初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。如图1,⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。DCBDCBPOAEFPB图1AC(AC(BD，(AB(CD(分析1：由等弦AC=BDAB(CD(进一步得出=，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。CD(AB(证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于CD(AB(BD(ACBD(AC(=>OE=OF∠OEP=∠OFP=90°=>△OPE≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF=>PO平分∠APD分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。DDCBPOAPB图1-1证法2：连结OA，OD。∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB=>△ACP≌△DBPAC=BD=>AP=DPOA=OD=>△OPA≌△OPD=>∠OPA=∠OPD=>PO平分∠APDOP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角BDBDCMO.A21图2例2如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作⊙O的切线DM交AC于M。求证DM⊥AC。分析：由AB是直径，很自然想到其所对的圆周角是直角。于是可连结AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM⊥AC。证明连结AD。=>∠1=∠2AB为⊙O的直径=>∠=>∠1=∠2AB=ACDM切⊙O于D=>∠ADM=∠B=>∠1+∠B=∠2+∠ADM=>∠AMD=∠ADB=Rt∠=>DM⊥AC说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。3.当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例3如图3,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，DC切⊙O于C点。求∠A的度数。分析：由过切点的半径垂直于切线，于是可作辅助线即半径OC，得Rt△，再由解直角三角形可得∠COB的度数，从而可求∠A的度数。DDAOBC.图3解：连结OC。=>COS∠COD=OC/OD=1/2=>∠COB=60°DC切⊙O=>COS∠COD=OC/OD=1/2=>∠COB=60°OC=OB=BD=>∠A=1/2∠COB=30°说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。例4如图4，已知△ABC中，∠1=∠2，圆O过A、D两点，且与BC切于D点。求证EFEDCEDCFO12AB图4例5已知：如图5，⊙O1与⊙O2外切于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与⊙O2于点A、B、C、D。求证PB•PC=PA•PD。分析：欲证PB•PC=PA•PD，即证PA∶PB=PC∶PD，由此可作辅助线AC、BD，并证ACACNBDMPO1O2..图5=>∠C=∠DTBAO1O2图6=>O2OACNBDMPO1O2..图5=>∠C=∠DTBAO1O2图6=>O2O1必过切点T=>∠1=∠2=>O1A//O2BFEBCAO1O2..图7DCDEMNGABO2O1F图8FABDO.HEC图9BA(AF(BH(BA(BH(AF，(BA=AF，((BH(BA(BA=AF，((BH(BA(BH(AF(=>==>∠ABF=BH(AF(说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。7．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例10如图10，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上，点Q在⊙O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。PPAQBO2O1.图10分析连结O2A、O2B，在⊙O1中利用圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中，∠AQB=1/2∠AO2B=70°。证明过程略。说明，由同圆内同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半想到连结过交点的半径。几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，也是解题的重要手段。学生在做几何题时