常见数列通项公式的求法讲义-高二上学期数学人教A版选择性

§常见数列通项公式的求法题型一：观察法求数列通项已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.【题型专练】【例1】将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．【例2】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；（3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．【例3】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；(2)，，，；(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．名师点拨☞常见数列的通项1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.题型二：定义法求数列通项⑴等差等比定义求通项等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：①定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；②等比中项法：即证aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．⑵.利用与的关系，依据求出.已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．③对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写注：an与Sn关系的应用策略❶仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．❷究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．❸值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！【题型专练】1．设等差数列的前项和为，若，，则的通项公式为（

）A． B． C． D．2．在等比数列中，，，则是（

）A．1 B．3 C． D．3．设正项等比数列的前项和为，若，，则（

）A．9 B．8 C．7 D．64．已知等比数列满足，，则（

）A．1 B． C．3 D．5．已知数列满足，且，则.6．已知等差数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.7．已知数列满足，且，那么.8．设是等差数列的前项和，若，，则..题型三：累加法求数列通项形如型的的递推公式均可用累加法求通项公式.当为常数时，为等差数列，则；当为的函数时，用累加法.方法如下：由得，当时，，，，以上个等式累加得（3）已知，，其中可以是关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若可以是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若可以是关于的二次函数，累加后可分组求和；=3\*GB3③若可以是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=4\*GB3④若可以是关于的分式函数，累加后可裂项求和求和.【题型专练】1．已知数列满足，，则（

） A． B． C． D．2．已知数列满足，，则．3．已知数列，.以后各项由给出.(1)写出数列的前项；(2)求数列的通项公式.已知数列满足，，求数列的通项公式名师点拨☞累加法求通项公式的4步骤题型四：累乘法求数列通项形如型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式中的依次取1,2,3，……，,可得到下面个式子：利用公式可得：【题型专练】1．已知数列{an}，a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan，求通项公式an.已知数列满足，，求数列的通项公式.若数列满足，且，求数列的通项公式．4．（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.名师点拨☞累乘法求通项公式的4步骤题型五：构造法求数列通项(1)形如型的递推式：①待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.②待定系数法：（其中均为常数，）.（或其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.③待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.④待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.(2)形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型分式型取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．【题型专练】❶用“待定系数法”构造等比数列【例1】已知数列满足，且，求的通项公式。【例2】在数列中，，，则通项公式______．名师点拨☞形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。❷用“同除指数法”构造等差数列【例1】已知数列中，，求数列的通项公式；【例2】已知数列满足，，求数列的通项公式.名师点拨☞形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。❸用“同除法”构造等差数列【例2】已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，记数列的前n项和为，证明：．【例3】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知数列{}的前n项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列{}的通项公式．名师点拨☞形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.题型六：周期性【例1】（2023全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.【答案】4【解析】由题意，，，，，，…，数列从第二项起是周期数列，周期为3，所以．故答案为：4．【例2】（2022·广东深圳·高三）已知数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，所以，，当为偶数时，，则，两式相减得，所以，，故，故选：D.题型七：已知数列前n项积型求通项【例1】（2022重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则．【解析】解：数列满足其前项的积为，故前项的积为，，，当时，，显然，它对于第一项也是成立的，故，．故答案为：，．题型八：双数列问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再根据，得到，即可得到的通项公式，代入即可；【详解】解：因为，，所以，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：C【例2】（2022·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．(1)证明：是等比数列，是等差数列；(2)求的通项公式以及的前项和．【解析】(1)证明：因为，所以，即，所以是公比为的等比数列．将方程左右两边分别相减，得，化简得，所以是公差为2的等差数列．(2)由（1）知，，上式两边相加并化简，得，所以．§常见数列通项公式的求法题型一：观察法求数列通项【例1】67【分析】找到每行最后一个数的规律，写出通项公式，确定位于第行，再确定其所在的列数，从而求出答案.【详解】每行最后一个数的排列为1,5,11,19,29，第行最后一个数的通项公式为，其中，，所以位于第行，且，所以位于第行，第22列，所以.故答案为：67【例2】

【分析】（1）所给数列的前4项中，分母是项数的平方，分子是分母减1，由此可归纳；（2）各项负正相间，分子都是1，分母是3的正整数倍，由此归纳结论；（3）每一项都是由数字1组成的，数字个数正好是项数，把1与9联系，易归纳通项公式．【详解】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为．（2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．（3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为．故答案为：；；．【例3】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）观察给定的4项，结合数据特征写出一个通项作答.（1）4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（2）4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（3）4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.（4）4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，依次可写为题型二：定义法求数列通项1．C【详解】设等差数列的公差为，则，解得.因此，数列的通项公式为.故选：C.2．D【详解】等比数列中,因为成等比数列，且，，所以3．A【详解】因为是正项等比数列，所以，则可化为，解得，或(舍）设等比数列的公比为，则,所以，则.故选：.4．C【详解】由，且为等比数列，故，故.选：C.5．【详解】因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以.故答案为：.6．(1)(2)【详解】（1）设公差为，由，，得，解得，所以；（2）.7．【详解】，因此数列是公差的等差数列，而，所以.8．3【分析】根据等差数列的前项和公式，用表示，可求解，结合，可得解【详解】由题意，根据等差数列的前项和公式，又故答案为：3题型三：累加法求数列通项1．B【分析】利用累加法可求得的值.【详解】因为，，所以，，，，累加可得，解得．故选：B.2．63【分析】由题设可得，应用累加法，结合已知即可求.【详解】由题设，，所以，又，所以.3．(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据和递推式写出数列的前5项；（2）根据累加法求出数列的通项公式.【详解】（1）；（2）故，故，当时，此通项公式也成立.故4．【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解.【详解】∵，∴，，，…，，∴，即．∴，又当时，，也符合上式．∴题型四：累乘法求数列通项an＝【分析】由题得＝，再利用累乘法求解.【详解】∵(n＋1)an＋1＝nan，∴＝.∴＝(n≥2)．以上各式相乘，得.∵an＝(n≥2)，又a1＝1满足上式，∴an＝(n∈N*)．2．【分析】将题中条件变形为，再利用累乘法求出数列的通项公式.【详解】由，得，所以当时，，因为，所以，又因为时，满足上式，所以3．【分析】已知递推式变形得出时，，用累乘法求得，得通项公式．【详解】由，得，所以当时，．又，所以，从而，因为当时也满足上式，所以数列的通项公式为．4．（1）an＝－(n∈N*)；（2）an＝(n∈N*)．【分析】（1）由已知条件可得an＋1－an＝，然后利用累加法可求出通项公式an.（2）由an＝an－1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式【详解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又∵n＝1时，a1＝1