高三二轮复习专题06平面向量

2024届高三二轮复习第06讲：平面向量解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第3题向量坐标表示、垂直条件无2023年新Ⅱ卷，第13题,向量的模公式无2023年天津卷，第14题向量的加减运算、数量积最值无2023年北京卷，第3题向量的坐标运算无2023年乙卷文科，第6题数量积运算无2023年乙卷理科，第2题集合的交集、并集、补集无2023年甲卷理科，第12题向量的数量积圆的切线方程2023年甲卷文科，第3题坐标表示、夹角公式无题型一：平面向量的概念【典例例题】例1.（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（

）A．若，则与的方向相同或者相反B．若，为非零向量，且，则与共线C．若，则存在唯一的实数使得D．若，是两个单位向量，且．则【答案】B【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误．【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，由得，所以，所以该选项错误．故选：B．【变式训练】1.（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，则，所以“”是“”的必要而不充分条件.故选：B2.（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件，故选：C3.（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知非零向量满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得方向相反，且，进而结合选项即可逐一求解.【详解】由得，因此可知方向相反，且，对于A,，由于与的关系不确定，故A错误，对于B，由于，故B错误，对于C，，所以，故C错误，对于D，，故D正确，故选：D4.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若向量满足，则向量一定满足的关系为（

）A． B．存在实数，使得C．存在实数，使得 D．【答案】C【分析】对于A,B,D通过举反例即可判断，对于C需分与是否为讨论即可.【详解】，两边同平方得，，对A，时，为任一向量，故A错误，对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误，对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时一定存在实数,,使得，具体分析如下：当，时，此时为任意实数，，当，时，此时为任意实数，，当，时，为任意实数，当，时，因为，则有，根据，则，此时共线，且同向，则存在实数使得（），令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确，对于D，当，时，，故D错误，故选：C.5.（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【答案】C【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于任意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.6.（2020·山东日照·校联考模拟预测）设是非零向量，则是成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】因为，所以共线且方向相同，因为表示方向上的单位向量，所以，而当时，可得共线且方向相同，但不一定是，所以是成立的充分不必要条件，故选：B题型二：平面向量的线性运算【典例例题】例1.（2023春·广东省韶关市二模）已知是平行四边形，，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为，所以，所以，又，所以，．故选：C．【变式训练】1.（2023春·广东省深圳市二模）已知中，，，与相交于点，，则有序数对（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.【详解】依题意、、三点共线，故，所以，又、、三点共线，故，则，所以，解得，所以，又，所以，所以有序数对.故选：D2.（2023春·广东省深圳市龙岗区德琳学校二模）在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量基本定理表示出，即可得到结果.【详解】如图，连接，因为为正六边形，所以，，所以，所以.故选：C3.（2023秋·河北省邢台市四校质检联盟模拟）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.【详解】因为，所以，则.因为A，P，D三点共线，所以.因为，所以.因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线，所以，则，解得，从而，，故.故选：A题型三：平面向量的数量积运算【典例例题】例1.（2023春·辽宁省丹东市等2地大石桥市第三高级中学模拟）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．例2.（2023春·广西壮族自治区玉林市模拟）已知的外心为，且，，向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，确定的形状，并求出角C，再利用投影向量的意义求解作答.【详解】在中，由，得点为线段的中点，而为的外心，则，即有，又，则为正三角形，因此，，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A【变式训练】1.（2023春·江苏省南京师范大学附属中学模拟）在中，，点E满足，则（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件利用相应公式求得结果.【详解】中，，所以，，故选：B.2.（2023秋·湖湘名校教育联合体模拟）已知四边形，设E为的中点，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积运算法则得到，利用，求出，从而得到答案.【详解】在平面（空间同样）四边形中，，因为，所以．故选：A．3.（2023春·江苏省南京市六校模拟）已知菱形中，，为中点，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用菱形的性质，由向量加法、数乘的几何意义可得、，再应用向量数量积的运算律列方程求参数.【详解】菱形中，，因为，又，，所以，可得.故选：B4.（2023春·河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】通过先求出，再求出，进而通过平面向量夹角公式即可求得.【详解】因为，所以，又，设向量与向量的夹角为，所以，所以.故答案为：.5.（2023春·山东省聊城市聊城一中东校中学模拟）已知、为单位向量，当与夹角最大时，=______.【答案】【解析】【分析】方法一：利用向量夹角公式，结合换元法及求二次函数最值分析求解即可得；方法二：画图分析即可.【详解】方法一：设的夹角为，则，令，则，当取最小值时，两向量与夹角最大，所以当，即时，两向量与夹角最大，此时.故答案为：.方法二：由图所示：可知与夹角最大为，所以，故答案为：.6．（2023春·广东省东莞实验中学一模）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根据题意和向量数量积的运算得出，然后代入公式即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B．题型四：平面向量的坐标运算【典例例题】例1.（2023春·黑龙江省牡丹江市第二高级中学模拟）（多选）已知向量，则（）A. B.C.可以作为平面向量的一个基底 D.【答案】BC【解析】【分析】根据向量的模公式计算可判断A；由向量坐标运算可判断B；由向量共线的坐标表示可判断C；先求坐标，再由向量共线的坐标表示可判断D.【详解】选项A，，即，A错误；选项B，，B正确；选项C，，即不共线，即可以作为平面向量的一个基底，C正确；选项D，，由，即与不共线，D错误．故选：BC例2.（2023春·广东省汕头市一模）已知向量，，．若，则实数（）A. B.－3 C. D.3【答案】B【解析】【分析】直接根据夹角的坐标运算列方程求解即可.【详解】，，,，解得.故选：B．【变式训练】1.（2023春·辽宁省朝阳市模拟）已知向量，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，且，所以，解得，所以，，则，所以.故答案为：2.（2023秋·湖南省部分校模拟）在平面直角坐标系中，将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量，则___________.【答案】【解析】【分析】求出的模及对应的角，即可得旋转后的角，进而算出坐标.【详解】设以轴正半轴为始边，为终边对应的角为，根据题意得，，，则，向量绕原点按顺时针方向旋转后，，从而.故答案为：43.（2023秋·江西省南昌市南昌县莲塘第一中学模拟）已知，向量，，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.【详解】若向量，则，即解得：或,所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B4.（2023秋·山东省德州市第一中学模拟）已知向量，，则（）A.30° B.150° C.60° D.120°【答案】B【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量，，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.5.（2023春·广东省潮州市二模）（多选）设向量，，则下列说法正确的是（）A.B.C. D.在上的投影向量为【答案】ACD【解析】【分析】根据向量坐标运算，可求得的坐标，结合向量模的计算，可判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；根据向量垂直的坐标表示判断C；根据向量的投影向量的定义可求出在上的投影向量判断D.【详解】由题意可知，，故，A正确；因为，故不平行，B错误；因为，故，C正确；由于，，故在上的投影向量为，D正确，故选：ACD6.（2023春·广东省梅州市二模）（多选）已知向量，，，则下列命题正确的是（）A.当且仅当时， B.在上的投影向量为C.存在θ，使得 D.存在θ，使得【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量的坐标运算判断C；利用数量积的运算律结合坐标运算判断D作答.【详解】向量，，，对于A，，A正确；对于B，因为，则在上的投影向量为，B正确；对于C，，假定存在θ，使得，则有，而，即不成立，因此不存在θ，使得，C错误；对于D，，即，则，因此存在θ，使得，D正确.故选：ABD题型五：建立直角坐标系【典例例题】例1.（2023·全国·高三专题）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，设，，（），则，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以当时取得最小值为.故选：A【变式训练】1.（2023秋·广东省佛山市南海区狮山石门高级中学模拟）两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量夹角公式，以及向量夹角坐标公式，或者根据向量运算法则求解画图即可.【详解】法一：，设与的夹角为，则，又，；法二：根据，，取，设，与的夹角为，从而，又，；法三：利用运算法则，设，，，则，如图，则设向量与夹角为，则，，，，又，.故选：A2.（2023秋·新疆乌鲁木齐市第四十中学模拟）如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（）A.0 B.1 C. D.7【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，可得的坐标，再由建立方程求解即可．【详解】解：将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，则，，，即，解得，..故选：D.3.（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系则，设，则，所以，因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.故选：A.4.（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】如图建立平面直角坐标系，依题意在线段的垂直平分线上，根据面积公式及数量积的定义得到，即可确定的坐标，设，表示出，再由不等式的性质求出的取值范围，即可得解.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，因为，所以在线段的垂直平分线上，又，即，所以，则，所以，即，设，则，，所以，解得或，又定点在边长为1的正方形外，所以，设，则，，所以，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，综上可得，即，当且仅当，即点位于点时取得最大值.故选：C5.（2023秋·山东省实验中学模拟）已知，，均为单位向量，满足，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】首先确定向量的夹角，从而构建单位圆，确定向量的坐标，并利用三角函数表示，并利用三角函数求最小值.【详解】，所以，根据，，则,,如图，建立平面直角坐标系，设，，，，由，可知，，得，，，由，可知，所以的最小值是.故选：B6.（2023·湖南·校联考模拟预测）正八边形上存在一动点（点与，不重合），已知正八边形边长为2，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面向量数量积的几何意义分析可知，当点运动到点时，取得最大值，然后建立平面直角坐标系利用坐标计算即可.【详解】，由平面向量数量积的几何意义可知，当最大，即在方向上投影最大时，最大，由图可知当点运动到点时，在方向上投影取得最大.如图：建立平面直角坐标系，则，，，所以，.所以的最大值为故选：D题型六：平面向量的新定义【典例例题】例1.（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量数量积的运算律求出向量与的夹角，代入新定义求解即可.【详解】由题意得，解得，又，所以，所以.故选：C【变式训练】1.（2023·全国·模拟预测）定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，①.②.③.④.⑤.则以上正确的编号为（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①⑤【答案】B【分析】根据题意可得，转化为对于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于，又对于，恒有，显然有，即，则对于任意的恒成立，显然有成立，即，则，故序号①错误，进而，∵，于是，得，即序号④正确.再由得，得，∴，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B.2.（2023·吉林长春·统考模拟预测）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为的斜坐标系中，下列选项错误的是（

）A．当时与距离为B．点关于原点的对称点为C．向量与平行的充要条件是D．点到直线的距离为【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，对于A选项：由已知得，所以.由及斜坐标的定义可知，，故A选项正确；对于B选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点，则，设关于原点的对称点为，则，由于不共线，所以，故B选项正确；对于C选项：，若是零向量，则成立，同时，所以成立，此时；若是非零向量，则存在非零常数，使，所以.故C选项正确；对于D选项：设直线上的动点为,，因为，所以，设，则点在直线上，所以直线过点，因为，则，，由于，所以.所以，所以，所以点A到直线的距离为，故D选项错误.故选：D3.（2023·陕西·统考模拟预测）定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：①；②；③；④若，则．其中恒成立的有A．①④ B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】由新定义逐一判断即可求解【详解】因为，所以，故成立，所以①正确；，，故当时，不成立，所以②错；，，显然当不共面时不成立，例如为两两垂直的单位向量，则，所以③错；由，可知，所以，，故④正确故选：A1.（新课标全国Ⅰ卷）1．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．2.（新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量，满足，，则______．【答案】【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.3.（全国乙卷数学（文））3．正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.4.（全国乙卷数学（理））4．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.6.（全国甲卷数学（文））5．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.7.（全国甲卷数学（理））6．向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.8.（新高考天津卷）7．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．【答案】【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.1．（2023·陕西渭南·统考一模）以下说法正确的是（

）A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则【答案】A【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断.【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；对于C,时，或，故错误；对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．故选：A．2.（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（

）A．若，，则B．若与共线且模长相等，则C．若且与方向相同，则D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）（多选）设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（

）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影向量为D．若存在实数使得，则【答案】ABC【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.【详解】当时，的方向相反且，则存在负实数，使得，故A正确D错误；若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，所以，故B正确；若则的方向相同．在方向上的投影向量为，故C正确．故选：ABC.4.（2023春·广东省佛山市一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心【答案】D【解析】【分析】设线段的中点为，推导出，结合外心的定义可得出结论.【详解】设线段的中点为，则、互为相反向量，所以，，因为，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分线段，因此动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.故选：D.5.（2023春·黑龙江省鸡西市密山市第四中学模拟）已知向量，的夹角为，且，，则（）A.10 B. C.14 D.【答案】B【解析】【分析】先计算出，从而得到.【详解】，故.故选：B6.（2023春·黑龙江省绥化市海伦市第一中学模拟）已知平面向量，，，则下列结论正确的是（）A. B.C.与的夹角为钝角 D.与垂直【答案】D【解析】【分析】对于A直接利用数量积的坐标运算计算判断；对于B利用向量模的公式来计算判断；对于C通过计算的正负来判断；对于D通过计算的值来判断.【详解】对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，则，故与的夹角不为钝角，C错误；对于D：，则，D正确；故选：D.7.（2023春·黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学模拟）已知O为坐标原点，，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为1 D.的最大值为2【答案】D【解析】【分析】首先根据向量的几何意义判断点的轨迹，再利用数形结合，以及向量数量积的几何意义，判断选项.【详解】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，取最小值0，A选项错误；当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，取最大值2，B选项错误；根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，C选项错误，当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2，D选项正确．故选:D8.（2023春·河北省唐山市邯郸市等2地模拟）已知向量，，则等于（）A.52 B. C. D.76【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】，所以，故选：B9.（2023春·山西省运城市稷山县稷王中学模拟）已知，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由数量积的性质求得，再代夹角公式即可求解【详解】所以所以向量与的夹角为故选：C10.（2023春·广东省深圳市2023届高三下学期4月高考冲刺卷）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，把用基底表示，再利用向量数量积公式可得，再根据的范围便可求出的取值范围.【详解】如图可知,，，因为是的中点，所以，所以，即，所以，由条件可得，，，因为P为AC边上的一个动点，故当P为AC中点时，最小，此时，当P为A或C时，最大，，所以，所以，又因为，所以.故选：C.11.（2023春·山东省青岛莱西市模拟）（多选）已知向量，则下列结论正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】先求出，由平行向量的坐标表示可判断A；由垂直向量的坐标表示可判断B；由数量积的坐标计算可判断C；由数量积的定义结合基本不等式可判断D.【详解】对于A，因，则，若，，由可得：，解得：，故A不正确；对于B，若，，由可得：，解得：，故B正确；对于C，，，即，解得：，故C正确；对于D，，，由可得：，即，，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BCD.12.（2023春·广东省汕头市潮阳区七校联合体模拟）已知非零向量满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.【详解】因为，所以，即①.因为向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，将①代入②得，，又，所以.故选：B13.（2023春·广东省江门市一模）设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量模的性质由已知可求得，则按照在方向上的投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，则，解得，所以在方向上的投影向量为.故选：B.14.（2023春·广东省揭阳市二模）已知向量，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算求出，然后利用向量的坐标运算即可求解.【详解】因为，所以，得，所以.故选：B.15.（2023春·广东省广州市二模）已知两个非零向量，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积运算律和夹角公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以，，故选:D.16.（2023春·广东省高州市二模）已知向量，，若与平行，则实数值为（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.【详解】因为，，所以，又与平行，所以，解得.故选：D17.（2023春·广东省佛山市二模）已知的顶点，，，则顶点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行四边形可得进而即得．【详解】因为，，，由平行四边形可得，设，则，所以，即的坐标为.故选：B.18.（2023春·广东省大湾区二模）已知平面向量，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，，再根据在上的投影向量为计算即可.【详解】因为，所以，，所以在上的投影向量为，故选：D.19.（2023春·广东省二模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由题设易知且、，进而判断最大时的关系即可得答案.【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，所以，则，所以，故反向共线时最大，所以.故选：C20.（2023春·广东省深圳市一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可.【详解】因为，为单位向量，由，所以，即，设与夹角为，则，又，所以，故选：C.21.（2022·湖南长沙·长沙一中校考一模）（多选）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（

）A．线段A，B的中点的广义坐标为B．A，B两点间的距离为C．若向量平行于向量，则D．若向量垂直于向量，则【答案】AC【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；，故，当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，与垂直的充要条件是，故D不正确.故选：AC．22．（2021·江苏南京·二模）（多选）引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向