2023年河北省衡水市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析)

2023年河北省衡水市成考专升本高等数学

二自考预测试题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

-、单选题（30题）

三!•X）dx≡sin2,则Ixf（x^）d-t等于（）♦

JQJO

JI.L

Hf2B.2sin2C.v*in20∙Vsin'∙~

1L/

KNaZ、5x-2(X≠l)~、

设函数/(x)=,.S∙JIim/(x)

21(x=I)1

A.A.0B.1C.2D.3

3.

广义积分•「■誓YdX等于().

Jl1+ɪ

A.~τB.—qyjC——

1632vJ32

4.设U=U(x),V=V(X)是可微的函数,则有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

5.

设/(ʃ)是可导函数，且Iim/Q。+2?一■/(&)=1,则/(ɪo)=

Λ-On

[]

A.lB.0C.2D.1∕2

6.

甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次,其命中率依次为050.6,07则目标被击中的摄

率是（）

A.0.94B.0.92C.0.95D.0.9

7.

设"（*）.在*=处可导,且"（（）））（）

1，（¥）0=]."，（0）=I.r（0=2./0=2.4

IimdnMX）-2

•7X

A・-ɪB.0C.2D4

设函数t=(gy)c,则及等于(、

ŋdnʌr)ʃɔ1

B.(IrLy)Tniny

C.)＜【门3OQInlny

8Γλʃ(lnfcy)∙0Inlnv

（）

9」5P÷2dr=

A.lB.3C.5D.7

10.以下结论正确的是（）.

A.函数f（x）的导数不存在的点，一定不是f（x）的极值点

B.若xθ为函数f（x）的驻点，则xθ必为?（X）的极值点

C.若函数f(x)在点xθ处有极值，且f'(XO)存在，则必有f'(XO)=O

D.若函数f(x)在点xθ处连续，则f'(χθ)一定存在

设/(*)的一个原函数是XlnX,则/(口的导函数是(

A.I+InX

下列结论中不正确的是()

A.若/(zo)=0,[(J⅛)=O,则不能确定点是否为函数的极值点

B.若N=Zo是函数义])的极值点，则∕zCr0)=O或∕G⅛)不存在

C.函数/(l)在区间(α")内的极大值一定大于极小值

12.D.，Gro)=O及外工。)不存在的点工=工。,都可能是人工)的极值点

设函数/(X)=七』(x≠l),WJfim∕(x)=

13.XTJ()。

A.0B.-lC.lD.不存在

14J(SinX+&)”=()o

3:

-cosx+-Xj+C

3-

cosx+-x,+C

B.4

COSX-Xi+C

D.

已知函数/⑶在x=2处可导,且四—匕②$则"2)=

曲线y=a-(x-b)i

A.上凹，没有拐点B.下凹，没有拐点

C.有拐点(ɑ,b)D.有拐点S,a)

sin2j∙

RrO,

设函数/(ɪ)=X在z=O处连续，则α=

X=O

[]

A.-lB.lC.2D.3

18.设函数/⑴T)也,则/(χ)有(极大值1/2B.极大值-1/2C.极小

值1/2D.极小值-1/2

19.设函数f(z)在区间［a,b］连续，则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及X轴所

围成的平面图形的面积为

A.∫*∕(j)dj/(ɪ)dʃCjIʃ(ɪ)I<LrD.Ocr)Arl

已知[[/(J)]=，，则八I)=

20.dxx2X2

1

A.A.6

B.-l

C.2

D.-4

设函数/(x)=√,则IimZLr+2γL∕(z)等于

A.0

K2V

C6/

22.

设函数）=人工）的导函数y'=/'G）的困像如图4-I所示.

赛K列结论肯定正确的是（）.

IX=-I是驻点，但不是极值点B.X=-I不是驻点

CX=-I为极小值点D.N=-1为极大值点

图4-1

设函数/Q)在点了处连续.则下列结论自定正确的是()

儿㈣，空沪必存在

Bjlmf(x)=O

LF

C当1f.，时・/(1)-/(WJ不是无穷小盘

23.∣)∙当Tfr时J(X)一/")必为无穷小城

下列等式成立的是

.sιrur'

ɪfIim—p-

x

l.tanx

B.'

.SIrkr

1hm—r-

r→X

∣.sιι‰r.

nIim-----≡1

24.d∙

函数/Q)-1τ⅜-2的定义域是()

A.(-»,-2)(-2,+«)

B.(-κ.1)(1,+»)

C.(-*,-2)(-2,1)(1,+»)

25.D∙b00,-2)

ɔʌ设z=e”,则W等于().

26.∂x∂y

A.(l+Xy)e"

B.%(l+y)e”

Cr(i+χ)e”

D.W

27.设㈣导事啊"ɪ等于()∙A.10∕3B.5/3C.l/3D.2/15

28.

Iim/(ɪ)=Iim/(x)=α是函数八外在点工=工。处连续的

LjrjL∙*°+

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件

29.设函数y=sin(x2-l),则dy等于().

A.cos(x2-l)dxB.-cos(x2-l)dxC.2xcos(x2-l)dxD.-2xcos(x2-l)dx

曲线y=∙rsinj()

A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有错直渐近线

30.C.仅有银宜渐近线D.既无水平渐近线又无铅直渐近线

二、填空题(30题)

31.

32.

e

Inzdi=

e

H设y=lnx-χ2,求dy.

OJ・

34.

设k苧,则"Im=----------'

设/(χ)=χ2,g(X)=COSX.则一/(g(ɪ))=

35.

36.

iim(l+')"=e,则k=_______.

χ→∞X

，

y______________•

37.y=arctanex,贝!]

38.若F(I)=O且f"(l)=2,则f(l)是________值。

_ICIimɪn(l+√>=.

40.设函数f(x)=sin(l-x)，则f"(1)=

42.

43.

设函数人］)=则，(D=

4十工

44.

(2f—1)df=6,则∙r=.

设Z=x1y1，则自

…sin(ɪ)

47.设y=3∙x,贝IJy'o

0

48,设/Cr)=W∙r+I)',则∫/Ukk=.—.

49.

若［∕Sdχ=⅛+C

jɪ

B.一+C

C.ɪlnɪ--4-c

设Z=χ2y+y2,则dz=.

设函数/(力在x=4处连续且可导，且/'(4)=2,则Iim△、)二八4)=

*→4x-4

设y=~τ~•贝IJy,-_____________.

Xɪ

52.

53.已知P(A)=O.8,P(B∖A)=0.5,贝IJP(AB)=

函数y=√ΓZ在区间卜1,1］上的最大值是

57.设z=x2y+y2,贝!jdz=_.

58.

设函数y=2/，则其单调递增区间为

59.

曲线y=2X2+3x-26上点M处的切线斜率是15,则点M的坐标是

6o.∙Hy=一→(κ2)'的拐点坐标毫

三、计算题(30题)

6］设/G)是连续函数,且［'/⑺&=j∙.求"7).

62.设函数∕<-r>=ɪ(l-ʃ)5÷∙∣∙∫7(∙r)d∙r,求/(工).

63.求函数f(x,y)=χ2+y2在条件2x+3y=l下的极值.

(arctan∕)2dx

求极限IimJ。

64.r•'m7T

65.求∫jin(lru∙)dz.

66.设函数y=y(z)由方程y=(lnɪ/•工hu确定,求y'.

67.汁味

/Q设z=∕(x,y)是由方程xx=y+e,所确定,求经

OO.nɪ

69.求函数/(X)=r-：的单两区间、极值、凹凸区间和拐点•

计算二重身分口£<Lrd>.其中D是由真线.r=2・y-∙r与双曲线工>

ɪ所留成

70.的区域・

71.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户(如图所示)，其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少？

72设N=W(I)+∙rg(∕∙).其中/(M).χ(υ)分别为可微函数,求毒♦祟.

求极限Im巫否-

73.

74'_3y=/e，的通解.

求极限lπn"⅛⅛

75.…I-√l-x,

设函数/U)=(∙r-α)q(∙r),其中小才)在点工=α处连续.求/(α).

77.求值分方程、业十4Tjr>dy≡°的通”

78.计叱M

79.京■分方■J⅛+3/-ɪ的通解.

80.求微分方程y"-2y'-3yue，的通解.

Ql计算不定枳分工旌kTir∙

ol∙J

82.啊（告一占卜

求不定枳分［工∙∙rct>ιtr<lr.

83.

求极限Iim「啜~r^9------（e，—]）cos~T

8s,n3j

84…LɪJ

85.

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为“=3in2∙r,*=cos2∙r.求相应

的微分方程.

求极限IImCOtJ∙∕」------

“∖sinʃJr

86.

计算,r'ydxdy,其中D由双曲线>一y，=1及直线N=O.y=|所围成的平面区域.

87.

设/十y：+2ι-2κ=e，确定函数？=wCr∙y).求生，也.

88.dxdy

RQ求函数Z=Jjy?+工'才的全部二阶偏导数

求l：ve"drdv,其中区域D由y==2,xHl及1=2所围成.

90.方ɪ

四、综合题(10题)

C证明：当∙r>0时,ln(l+ι)>.

91.1+r

ff/(ʃ)在［α.61上连续,存在m.M两个常数.且淌足“≤4<，，W"证明：恒有

92.m(ʃ:z∣></<ʃɔ∕<J>■ʌɪ(ʃɪ-ʃj-

id明［当，■，时♦彳1I'In"

93.一'ʃ

S求由曲线y∙H+4与y=所Bl成的平面图形的面枳.

7fc⅛I∙

95.证明方程41=2'在［0.1］上有且只有一个实根.

96.

设/(ɪ)在区间［α,瓦I上可导，且/(α)=fib)=0.证明：至少存在一点SSQ∙6).使得

/($)+3ξs∕(f)=0.

97.

过曲线y-x:(j>0)上一点M(1.1)作切线/.平面图形D由曲线V=M.切线I及

Jt轴围成.

求：(1)平面图形D的面积，

(2)平面图形。维I轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

求函数/(ɪ)ʃ-⅜J∙÷+ɪ的单求区间和极值•

98.

设平面图形D是由曲线y=e'.直线y=c及、轴所围成的，求；

(1)平面图形D的面积I

99.(2)平面图形。绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

IM证明:当OVXV号"时.ɛɑsʃ<ɪ—⅞-÷1∙

JLUU.-bL

五、解答题(10题)

101.

讨论f(χ)=J；re-电的单调性、极值和拐点.

102.

求由方程［ddz+J；，出+j：COWdz=O所确定的隐函数之=/(工,山的全微分出.

103求函数z=f+y+可在条件∙r+y=ι的极值。

104.(本题满分10分)

设■■F(*)≡/(*)一/(-Jr)•且∕(-r)可，.SE*B

(∣)F(x)为伤函数，(2)Fr(Jr)为偶函IL

若期:C?若)=8,求A的值.

105.

106.

求极限Iim工(£—I).

X—B

107.甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0.6和0.8,求此密码

被破译的概率.

108.已知函数/(x)Px3-bf+cx在区间(-8,+8)内是奇函数.

且当x=l时,/(x)有极小值,求另•个极值及此曲线的拐点.

109.

求函数/(x)=2x2-lnx的单调增减区间.

计算

110.5

六、单选题(0题)

111.

若函数/(ʃ)=Or'+Ar在J∙N1处取得极值2.则α=.A=.

参考答案

LC

答应选C.

汁所：∙E弓作的知识点是定视分的慨念和定枳分的换元枳分法.换元时根分的上、下限

-V后换.

勺「/(*).lrɪMΠ2更广义的理解应为，/(”)du=Vn2,所以

(叭/)d*≡-∣-∫5/(√)d(*j)≡=-φʃf(u)Λu=ɪ-uin2.

以选C.

2.D

Iim/(x)=Iim(5x-2)=3.

Hl→ι

3.B

答应选B.

提示本题考杳的知识点是广义积分在换元时，其积分限也应一起换•

设u=arctanN.贝∣J*=1时速=:逐T+∞时■,所以

4Z

atanvi

ffV.jγ=farctanxd(arctanx)=ɪ(arctanx)I=¾*∙

JtI+%Ji2I-?32

选B.

4.C

由乘枳导数公式妈=IrV+u∕,

dx

有d(ι∕v)≡v(u,dx)÷w(v,dx)∙即d(uv)≈ι∕dv÷vd<∕.

5.D

7⅛id/=SinGF•(?/=2jsinτl.

(WO

6.A

7.D

答r≥≤D.

分千J't,∙.W∙二；；仔4二生2求低果的方法以及乘积的导致公式.

＜：一=I—?=|所上匚少)鲁田r'")=tt,(O)MO)+U(O)J(O)

■■,・eI

=1•2+I•2=4.

所以送D.

8.C

9.B

10.C

本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极

值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的.要否定

一个命题的最佳方法是举一个反例，

例如：

y=∣xI在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D.

y=x3,x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B,所以命题

C是正确的.

11.C

答应选C.

提示根据原函数的定义及导函数的概念,则有

/(x)=(XInXV=InX+1,则/'(X)=：,

听以选C.

12.C

13.D

先去函数的绝对值，使之成为分段函数；然后，运用困数在一点处极

限存在的充分必要条件进行判定.

由/(X)=弁

x>l

因为Iim/(X)=Iim(-D=-I,

ι→Γ*→r

Iim/(x)=Iim1

<→ι4x→lφ

Iimf(x)≠Iim/(x)，

*-⅜ΓM→l*

所以lim∕(X)不存在.故选D.

14.A

［解析］根据导数的定义式可知

Hlnf(2+237(2)」

3∆JC2

Λ2),=7

15.A4

1解析］函数的定义域为：(F,+8).

∕="∣(χ-⅛)3

2--

y'=-(χ-b)3

当X=b时，不存在.因为函数/(X)在X=b点处连续，且

当x<b时，y”<0,曲线y下凹：当x>b时，y”>0,曲线y上凹.

所以X=b是曲线y的拐点横坐标.y(b)=a.

16.D故曲线的拐点为：S，α)∙

17.C

/(ɪ)在l=0处建集，则/(ɪ)在Z=O处既左连线又右连续，所以Iim/(ɪ)=Iim/(ʃ)=

x-∙0x-*0

limʃ(ɪ)=Iim=2=/(0)=a,Hia=2.

J→OLoX

18.D本题主要考查极限的充分条件.

本题可以先积分,求出/(χ),然后再求其极值.最简捷的方法是利用变上限定积分先求出

∕,(X)=X-IJ>(X)=l>O,所以/(*"j极小值/⑴=。-l)d,=y(<-I)Jŋ=-十，所

以选D.

19.C

20.B

所以

因为W(∕⅛⅜∕G)G)'彳43+

21.C

22.C

答应选C

分析本题主要考行极值的充分条件及驻点的概念•由/'(X)的图像可E∙三「一：L.

一二。K=-I为驻点.排除B.而当XV-I时，(工)<O：*>-I汇」二室：.二’

i"可妞X=-I为函数的极小值点.所以选C∙

本造也可以由,'(.C的图像而得、'=X+I.则原函数为>=5+K+C.从而很容易得知选项

C是正确的.

对于这种由函数导数的图像来分析和研究函数特性的方法建议考生多做练习.熟练掌握.如

果本期换一种提法则可以得到另外两个选择图.

(I)设函数y=/(K)的导函数y'=r(工)的图像如图4-I所示,则函数>=/(X)的单调递增

区间为

A.(-8.1)B.(-X.+∞)C.(-ɪ.+«)D.(O.+8)(C)

(2)设函数y=/(X)的导函数W(X)的图像⅛1图4-I所示.则下列结论力定正贿的是

A.在(-8.-I)内.曲线y=∕(x>是凸的

B在(-8.+8)内,曲线>=/(K)是凹的

C.在(-8.+8)内.曲线>=/(*)是凸的

D.在(-8.+8)内,曲线y=∕(*)是直线(B)

由于y'=χ+l.则有,"=I>0.从而可以判定曲线y=∕(χ)住(-8.+8)内是凹的.所以

选B.

23.D

24.B

25.D

【提示】先求9再求］俘)•

∂x∂y∖∂χ∣

“A因为合=ye",*g=e"+xye∖所以选A.

26.Aθxa八∂χ∣

【■新】本也学我的知见点是效象函IlrV一型微限存在的©念及Je义

27A注意即"“里：∙S=T∙所以造A∙

//.A•■A・一«・Y*■

28.B

29.Cdy=y,dx=cos(x2-l)(x2-l),dx=2xcos(x2-l)dx

30.A

31.

32.e2

产J∣√ɪe2

lnɪdɪ=ɪlnɪ-X•—dx=2e2-e-x=2e2-e-e2+e=e2.

JeeJeJCe

解y,=--2xdy=(-^--2x)dx

33.XX

34.1

35.

36.1/2

1

eʃ,令1=0∙则y'j

由y=2

37.1/21+(C-)IT-O

38.极小极小

39.

解题指导本题考查的知识点是连续函数在一点处的极限.

由于连续函数的极限值等于函数在该点的函数值，注意到/(H)=ln(l+，)在其定义区间

(-8,+8)内是连续的，所以必有Iimy(Z)=/(0),BPIimln(1+xi)≡ln1=0.

40.0

41.

π

因为

dx（根据奇、偶函数在对称区间上的积分性质）

ππ

2

X-=-

63

=arcSinX-JI-/+C

43.

44.-2或3

45.

x,yx-'(x+ylnx)

46.

因为sin(--)------(XTO)(Λ→0)

XX

sin(-ʌ)-ɪ3

所以Iim——--=Hm——=—

χ→o.,X、X→OX2

sm(-)—

33

47.3SinXin3*c0sx

48.

⅛x+l)tt-⅛χ÷Dn+C

49.D

50.2xydx+(x2+2y)dy

因为z∖=2xy,zʌ,=x2+2y

所以dz=z,djc+z：d>=2xydx+(Λ2+2y)dy

51.2

-Ax

22

，x+l√ZX-1+2√Z,.2√-4x

［解析1yKz)=⅛L=α+m=g?

52.

53.应填0.4.

【解析】本题考查的知识点是乘法公式.

P(AB)=P(A)P(B∖A)=0.8x0∙5=0.4.

54.3

55.11解析

Iim("-DS:2)5+3)=Hm(I+1)(1+-)(1+-)=1

i

"->8n”T8nnn

56.-(3⑵

57.

［解析］因为z*≈2xy,z∖=X2+2yF

所以dr=z：dx+r*dy=2.vydr+(x'+2.v)dy.

58.(0+∞)

(3,1)

［解析)因为∕=4x+3=15

解得%=3又y(3)=2×32+3×3-26=1

故点M的坐标是(3,1)

60.应填(2,1).

本题考查的知识点是拐点的定义及求法.

⅛

因为y∙=6(χ-2)=0,得,=2.当,=2时.y=l.

t

当»<2B4,y<0i当*>2时,/>0.所以点(2.1)姥曲线yMy÷(jr-2),的拐点.

等式两边对,求导得

/(xi-D.3x,-1.W/(x1-1)

令1=2.得〃7)=⅛.

等式两边对，求导得

f(jr,-1)∙3∙rl=1.即/(J,-D=ɪ,

w.<

令i=2,得八7)=⅛.

等式两边从0到1积分得

ʃ/(ɪ)dʃ≡=Jʃ(1—ʃ),clr+ɪʃ/(j-)cix∙

,

∕(^)dτ=2ʃ(1-ʃ)'dʃ

r5(1-1)<k=—

故/(ʃ)=*《】—1>+75.

等式两边从0到1枳分得

ʃ/(ɪ)dʃ=Jɪ(1—ʃ)dʃ÷ɪʃ/(ɪ)dʃt

/(ʃ)dʃ=2ʃ(l-ʃ)'dʃ

∕5(1-1)d/s≡—

故ʃ(ɪ)=ʃ(ɪ-+)•

63.解设F(x,y,λ)=X2+y2+λ(2x+3y-l),

令

F>2x÷2A-0,

令

尸；=2y+3Λ"0,

尸:=2x+3y-l===0,

消去A.解得χ=⅛y=A，则《春尉=E为极值•

•J1ɔ∙∖IɔIɔ/J，

(arctan∕)2d∕(arctan∕)2d∕

Iim二X

√xr+T+y∕xi+1

=Iim(aretanɪ)ɪ

,一**■

64.V

(arctan∕)2d∕(arctan∕)tdz

―L__=Iimɪ

√rr+T√7yVl

=Iim(aretanʃ)2

V

lʃsin(lnʃ)dʃeɪsin(lnʃ)]∣-Jʃdsin(ɪnʃ)

esinl-ʃeos(lrvr)dʃ

=esinl-[ɪeos(lnʃ)J+ɪdeos(lnɪ)

esinl-ecosl+1—ʃsin(lnʃ)dʃ*

sin(ɪnʃ)dɪ=《[e(sinl-cosl)+11・

65.II

[ɪsin(lnʃ)]∣∣-J

sin(lnʃ)dʃʃdsin(ɪnʃ)

esinl-ʃeos(lrvr)dʃ

=esinl-[ʃeos(lnɪ)]+ɪdeos(lnɪ)

=esinl-ecosl+I—ʃsin(lnʃ)dʃe

sin(ɪnʃ)dʃ=ɪ[e(sinl-cosl)+11・

y≡[(lnʃ)叮'∙J∙MU+(lnx),∙(Jr2)'

=[e"i>y.产+(∣αr)≡∙(ef'

=e*'b",u'r∣n(lιu)+ʃ∙∙ɪj,∙r"+(lnʃ)'∙c^'∙2lnz∙ɪ

tatarl

ln(lnɪ)+ɪl.j-*+2(lnx)f∙x^.

66.InxJ

y==[(lnʃ)*]'∙JrIIIr+(lnɪ)<•(”)’

r

=[广—了•.皿+(∣nj).(e->'

=ej∙u,l,wrIn(Ior)÷x∙ɪ∙ɪpχlnz÷(InJ/∙C∙2lαr∙ɪ

≡(lru,)j∙「In(IrU•〉+亡]∙∙rbu+2(lru∙)f•H一

用换元积分法.令∙r=tan/.则

------ɪ--dʃ=广---」------sec2∕d∕

J∙2.√ΓTJTtan"∙sec/

csc∕∙cotzdr

=­csc∕

67.

用换元积分法,令1=tan∕∙则

—2------------see2∕dr

tan"/∙sec/

cotzd∕

ɪ_3√Σ-2々

f3(

68.解法I直接求导法.

在用直接求导法时一定要注意：等式两边对H或y）求导时.应将y（或工）科成常效，而式中

的：应视为X与y的二元函数,最后再解出普（或；；）即可.

等式两边对X求导,得

8zdɪ4、,z∏HzZ

i+xS=eλ点'解得瓦=工'

解法2公式法.

设辅助函数F（x,y,x）=xs-y-e.等式两边对X求导时，式中的y与工均视为常数,用一元函

数求导公式计算.对y或：求导时,另外两个变址也均视为常数，即

解法3求全微分法.

宜接对等式两边求微分.求出&的表达式.由于d:=空<k+3dy∙所以北(或d,)前面的表达

∂x∂y

式就哨嘲•

i

因为d(w)≡dy÷d(c)t

即zdx÷xdz=dy+e*<k,

则dz≈--<k———dy,

e-Xe-X

a

所以T∂x-♦r--ɪ∙

69∙f(x)的定义域为(-8,0),(0,+∞),且

∕,(x)=2x+-⅜√-(x)=2-⅛

XX

令/'(χ)=0.得χ=-∣;令"(X)=O.得X=修.

列表如下：

X(-8,-I)-I(-1.0)(0⑶(探/8)

∕∙(χ)-0♦♦

-0♦

∕ω、接小值3拐点（苏,0）Z

由上表可知,函数/（x）的单调减少区间为（-8.-1）,单网增加区间为（-1,0）和（0,+8）；

A-I）=3为相小值;

函数/C）的凹区间为（-8,0）和（苏,+8）,凸区间为（O,］）;

拐点坐标为（/.0）∙

/1≤x≤2.

先沿y方向积分,区域D可表示成」11则

—≤y≤-r∙

J(业dy=J；dxJ；^dy

11VA.r

ɪɪ,1T\1'27

Tr÷T2J∙)l.=64∙

70.

,1≤x≤2.

先沿y方向积分,区域D可表示成」1J则

I&y&ι∙

Jqd∙rdy=J；CLri

x^^⅜,⅛)dj

,

l√.k1^η∣=27

612Jli64,

窗户的面积4=仍+亨

/和A满足2A+3∕≈12,f⅛Λ=6-⅛JtΛ4,JI∣J⅛

Λ=6Z-∣∕,+^∕J,

*6-3/+多工0.

.4(6+√T)

得

-Ti^~,

由于实际问题只有唯一的驻点，可知/=逛"31

(m)为所求

Il

⅜

∂JΓ“住)・；+4力+/(曲・(一方

z(>)÷β(f)^f∙*v),

∂e6)+"(力(-手HOW

72./„，(0+%)•

S=W俘).卜+8(0+//廿)・(一3)

≡/(r)+*(f)-f∙*,(f)∙

g=∕(f)+>ηf)∙(-^)+^(f)∙⅛

e/(7)'7，z(7)+/(x)-

2

原式=Iim221红=Iim=ɪ-

•»-<ILs√T+2J∙3

73.2-Jx

2

后十_|；2>∕I4-2x_1；2y/x-4

J尿式—Iim-------------------Iim..ɪ—

-]I√T+Σr3

2√7

74.

相应的齐次方程为

y-2y'—3y=O.

其特征方程为r1-2r-3≈0.

得特征根为b=3.rt=-1.故齐次方程的通解为

lji

y=C,e+Qe(C1,G为任意常数).

由于自由项=∙re'.A=-1是特征单根.故可设原方程的特解为

y,=j(Ar+B)e^,

将/代人原方程,得

-8Ar+2A-4B=ʃ.

有-8A=1.2A—4B=0

故原方程的特解为

/=，（一»—奈产一出2工+]….

所以原方程的通解为

ft

y=Cle*∙+Cte-⅛<2j∙+De(C,.Ct为任意常数).

相应的齐次方程为

y-2y'—3y≈0,

其特征方程为r,-2r-3=0.

得特征根为C=3.r,=-1.故齐次方程的通解为

jj

y=C,e+C2e-(C,,Cl为任意常数).

由于自由项/(∙r)=ɪe,.λ=-1是特征单根.故可设原方程的特解为

y'=j∙(Ar÷B)e-*(

将V代人原方程.得

-8Ar+2A4B=ɪ*

有-8A=ɪ∙2A—4B=0

故原方程的特解为

=j'(^⅛∙r-⅛)e^^⅛(2x+l)e∖

所以原方程的通解为

u

y=C,e+Cte-⅞(2x+l)eʃ(C∣,C1为任意常数).

75.

g(ʃ)在I=α处连续♦于是IinV<(z)=g(α).

利用函数的导数定义.知

Iirn加=3=Iim.=Sg)-O=∣img(j-)=g(α)存在.

-jr-a，一・1—0

76.故/(工)在∙r="处可导且/'(α)=g(a).

g(ʃ)在.r=α处连续.于是Iimg(工)=fζ(a).

利用函数的导数定义•知

Iim£3)一/⑷=Iitn@二1=ɪimg(ɪ)=屋0)存在，

-X-aL∙ɪ-a-

故/(ɪ)在∙r=“处可导且/'(α)=g<α).

√⅛-+^=0,

X—4JTy

即

T(7÷4-7)dj÷^=o∙

两边积分得

ɪ(ɪnIʃ—4I—ɪnIɪI)+InIʃI=C.

4

故原方程的通解

(ɪ—4)√=Cr,

77.其中特解y=O包含在通解之中.

-⅛+力=°，

1—4Jry

即1

;(±T)dj∙+,=°，

两边积分得

ɪ(ɪnIʃ—4|—ɪn∣JrI)+ln∣y∣=C

4

故原方程的通解

(ɪ—4)y4=Cr■

其中特解›=0包含在通解之中.

78.

根据题意.先做出枳分区域.如图所示.然后在极坐标

系下进行计算.

rdr

JOJOJ(IJO

根据题意，先做出积分区域.如图所示,然后在极坐标

系下进行计算.

['ʤ-f7'`√xi+√dx=pdtffr.rdr

JOJeJQJO

=f∙⅛riL=f∙

根据求导经验,直观看出原方程可写为

(e∙,,y)*=x»

两端积分有

e,*y=ɪjr*+C.

所以原方程的通解为

y=ɪʃ*e^χ,+Ce''.

79.

根据求导经验,直现看出原方程可写为

(e^*y)z=x∙

两端积分有

=-ɪ-ʃ*+C.

所以原方程的通解为

y≈ɪʃ*e~**+Ce'

80.

与原方程对应的齐次线性方程为