的频数区间男生频数-女生频数

[0,10]184

(10,20]108

(20,30]1213

(30,40]615

(40,50]410

将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网

络搜题”.

(1)根据已有数据，完成下列2x2列联表(单位：人)中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提

下有把握认为使用网络搜题与性别有关？

经常使用网络两~偶尔或不用网络搜题合计

女生

言计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取

4人，记经常使用网络搜题的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

参考公式:其中n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+C)S+d)

参考数据:

P(z2>m)0.0500.0100.001

m3.8416.63510.828

18.(12分)如图，矩形ABCr)所在的平面与直角梯形COEF所在的平面成60的二面角，DEHCF,CDlDE,

AD=2,EF=36，CF=6,NCFE=45。.

(1)求证：BF//面ADE;

(2)在线段CF上求一点G,使锐二面角B—EG—。的余弦值为空.

19.(12分)已知函数/(x)=]/一α]riχ+l(αw/?).

(I)若函数/(x)在U,2]上是单调递增函数，求实数”的取值范围

(∏)若对任意不等式|/(王)一/(即归加恒成立，求实数〃，的取值范围.

-2≤α<0,与,Λ2∈[1,2],

Illl]

20∙⑴分)已知数列记审羔而…的前〃项和为S

n×(n+l)

(I)计算H，$2,S3,邑的值，根据计算结果，猜想S”的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的S“表达式.

21.(12分)如图，在四棱锥P—A8C。中，底面ABC。是矩形，PA，平面ABCO,B4=AT>=2AB=2,E是

PB的中点.

(1)求三棱锥P—ABC的体积；

(2)求异面直线EC和Az)所成的角(结果用反三角函数值表示)

22.(10分)[选修4-5：不等式选讲]

已知函数/(x)=∣x+4∣+∣x-2∣的最小值为〃.

(1)求〃的值；

(2)若不等式|x—α∣+∣x+4∣≥〃恒成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据互斥事件的加法公式，易判断(1)的正误；根据相互对立事件的概率和为1,结合相互独立事件N的概率满

定P(MN)=P(M)∙P(N),可判断(2)、(3)、(4)、(5)的正误.

【详解】

若MN为互斥事件，且P(V)=I,尸(N)=；,

119

则P(Ml7V)≈5+4=20'

故(1)正确；

若P(M)=!,P(N)="P(MN)=J

236

则由相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,

故(2)正确；

若尸W)=；,P(N)=g,P(Λ∕N)=∖,

则P(M)=I-PW)=g,P(MN)=P(M)-P(N)

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,

故(3)正确;

若P(M)=；,P(R)=；,P(MN)=g,

_1121

当M,N为相互独立事件时，P(N)=I-P(N)=-,P(MN)^-×~=-

故(4)错误；

若P(M)=P(N)=/回)=|

则P(MN)=P(Λ∕)∙P(N)=:,P(^)=JPWN)

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,

故(5)正确.

故选D.

【点睛】

本题考查互斥事件、对立事件和独立事件的概率，属于基础题.

2、C

【解析】

由/(χ)=(X-I)("二,,),X∈(0,+8),令/'(X)=O,解得X=I或々=C,令g(χ)=C,利用导数研究其单调性、

XXX

极值，得出结论.

【详解】

/，/、1/1ɪ∖e'(x-l)/(kx-ex)

f(X)=&(1—)-------2—二(X-11)-----2—,xw(0,+o0),

XXX

令/'(X)=O,解得X=I或左=4，

X

令g(x)=e,可得g，(X)=上口2，

XX

当X=I时，函数g(x)取得极小值，g(i)=e9

所以当Z<e时，令/'(X)=O,解得x=l,此时函数/(x)只有一个极值点，

当攵=e时，此时函数/(x)只有一个极值点1,满足题意，

当Z>e时不满足条件，舍去.

综上可得实数女的取值范围是(-8,e],故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.

3、B

【解析】

根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.

【详解】

/(2)=/(2-3)=/(-1)=2-1

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.

4、B

【解析】

由于直线是圆的对称轴，可知此直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程中可求出"的值

【详解】

解：圆r+j,^—12x—14y+60=0的圆心为(6,7),

因为直线以+丁-1=O是圆X2+V-12%一14丁+60=0的对称轴，

所以直线依+丁一1=0过圆心(6,7),

所以6。+7—1=0,解得。=—1,

故选：B

【点睛】

此题考查直线与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解，属于基础题

5、B

【解析】

根据题意，分2种情况讨论：

12

①、从A,B,C三门中选出1门,其余7门中选出2门,有C3C7=63种选法，

3

②、从除A,8,C三门之外的7门中选出3门,有C7=35种选法；

故不同的选法有63+35=98种；

故选：B.

点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具

体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分

均匀分组.注意各种分组类型中，不同分组方法的求解.

6、B

【解析】

设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，事件3为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P

(A×P(AB)的值,从而求得P(5∣A)的值.

【详解】

由题意，设事件A为“取出两个粽子为同一种馅”，

事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，

,、C；+C：3P(AB)=U

πzλ

贝”(A)=^-r-=~

P(AB)

P(BlA)=ɪ

P(A)3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

7、C

【解析】

分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为/(X)是定义域为(Y,+8)的奇函数，且/(1-x)=∕(l+x),

所以/(1+X)=-f(X-1).∙./(3+x)=-/(x+l)=∕(x-l).∙.Γ=4,

因此/(D+/(2)+/(3)++/(50)=12［∕(1)+/(2)+/(3)+/(4)］+/(1)+/(2),

因为/⑶=T⑴，f(4)=-f(2),所以〃l)+"2)+”3)+∕(4)=0,

fQ)=/(-2)=-/(2).∙.∕(2)=O,从而/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=/(1)=2,选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变

量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

8、C

【解析】

分析：根据f(X)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=ψjtl-l,这样便知道f(x)在［O,+oo)上单调递减，根据

f(X)为偶函数，便可将自变量的值变到区间［O,+∞)±：∏=∕(∣log052∣),⅛=/(Iog21.5),c=∕(0),然后再

比较自变量的值，根据f(X)在［0,+8)上的单调性即可比较出a,b,c的大小.

详解：(X)为偶函数，.∙.f(-x)=f(x).

-1=-1»ʌI-X-rn∣=∣x-m∣,

：・(-X-m)2=(x-m)2,

Λmx=0,Λm=0.

.∙.f(x)=(∣)w-l

ʌf(X)在［0，+8)上单调递减，并且α=/(Ilogoj2∣)=/(Iog22)=/(1),=/(log21.5),c=f(O),

.∙0<log21.5<l

.∙.α<∕7<c,故答案为C

点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和

分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出函数f(X)=φw-l的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时,

M=N是增函数，u=(g)"是减函数，，=吁1是增函数，所以函数/(为=(9凶—1是(0,m)上的减函数.

9、C

【解析】

求AMAF周长的最小值，即求IMAl+1MFl的最小值，设点M在准线上的射影为D,

根据抛物线的定义，可知IMFl=IMD

因此，IMAI+1MFl的最小值，即IMAI+1MDl的最小值.

根据平面几何知识，可得当D,M,A三点共线时IMAl+1MDl最小，

因此最小值为XA-(-1)=5+1=6,

22

VIAFI=λ∕(5-I)+(3-O)=5,

.•.△MAF周长的最小值为IL

故答案为：C.

10、A

【解析】

画出了(X)的图像，g(x)=/(X)-乙有3个零点等价于/(X)=a有3个交点。

【详解】

g(x)=/(X)-丘有3个零点等价于/(X)=近有3个交点

记Λ(x)=-x(x-l)(x-3)则过原点作A(X)的切线，g(x)=f(x)-质有3个零点等价于f(x)=丘有3个交点

记h(x)=-x(x-l)(x-3)则过原点作/?(%)的切线，设切点为(⅞,y0)

则切线方程为：y-h(x0)=h'(x0Xx-x0),又切线过原点，即∕7(x0)=∕z'(XO)X°,

,

将〃(Xo)=-Xo(XOT)(Xo-3),∕z(x0)=-3xθ+8x0-3,代入解得%=2,

所以切线斜率〃'(2)=-3片+8x0-3=l

所以0＜攵＜1

【点睛】

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。

11、B

【解析】

分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轨复数，化简为。+万(。，的形式，利用复数相等求出机即可

详解：3=1+加

1+i

2-2i-2+2mi

解得加=一1

故选3

点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相

等即可求出答案.

12、A

【解析】

分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.

详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为8C：=48

因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8+4+2+2=16

因此比赛进行的总场数为48+16=64,

选A.

点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2π

【解析】

根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可.

【详解】

解：：圆柱的轴截面是正方形，且面积为4,

.∙.圆柱的底面半径厂=1,高∕z=2,

二圆柱的体积V=πr2h=TtXFX2=2兀.

故答案为2".

【点睛】

本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题.

14、2π

【解析】

根据题意得圆柱的轴截面为底边为2小高为〃的矩形，根据几何性质即可求解。

【详解】

设圆柱的底面圆半径为乙高为〃，由题意知，圆柱的轴截面为底边为2r，高为〃的矩形，所以2rx〃=2,即/∙χ∕2=l.

所以侧面积S=2兀r∙h=2万.

【点睛】

本题考查圆柱的几何性质，表面积的求法，属基础题

15、8

【解析】

8

/(ɪ)ɪlog,ɪ=2,/(Iog2ɪ)=(ɪ)'ɔ^=6,所以2+6=8

点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未

知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函

数结合点处函数值.

16、19

【解析】

6门学科(3门理科，3门文科)中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理

科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量.

【详解】

根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，

有C：=2()种选取方法，

其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有C；=l种，

所以至少选择一门理科学科的选法有20—1=19种;

故答案为：19,

【点睛】

本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)列表见解析，在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；(2)分布列见解析,

E(XY

【解析】

(1)根据样本频数分布表的数据即可完成列联表，再利用列联表求出观测值，根据独立性检验的思想解求解.

(2)根据二项分布求出随机变量X的概率，列出分布列即可求解.

【详解】

(1)由题意得:

经常使用网络搜题偶尔或不用网络搜题合计

男生222850

女生381250

合计6040100

>・2100x(22xi2-38x28)^32%10667>6635

•X

60×40×50×503

.∙.在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.

(2)依题意，X2

\4

P(X=O)=C16

625

296

P(X=I)=C

57625

F)V(IJ目嚷

P(χ=3)VdIJ嚏

、481

P(X=4)=C展2丫

VJ75›625

X的分布列为:

X01234

169621621681

P

625625625625625

312

E(X)=4x-=y

【点睛】

本题考查了独立性检验的基本思想、二项分布以及数学期望，属于基础题.

18、(1)见解析；(2)G为线段的中点.

【解析】

(1)利用面面平行的判定定理证明出平面BC77/平面ADE,再利用平面与平面平行的性质得出〃平面ADE；

(2)由CDLAO,CDA.DE,由二面角的定义得出NAr)E=60，证明出平面CQEL平面ADE,过点A在平

面AZ)E内作Ao_LDE,可证明出A。_L平面COEE,以点。为坐标原点，OE、OA所在直线分别为V轴、Z轴

建立空间直角坐标系。-型，设点G的坐标为(3,r,0)(-l≤r≤5),利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为半

求出/的值，由此确定点G的位置.

【详解】

(D在矩形ABC。中，BCHAD,又QAOu平面ADE,BC(Z平面AOE,

.∙.BCH平面ADE＞同理可证CFH平面ADE,

QBCCCF=C,BC、CrU平面BCF平面BCfV/平面AZ)E,

MU平面BCF',.∙.B/7/平面ADE；

(2)在矩形ABCD中，CD±AD,又CDLDE,则矩形ABCD所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平

面角为NADE，即NAZ)E=60.

又QADCDE=D,∖CZ)A平面ADE,

作AO,OE于0,QAoU平面ADE,.∙.AOLCZ),

又CDDE=D,CD、DEU平面CDEF,..AO，平面CDEE.

作EHLCF于H,QEF=36，NECF=45。，：.CD=EH=HF=3,

QCF=6,:.CH=DE=3,OD=I,OE=2.

以。为原点，OE、所在直线分别为V轴、Z轴如图建立空间直角坐标系。一孙z,

Λ

则8(3,0,g)、E(0,2,0),设G(3∕O)(T<∕≤5).

则送=”,2,-G),BG=(0,Λ-√3),

r

,、BE-n,=O—3x+λy—ʌ/ɜz=Or-

设平面BEG的一个法向量为n1=(x,y,z),则｛DL1一八，即｛',取y=3,则z=√^,x=2τ,

则平面BEG的一个法向量为片=(2τ,3,∙).

uu/、∕iru∏∖√3rɔʌ/

.又平面OEG的一个法向量为nɔ=(0,0,1),.∙.CoSGi,2)=Jl=处

∖-/√4r2-4z+137

解得f=2或f=一,(舍去).

此时，券=1'G［3⅛1J即所求点G为线段C尸的中点•

2

【点睛】

本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一

般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

19、(I)a≤l;(II)m≥∖2.

【解析】

(I)将问题转化为了'(X)NO对Vxe［1,2］恒成立，然后利用参变量分离法得出α≤(f)“而，于是可得出实数。的取

值范围；

(II)由(I)知，函数y=∕(x)在［1,2］上是增函数，设lWx∣≤∕≤2,并设MX)=

/(%)+p得知y=%(x)在区间［1,2］上为减函数，转化为〃'(x)≤O在［1,2］上恒成立，利用参变量分离法得到

m≥^-ax,然后利用导数求出函数g(x)=X3-冰在［1,2］上的最大值可求出实数团的取值范围。

【详解】

(I)易知/(X)不是常值函数，∙.∙∕(X)=］χ2-ainx+l在［1,2］上是增函数,

.∙./'(X)=X-4≥0恒成立，所以α≤f,只需α≤(M)而”1；

X

(II)因为-2≤α<0,由(I)知，函数/O)在［1,2］上单调递增，

不妨设l≤x∣42,

贝!J∣∕(Xj-∙√(w)∣≤m'—-,可化为/(%2)+"^≤八%)+N

X］X?x2x}

设∕z(χ)=/(X)+'=LX2-αlnx+l+丝，则∕z(X］)≥〃(入2),

X2X

∩JTl

所以MX)为［1,2］上的减函数，即〃'(x)=X—F≤O在［1,2］上恒成立，

Xx^

等价于m≥V一以在［1,2］上恒成立，

设g(x)=χ3-or,所以加≥g(x)nm,

因—2≤α<0,所以g'(x)=3f-。>0,所以函数g(x)在［1,2］上是增函数，

所以g(x)milχ=g(2)=8-24<12(当且仅当α=-2时等号成立).

所以机≥12.即加的最小值为L

【点睛】

本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题,

应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。

1234n

20、(1)S=-,S=-,S=-,S=-,S,,=--(2)见解析

12233445n+ι

【解析】

分析：(1)计算可求得S∣,S2,S3,S4,由此猜想S”的表达式；

(2)利用数学归纳法，先证明当〃=1时，等式成立，再假设当〃=女伏∈N*)时，等式成立，即

Illl