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文档简介

第四章A组·素养自测一、选择题1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(C)A.x1 B.x2C.x3 D.x4[解析]用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧,函数值的符号不同,故选C.2.函数f(x)=x+lgx-3的零点所在的大致区间是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2),3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(7,2)))[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))=eq\f(3,2)+lgeq\f(3,2)-3=lgeq\f(3,2)-eq\f(3,2)<0,f(2)=2+lg2-3=lg2-1<0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))=eq\f(5,2)+lgeq\f(5,2)-3=lgeq\f(5,2)-eq\f(1,2)<0,f(3)=3+lg3-3=lg3>0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))=eq\f(7,2)+lgeq\f(7,2)-3=eq\f(1,2)+lgeq\f(7,2)>0,又f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,故选C.3.(2021·锦州高一检测)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是(B)A.-3<a<1 B.eq\f(3,4)<a<1C.-3<a<eq\f(3,4) D.a<-3或a>eq\f(3,4)[解析]∵函数f(x)=ax2-2x+1在(-1,1)和(1,2)上分别存在一个零点,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(-1)f(1)<0,f(1)f(2)<0)),即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((a+3)(a-1)<0,(a-1)(4a-3)<0))解得eq\f(3,4)<a<1.故选B.4.函数y=x2+2px+1的零点一个大于1,一个小于1,则p的取值范围是(A)A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.(-1,1) D.[-1,1][解析]记f(x)=x2+2px+1,则函数f(x)的图象开口向上,当f(x)的零点一个大于1,一个小于1时,即f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)的左方,另一个在点(1,0)的右方,∴必有f(1)<0,即12+2p+1<0.∴p<-1.∴p的取值范围为(-∞,-1).二、填空题5.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(2).x-10123f(x)-0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892(1)(-1,0);(2)(0,1);(3)(1,2);(4)(2,3).[解析]令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,所以F(0)·F(1)<0,f(x)=g(x)有实数解的区间是(2).6.函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2,x≤0,,2x-6+lnx,x>0))的零点个数是2.[解析]当x≤0时,f(x)=x2-2,令x2-2=0,得x=eq\r(2)(舍)或x=-eq\r(2),即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点.当x>0时,f(x)=2x-6+lnx,令2x-6+lnx=0,得lnx=6-2x.作出函数y=lnx与y=6-2x在区间(0,+∞)上的图象(图略),则两函数图象只有一个交点,即函数f(x)=2x-6+lnx(x>0)只有一个零点.综上可知,函数f(x)的零点的个数是2.三、解答题7.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:x1.251.281251.31251.3751.52x2.3782.4302.4842.5942.828[解析](1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25,1.3125)1.28125f(1.28125)<0因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,所以函数的零点近似值为1.3125,即方程2x+2x=5的近似解可取为1.3125.B组·素养提升一、选择题1.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=eq\f(a+b,2)与其实零点的误差最大不超过(B)A.eq\f(ε,4) B.eq\f(ε,2)C.ε D.2ε[解析]真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-eq\f(a+b,2)=eq\f(a+b,2)-a=eq\f(b-a,2)<eq\f(ε,2),因此误差最大不超过eq\f(ε,2),故选B.2.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)(a>0)上有唯一的零点,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,eq\f(a,2)),(0,eq\f(a,4)),(0,eq\f(a,8)),则下列说法不正确的是(ACD)A.函数f(x)在区间(0,eq\f(a,16))内一定有零点B.函数f(x)在区间(0,eq\f(a,16))或(eq\f(a,16),eq\f(a,8))内有零点,或零点是eq\f(a,16)C.函数f(x)在区间(eq\f(a,16),a)内无零点D.函数f(x)在区间(0,eq\f(a,16))或(eq\f(a,16),eq\f(a,8))内有零点[解析]根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在(0,eq\f(a,16))或(eq\f(a,16),eq\f(a,8))中或零点是eq\f(a,16).故选ACD.二、填空题3.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1=0.25.[解析]∵f(0)<0,f(0.5)>0,∴f(0)·f(0.5)<0,∴f(x)在(0,0.5)内必有零点,利用二分法,则第二次应计算feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0+0.5,2)))=f(0.25),∴x1=0.25.4.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称4次就可以发现这枚假币.[解析]将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.三、解答题5.已知函数y=|3x-1|,试问k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?[解析]作

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