吉大15春学期《线性代数(理专)》在线作业二答案

吉大15春学期《线性代数(理专)》在线作业二答案问题一(a)题目解答题目要求证明方程组$Ax=b$有解当且仅当向量$b$是$A$的列向量的线性组合。证明：设$A$是一个$m\timesn$的矩阵，$x$是一个$n\times1$的向量，$b$是一个$m\times1$的向量。方程$Ax=b$表示矩阵$A$的列向量的线性组合能够得到向量$b$。如果$Ax=b$有解，则表示存在一个向量$x$，使得矩阵$A$的列向量的线性组合能够得到向量$b$。反之，如果向量$b$是矩阵$A$的列向量的线性组合，即存在一个向量$x$，使得$Ax=b$成立。因此，$Ax=b$有解。综上所述，方程组$Ax=b$有解当且仅当向量$b$是$A$的列向量的线性组合。(b)例子解答考虑矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}$和向量$b=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$。我们需要判断方程组$Ax=b$是否有解。首先计算矩阵$A$的列向量的线性组合：$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1+2x_2\\3x_1+4x_2\\5x_1+6x_2\end{bmatrix}$然后，我们可以看到向量$b=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$可以通过矩阵$A$的列向量的线性组合得到，例如取$x_1=1$和$x_2=2$，有：$\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+2(2)\\3+2(4)\\5+2(6)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\11\\17\end{bmatrix}=b$因此，方程组$Ax=b$有解。问题二(a)题目解答题目要求求解线性方程组$Ax=b$，其中$A=\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}$，$b=\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}$。解答：要求解方程组$Ax=b$，可以使用矩阵的逆或高斯消元法。(1)使用矩阵的逆：首先，计算矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$：$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$其中，$a=2$，$b=-1$，$c=-3$，$d=4$。计算得到：$A^{-1}=\frac{1}{(2)(4)-(-1)(-3)}\begin{bmatrix}4&1\\3&2\end{bmatrix}=\frac{1}{11}\begin{bmatrix}4&1\\3&2\end{bmatrix}$然后，可以通过方程$x=A^{-1}b$求解向量$x$：$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{11}+\frac{1}{11}(7)\\\frac{3}{11}+\frac{2}{11}(7)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{11}{11}\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}$因此，线性方程组$Ax=b$的解为$x=\begin{bmatrix}1\\\frac{17}{11}\end{bmatrix}$。(2)使用高斯消元法：将增广矩阵$[A|b]$进行高斯消元：$\begin{bmatrix}2&-1&1\\-3&4&7\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(1/2)R_1}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\-3&4&7\end{bmatrix}\xrightarrow[]{3R_1+R_2}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\0&5/2&25/2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(2/5)R_2}\begin{bmatrix}1&-1/2&1/2\\0&1&5\end{bmatrix}\xrightarrow[]{(1/2)R_2+R_1}\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&5\end{bmatrix}$可以得到$x_1=3$和$x_2=5$，因此线性方程组$Ax=b$的解为$x=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$。(b)结果验证将解$x=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$代入方程组$Ax=b$进行结果验证：$\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}=\b