四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义2函数的定义域

Page5函数的定义域：知识梳理函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数定义域常见的有两类题型：1.已知函数解析式求函数定义域；2.求复合函数的定义域题型一：已知一个函数，若没有特别说明，其定义域就是使函数表达式有意义的实数的集合。求法：给定解析式的函数定义域的方法：其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义（常见的有：分母不等于0；根指数为偶数时被开方数大于或等于0；真数大于0；0的0次方无意义）为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.例1：若是选择题，通法：1.函数f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,x－2)的定义域为()A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)2.函数的定义域为()A.(2,3) B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]3.已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数的定义域为()A．[eq\f(3,2)，＋∞) B．[eq\f(3,2)，2)C．(eq\f(3,2)，＋∞) D．[eq\f(1,2)，2)4.若函数y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0，eq\f(3,4)] B．(0，eq\f(3,4))C．[0，eq\f(3,4)] D．[0，eq\f(3,4))例2.1.【2019年高考江苏】函数的定义域是.2．【2022年北京】函数的定义域是_________．例3：1.若函数的定义域为R，则a的取值范围为________．2.若函数y＝eq\f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．题型二：复合函数定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.例1.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.B.C.D.例2.设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为()A.(－9，＋∞) B.(－9，1)C.[－9，＋∞) D.[－9，1)例3．设f(x)是定义在[－3，2]上的函数，求下列函数的定义域 （1） （2） （3）函数的定义域：知识梳理函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数定义域常见的有两类题型：1.已知函数解析式求函数定义域；2.求复合函数的定义域典例分析题型一：已知一个函数，若没有特别说明，其定义域就是使函数表达式有意义的实数的集合。求法：给定解析式的函数定义域的方法：其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义（常见的有：分母不等于0；根指数为偶数时被开方数大于或等于0；真数大于0；0的0次方无意义）为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.例1：若是选择题，通法：代入验证1.函数f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,x－2)的定义域为()A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)答案C解析：由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x－2≠0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x≠2，))所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞).2.(2015·湖北高考文科·T6)函数的定义域为()A.(2,3) B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]答案C解析：选C.由函数y=f(x)的表达式可知,函数的定义域应满足条件:,解得-4≤x≤4,x>3或2<x<3,即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].3.已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数的定义域为()A．[eq\f(3,2)，＋∞) B．[eq\f(3,2)，2)C．(eq\f(3,2)，＋∞) D．[eq\f(1,2)，2)答案B解析：要使函数有意义，需满足⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤3，,0<2－x<1))⇒eq\f(3,2)≤x<2.4.若函数y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0，eq\f(3,4)] B．(0，eq\f(3,4))C．[0，eq\f(3,4)] D．[0，eq\f(3,4))答案D解析：要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m≠0时，要使不等式恒成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝4m2－4×m×3<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,m4m－3<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m4m－3<0.))解得0<m<eq\f(3,4).由①②得0≤m＜eq\f(3,4)，故选D.例2.1.【2019年高考江苏】函数的定义域是.答案：解析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为.2．【2022年北京】函数的定义域是_________．答案：解析：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：例3：1.若函数的定义域为R，则a的取值范围为________．答案：[－1,0]解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以对x∈R恒成立，即恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.2.若函数y＝eq\f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．答案：[0,3)解析：因为函数y＝eq\f(ax＋1,ax2＋2ax＋3)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0<a<3.综上所述，a的取值范围是[0,3)．题型二：复合函数定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.例1.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ4）已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.B.C.D.答案:B解析:选B.令，由的定义域为可知，即，得.例2.设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为()A.(－9，＋∞) B.(－9，1)C.[－9，＋∞) D.[－9，1)答案:C解析：易知f[f(x)]＝f[lg(1－