2021新高考数学二轮复习学案板块1命题区间精讲精讲1集合常用逻辑用语

集合、常用逻辑用语命题点1集合解集合运算问题应注意的4点(1)注意元素构成：即看集合中元素是数还是有序数对；(2)注意限定条件：即集合中的元素有无特定范围，如集合中x∈N，x∈Z等；(3)应用数学思想：集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．尤其是借助数轴解决集合运算时，要注意端点值的取舍；(4)警惕空集失分：如若遇到A⊆B，A∩B＝A时，要考虑A为空集的可能．[高考题型全通关]1．(2020·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝()A．{－4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}D[由x2－3x－4<0，得－1<x<4，即集合A＝{x|－1<x<4}，又集合B＝{－4,1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}，故选D．]2．(2020·合肥调研)若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1＞0}，则A∩B＝()A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}C[法一：因为A＝{x|x(x－2)＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|x＞2}，故选C．法二：因为eq\f(3,2)A，所以eq\f(3,2)(A∩B)，故排除A，B，D，选C．]3．(2020·江西红色七校第一次联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝{x|y＝eq\r(x－1)}，则(∁RA)∪B＝()A．{x|－1≤x≤3} B．{x|x≥3}C．{x|x≤－1} D．{x|x≥－1}D[由题意知A＝{x|x＜－1或x＞3}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤3}，又B＝{x|x≥1}，所以(∁RA)∪B＝{x|x≥－1}．]4．[教材改编]已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)D[集合B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.故选D．]5．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义PQ＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合PQ的所有真子集的个数为()A．32B．31C．30D．以上都不对B[由所定义的运算可知PQ＝{1,2,3,4,5}，所以PQ的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B．]6．[多选][教材改编]已知集合A＝{x|lgx＞0}，B＝{x|x≤1}，则下列说法正确的是()A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆BAB[因为A＝{x|lgx＞0}＝(1，＋∞)，B＝{x|x≤1}，所以A∩B＝∅，A∪B＝R.故选AB．]7．[多选]已知集合A＝{x|eq\r(x＋1)＜2}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x∈R))))，则下列说法正确的是()A．A∩B＝(0,3)B．A∪B＝[－1，＋∞)C．(∁RA)∩B＝(3，＋∞)D．A∪(∁RB)＝(－∞，3)ABD[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋1＜4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＜3，))故A＝[－1,3)，B＝(0，＋∞)，故A∩B＝(0,3)，A∪B＝[－1，＋∞)，(∁RA)∩B＝[3，＋∞)，A∪(∁RB)＝(－∞，3)，故ABD正确．]8．[多选]已知集合M＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，若集合A＝{a1，a2}⊆M，且对任意的b∈M，存在λ，μ∈{－1,0,1}，使得b＝λai＋μaj，其中ai，aj∈A,1≤i≤j≤2，则称集合A为集合M的基底．下列集合中不能作为集合M＝{1,2,3,4,5,6}的基底的是()A．{1,5}B．{3,5}C．{2,3}D．{2,4}ABD[若以{1,5}为基底，设3＝λ×1＋μ×5，当λ＝－1时，μ＝eq\f(4,5)，不符合题意；当λ＝0时，μ＝eq\f(3,5)，不符合题意；当λ＝1时，μ＝eq\f(2,5)，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}，使得3＝λ×1＋μ×1或3＝λ×5＋μ×5，故{1,5}不能作为集合M的基底．若以{3,5}为基底，设1＝λ×3＋μ×5，当λ＝－1时，μ＝eq\f(4,5)，不符合题意；当λ＝0时，μ＝eq\f(1,5)，不符合题意；当λ＝1时，μ＝－eq\f(2,5)，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}使得1＝λ×3＋μ×3或1＝λ×5＋μ×5，故{3,5}不能作为集合M的基底．若以{2,3}为基底，1＝－1×2＋1×3,2＝1×2＋0×3,3＝0×2＋1×3,4＝1×2＋1×2,5＝1×2＋1×3,6＝1×3＋1×3，故{2,3}能作为集合M的基底．若以{2,4}为基底，设1＝λ×2＋μ×4，当λ＝－1时，μ＝eq\f(3,4)，不符合题意；当λ＝0时，μ＝eq\f(1,4)，不符合题意；当λ＝1时，μ＝－eq\f(1,4)，不符合题意．同理易知不存在λ，μ∈{－1,0,1}使得1＝λ×2＋μ×2或1＝λ×4＋μ×4，故{2,4}不能作为集合M的基底．综上，选ABD．]命题点2常用逻辑用语求解常用逻辑用语问题的3个易失分点(1)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念；(2)命题的否定与否命题是有区别的，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论；(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词．[高考题型全通关]1．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由a2＞a得a＞1或a＜0，反之，由a＞1得a2＞a，则“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A．]2．(2020·济南模拟)已知命题p：∀x＞0，lgx＞0，则﹁p为()A．∀x＞0，lgx≤0 B．∃x0＞0，lgx0＜0C．∀x＞0，lgx＜0 D．∃x0＞0，lgx0≤0D[全称命题的否定是特称命题，需把全称量词改为存在量词，并否定结论，所以﹁p为∃x0＞0，lgx0≤0，故选D．]3．下列命题中，为真命题的是()A．∃x0∈R，eeq\s\up6(x0)≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．若x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1D[因为ex＞0恒成立，所以选项A错误．取x＝2，则2x＝x2，所以选项B错误．当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时eq\f(a,b)无意义，所以也不可能推出eq\f(a,b)＝－1；当eq\f(a,b)＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0.故a＋b＝0的充分不必要条件是eq\f(a,b)＝－1，故选项C错误．假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y＞2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．]4．(2020·北京高考)已知α，β∈R，则“存在k∈Z”使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝(2n＋1)π－β，则sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，k∈Z，故选C．]5．[多选]下列命题正确的是()A．“a＞1”是“eq\f(1,a)＜1”的充分不必要条件B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件ABD[若eq\f(1,a)＜1，则a＞1或a＜0，则“a＞1”是“eq\f(1,a)＜1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD．]6．[多选]已知a，b为实数，则下列是lna＞lnb的必要不充分条件的是()A．eq\r(a)＞eq\r(b) B．ac2＞bc2C．a2＞b2 D．2a＞2bACD[lna＞lnb⇔0＜b＜a.易知A，C，D都是lna＞lnb的必要不充分条件．对于B，由ac2＞bc2不一定能得到lna＞lnb，且由lna＞lnb不一定能得到ac2＞bc2，故ac2＞bc2是lna＞lnb的既不充分也不必要条件，故选ACD．]7．[多选]直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()A．m2≤1 B．m≥－3C．m2＋m－12＜0 D．eq\f(3,m)＞1BC[若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交，则eq\f(|2×1－2＋m|,\r(22＋－12))＜1，解得－eq\r(5)＜m＜eq\r(5).A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}⊆{m|－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)}，所以m2≤1不是－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)}，所以m≥－3是－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3}⊇{m|－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)}，所以m2＋m－12＜0是－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)的必要不充分条件；D项中，由eq\f(3,m)＞1，得0＜m＜3，所以eq\f(3,m)＞1不是－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)的必要不充分条件．]8．[多选]下列说法正确的是()A．“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30C．命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)＞2”D．函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)无零点AB[由x＝eq\f(π,4)，得tanx＝1，但有tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数