华师大版初中数学八年级下册全册教学课件

第16章分式16.1分式及其基本性质1.分式学习目标1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别.2.了解分式有意义的条件，会求分式的值.（重、难点）3.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感.（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为

米；

.思考：式子、与我们所学的分数有什么不同，它们有什么共同特点？你还能举出类似的式子吗？一、分式的概念知识讲解

形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0

)

的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.理解要点：（1）分式也是代数式；（2）分式是两个整式的商，它的形式是（其中A、B都是整式并且还要求B是含有字母的整式）；（3）A为分式的分子，B为分式的分母.

思考:1.分式概念的形成过程，体现了什么数学思想方法？（如分类讨论、整体、类比、数形结合等思想）2.分式与整式的区别是什么？

分母中必须含有字母

下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？解：和是整式，和是分式.例1判一判：下面的式子哪些是分式？分式:1.判断时，注意含有的式子，是常数.2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：.总结二、分式有意义的条件及分式的值

我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？

当B=0时，分式无意义.当B≠0时，分式有意义.当x取什么值时，下列分式有意义?

解：（1）分母x－1≠0，即x≠1.所以，当x≠1时，分式有意义.

（2）分母2x+3≠0，即x≠.

所以，当x≠时，分式有意义.例2(1)(2);.总结：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．思考：当x取什么值时，分式的值①存在？②不存在？→有意义→无意义

做一做

分式的值为零应满足什么条件？当A=0而B≠0时，分式的值为零.注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.想一想解：当分子等于零而分母不等于零时,

分式的值为零，

的值为零.∴当x=1时，分式∴x=-1，则x2-1=0，且x+1≠0，

当x为何值时，分式的值为零?例3例4求下列条件下分式

的值.

（1）x=3； （2）x=－0.4.解（1）当x=3时，（2）当x=－0.4时，3.填表：x…-3-2-10123………01-2-1填表：随堂训练

BDB4.当x取什么值时，分式:

①有意义？②无意义？

__________

解：

__________

__________

代数式整式分式分式分母中必含有字母;分式有意义的条件：分母不能为零;当分子为零，分母不为零时，分式值为零.课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.1分式及其基本性质2.分式的基本性质学习目标12理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步．（重点）掌握分式的基本性质，掌握分式约分的方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义．（重点、难点）填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据.（1）；

分数的分子、分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变.（2）.8991

分数的分子、分母都除以它们的一个公约数，分数的值不变.一、分式的基本性质知识讲解与分数类似，分式有以下基本性质：

分式的分子与分母都乘（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.上述性质可以用式子表示为：其中A、B、C是整式.例1根据分式的基本性质填空：（1）

；（2）；（3）.分析（1）因为的分母-a乘-1就能化为a，根据分式的基本性质，分子也需乘-1，这样所得分式才与原分式相等.

（1）

（2）因为的分母y乘x就能化为xy，根据分式的基本性质，分子也需乘x，这样所得分式才与原分式相等.

（2）（3）因为的分子5x除以x就能化为5，根据分式的基本性质，分母也需除以x，这样所得分式才与原分式相等.

（3）解

（1）因为

，所以括号中应填a2-1.（2）因为

，（3）因为，所以括号中应填x-3.所以括号中应填x2.填空：

归纳：看分母如何变化，想分子如何变化.看分子如何变化，想分母如何变化.练一练

运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”(2)“同一个”(3)“不等于零”想一想不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号:

⑴⑵⑶解:（1）

=（2）=（3）=例2分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变。

把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.

分式

经过约分后得到

，其分子与分母没有公因式.分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.二、分式的约分约分的概念：最简分式的概念：（1）找出系数的最大公约数.（2）找出分子、分母相同因式的最低次幂.找公因式的方法：

约分：（1）；（2）.分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.解：（1）（2）例3

约分:

先找出分子和分母的公因式.

练一练

分析

若分子或分母是多项式,则先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分.解：（1）公因式是5abc.

所得结果要为最简分式或整式哦！（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．约分的基本步骤注意：（1）约分前后分式的值要相等；（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式；（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.最小公倍数最简公分母最高次幂单独字母

类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.找出下面各组分式的最简公分母：试一试三、分式的通分不同的因式

最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.找最简公分母：第一看系数；第二看字母(式子）.分母是多项式的先因式分解，再找公分母.

分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母（叫做最简公分母）.通分

通分：（1）最简公分母：通分：（2）最简公分母：通分：解：分析：把异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的公式，确定最简公分母是通分的关键.例5最简公分母：解：分析：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，即最简公分母.随堂训练1.

填空:．2.分式的最简公分母是

.2x(x-1)(x+1)3.下列各式中是最简分式的是（）4.约分：B解：最简公分母是5.通分：_____

==_______

=_______

=_____

最简公分母是_________

===_______

15bc3=_________

3c•5bc2=_______

_________

=_______

6.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各项系数都化为整数.⑴

⑵

解：⑴⑵课堂小结分式的基本性质分式的约分求值先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分.（1）找系数；（2）找字母；（3）找指数分式的通分谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式1分式的乘除第16章分式学习目标12会用分式的乘、除法法则进行运算.（重点、难点）理解并掌握分式的乘、除法法则;了解分式的乘方的意义及其运算法则并根据分式乘方的运算法则正确熟练地进行分式的乘方运算.（重点）3观察下面的运算，你想到了什么？这些运算运用分数的乘、除法法则.分数的乘、除法法则：

2.两个分数相除，把除数的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘.

1.两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；想一想：

类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？一、分式的乘、除法知识讲解把a、b、c、d看做数，就可以利用分数的乘、除法法则算出结果了.★分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

★分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

上述法则用式子表示为：分式的乘除法法则：例1

计算：（1）解：（1）结果能约分的应约分.（2）（2）先把除法转化为乘法例2

计算：解：原式=

分子、分母是多项式时，先因式分解，便于约分.约分解：原式=约分先把除法转化为乘法.注意：按照法则进行分式乘除运算，若分式的分子、分母可以因式分解，则先因式分解再进行运算.解：练一练计算：2.分子或分母是多项式的，要按下面步骤进行：①把各分式中分子或分母里的多项式进行因式分解；②应用分式乘除法法则进行运算；(注意:将除法转化为乘法）③约分、化简.（结果为最简分式或整式)分式乘除法的解题步骤:总结

1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.另外：在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式！二、分式的乘方算一算：根据乘方的意义计算下列各式：猜想：计算：探究、归纳你能类比分数的乘方运算，计算下列各式吗？探究:

你能总结出什么规律吗？类似地，对于任意一个正整数n，有即分式的乘方是把分子、分母各自乘方.分式的乘方总结归纳例3

计算：解：(1)原式=（2）原式=1.判断下列各式是否成立，并改正.

练一练注意：做乘方运算要先确定符号.分析先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，最后进行约分化简．2.计算：解：

进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正．方法总结随堂训练1.计算的结果是（）A.B.C.D.C

=

3.计算：

4.计算：解：5.先化简，再求值：，其中x+y=3.解：当x+y=3时，原式课堂小结★分式乘法法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.

★分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

★分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母各自乘方.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.2分式的运算第16章分式第1课时同分母分式的加减2分式的加减学习目标1.理解同分母分式的加减法则；（重点）2.能运用同分母分式的加减法则进行加减运算.（难点）新课导入你知道吗？原来丢番图是在寻找平方和为4的平方的两个数！以上是我们以前学过的同分母分数的加法。同分母分式加、减法的法则是怎样的？与同分母分数加、减法的法则一样吗？类比同分母分数的运算,同分母的分式应该如何加减?运算法则：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减．知识讲解知识讲解同分母分式的加减1计算：类比：类比猜想时记得约分哦运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

-1直接说出运算结果：（2）（1）（3）（4）比一比例1

计算：解：原式解：原式===分子是多项式，把分子看成一个整体，先用括号括起来！结果要化为最简分式！

计算：=（）例2原式====互为相反数想一想:.,.你能用分式的符号法则将它们化为一样的吗？计算：例3（因式分解）（分子为多项式时，应先加括号）(此处要约分吆！）解：原式===

计算：负号提到分数线前，整体上要括上括号=练一练：同分母分式加减运算步骤：（1）分母不变，分子相加减,分子为多项式时，要加括号;（2）去括号;（3）合并同类项;（4）分子分母因式分解;（5）约分，化为最简分式或整式.总结A. B．C.－1D．21.

计算的正确结果为（

) C2.填空：

随堂训练解：原式解：原式3.计算：1.同分母分式的加减法法则:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.课堂小结2.同分母分式加减运算步骤：（1）分母不变，分子相加减；（2）去括号；（3）合并同类项；（4）分子分母因式分解；（5）约分，化为最简分式或整式.（1）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子用括号括起来；（3）分式加减运算的结果一定要化为最简分式或整式.（2）分母是多项式时，能分解因式的要先分解因式；3.注意：谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.2分式的运算第2课时同分母分式的加减2分式的加减学习目标1.掌握异分母的分式加减法法则，能熟练地进行异分母分式的加减运算；（重点）2.通过异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算，多项式去括号法则以及分式的通分.算一算：+=_________=_____-=_________=_____+-问题：从上面的例子看到，异分母的分数加减法是如何进行的？新课引入异分母的分数相加减：要先_____，化成_________分数,然后再相加减.关键是找出各分母的______________.通分同分母的最小公倍数知识讲解异分母分式的加减类比前面异分母的分数加减法，你能进行下面的分式加减法吗？+=_____________=________=_____________=______+_____

_____

_______

_______

-_______

_______

-由上可见异分母的分式加减法如何进行呢？关键是做什么？异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.关键是找最简公分母回顾

分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，通分的关键是确定几个分式最简公分母.找最简公分母：第一看系数；第二看字母(式子）.分母是多项式的先因式分解，再找公分母.异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减.即异分母分式的加减法例1计算：解：解：原式=分母不同，先通分，化为同分母.计算：先找最简公分母例2原式===通分，先化为同分母=注意：分母是多项式先分解因式分母不变，分子相加减例3计算：解：原式===注意：整式部分看成分母为1=通分，先化为同分母分母不变，分子相加减例4计算：异分母分式加减运算步骤：（1）通分，化为同分母的分式；（2）将同分母分式中的分子相加减；（3）分子去括号，合并同类项；（4）化为最简分式.总结1.计算：随堂训练；.；2.先化简，再求值：，其中x＝2021.解：(1)原式=

3.已知，求的值.

解：原式因为即所以，原式还有其他解法吗？课堂小结分式加减运算的方法思路：

通分

转化为异分母相加减同分母相加减分子（整式）相加减分母不变转化为异分母分式加减运算步骤：（1）通分，化为同分母的分式；（2）将同分母分式中的分子相加减；（3）分子去括号，合并同类项；（4）化为最简分式.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.2分式的运算第3课时分式的混合运算2分式的加减学习目标12明确分式混合运算的顺序.（重点）熟练地进行分式的混合运算.（难点）利用分式的混合运算解决实际问题.3温故知新1.分式的乘法2.分式的除法4.分式的加减3.分式的乘方同分母加减：异分母加减：分式的运算法则问题

如何计算？

请先观察并思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.

分式的混合运算知识讲解解：先乘方，再乘除，最后加减.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.注意：计算结果要化为最简分式或整式．

计算：

解：原式出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”.1、利用整体思想解分式的混合运算例1解：原式注意：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体【练一练】解：原式计算：解：原式方法总结：观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度.

计算：

2、灵活运用运算律例2

计算：分析把和看成整体，题目的实质是平方差公式的应用.解：原式3.乘法公式的应用例3

★分式的混合运算：（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，后算加减；（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.

★混合运算的特点：混合运算是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.1.计算的结果是（）A.B.C.D.2.化简的结果是

.3.化简的结果是

.C随堂训练4.计算：解：（1）原式

（2）原式5.

先化简，再求值：，其中a=1,b=3.解：原式=当a=1，b=3时，原式=课堂小结分式的混合运算明确运算顺序1.同级运算自左向右进行；2.运算律可简化运算谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.3可化为一元一次方程的分式方程1分式方程的概念及其解法学习目标1.了解分式方程的概念.

（重点）2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点）3.理解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法.

（难点）

最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫最简公分母。温故知新温故知新2.方程：含有

的

式叫做方程.4.整式方程：分母不含有未知数的方程叫做整式方程。(1)一元一次方程是

方程。(2)一元一次方程解法步骤是：整式①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为13.方程的解：使方程左右两边

的未知数的值叫方程的解。相等未知数等

一艘轮船在顺水时航行80千米和在逆水时航行60千米用的时间相同，已知水流的速度是3千米/时，问轮船在静水中的速度x千米/时应满足怎样的方程.问题1新课导入与之前学过的整式方程有什么区别？某校八年级学生乘车去秋游，有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km.若走线路二平均速度是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min,求走线路一、二的平均速度分别是多少？••学校风景区

25

301.5x3061-=x25问题2方程中含有分式，并且分母中含未知数，像这样的方程叫作分式方程.观察前面所列的方程：1.分式方程的概念知识讲解1.5x3061-=x25例1下列方程中，哪些是分式方程？请找出。分式方程判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)交流：类比一元一次方程的解法，在方程的两边都乘以什么就可去掉分母？2.分式方程的解法及增根如何解方程？解：方程两边都乘以最简公分母6x

得：25×6-30×4=x，解得x=30.检验：把x=30代入原方程得分式方程的解也叫作分式方程的根.1.5x3061-=x25各分式的最简公分母6x左边=61=1.5×3030-3025=右边，因此x=30是原方程的解.想一想：x=30是原方程的解吗？如何检验？解分式方程的基本思路：最关键的是去分母“去分母”即方程两边同乘最简公分母.分式方程整式方程去分母这也是解分式方程的一般方法.解方程：解这个一元一次方程，得x=1.解：方程两边都乘最简公分母，得

检验：把x=1代入原方程，两边分母为0，分式无意义.因此x=1不是原分式方程的解，从而原方程无解.分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.x+1=2两边同乘(x-1)(x+1)

真相揭秘：提醒：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根.分式方程的解的检验——必不可少的步骤

将求得的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.检验分式方程解的方法（公分母检验法）1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。4.写出原方程的根.解分式方程的一般步骤：勿漏乘整式项！勿忘验根！分式方程一元一次方程x=cx=c是否使最简公分母的值为0两边都乘以最简公分母解方程检验否原方程的解是增根

解方程：(1)方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.(2)方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.例1解：若关于x的分式方程无解，求m的值．解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.例2两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0总结

分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．1.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是()

D

随堂训练2.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是

．a＜－1且a≠－23.解方程：

解：方程两边同乘以x-4，检验：把x=5代入x-4，得x-4≠0

.∴x=5是原方程的解.

得x-4+x-5=1，∴x=5，解：方程两边同乘以检验：把x=2代入(x+2)(x-2)，得(x+2)(x-2)

=0.

∴x=2是增根，从而原方程无解.

4.若关于x的方程有增根，求m的值.解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4,

合并同类项,得3x=6+m,∴m=3x-6.∵该分式方程有增根，∴x=2，∴m=0.课堂小结分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘．步骤（去分母法）一化（分式方程转化为整式方程）；二解（整式方程）；三检验（代入最简公分母看是否为零）(2)约去分母后，分子是多项式时,要添括号．(因分数线有括号的作用）(3)不要忘记检验谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.3可化为一元一次方程的分式方程2分式方程的应用学习目标1.进一步熟悉掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；2.掌握列分式方程解决实际问题.（重点，难点）1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪几个步骤？分式方程整式方程转化去分母一化二解三检验3.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?你还记得吗？温故知新（1）设未知数；（2）找等量关系；（3）列出方程；（4）解方程；（5）检验作答.知识讲解例1用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各输入多少个数据？解：设乙每分钟输入x个数据，则甲每分钟输入2x个数据.根据题意，得

解得x=11.经检验，x=11是原方程的解.

当x=11时，2x=22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用120分钟，符合题意.故甲每分钟输入22个数据，乙每分钟输入11个数据.列分式方程解应用题的一般步骤:1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4.解:认真仔细解这个分式方程.5.验:检验.6.答:注意单位和语言完整.注意两次检验:(1)是否是所列方程的解;(2)是否满足实际意义.总结归纳例2

国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？分析：本题涉及的等量关系为补贴前11万元购买的台数×(1+10%)=补贴后11万元购买的台数.解：

设该款空调补贴前的售价为每台x元，由上述等量关系可得如下方程：即方程两边同乘最简公分母x(x-200)，解得

x=2200.得

1.1(x-200)=x.检验：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0，

因此x=2200是原方程的根，且符合题意.答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲队乙队方法1：等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”

表格分析法解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是，根据题意，得即方程两边都乘2x,得解得x=1.

检验：当x=1时，2x≠0.所以，原分式方程的解为x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.等量关系：甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？工作时间（月）工作效率工作总量（1）甲单独两队合作设乙单独完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是甲队的工作效率是，合作的工作效率是.此时方程是：1方法2：工程问题中的三个量，两个对象，一个等量关系1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.适当设元，如×单独完成需x（单位时间），则可表示出其工作效率；3.弄清基本的数量关系.如题中的“合作的工效=甲、乙两队工作效率的和”；三量：工作效率、工作时间、工作量；两个对象：指问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队或“甲单独和两队合作”；一个等量关系：如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.注意：

例4

朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少千米/小时？0180200路程速度时间面包车小轿车200180x+10x分析：设小轿车的速度为xkm/h.面包车的时间=小轿车的时间

等量关系：

列表格如下：列方程，得解：设小轿车的速度为xkm/h，则面包车速度为（x+10）km/h，依题意，得解得x＝90.经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.故面包车的速度为100km/h，小轿车的速度为90km/h.1．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是(

)B随堂训练2.商场2用50000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进

件T恤衫.1

0003.某工程队需要在规定日期内完成.若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成.现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？解；设规定日期是x天，根据题意，得：方程两边同乘以x（x+3），得：2（x＋3）＋x2=x（x＋3）.解得：x=6.检验：x＝6时x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解.答：规定日期是6天.4.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度.解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意,得解得x=±18.经检验，x=18是原方程的解，且符合题意.故船在静水中的速度为18千米/时.方程两边同乘（x-2)(x+2),得80x+160－80x+160=x2－4.通过本课时的学习，我们有什么收获？1.会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:分析题意,找出数量关系和相等关系；(2)设:直接设法与间接设法；(3)列:根据等量关系,列出方程;(4)解:解方程,得未知数的值；(5)检:有两次检验.①是否是所列方程的解;②是否满足实际意义.(6)答:注意单位和答案完整.课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.4零指数幂与负整数指数幂1.零指数幂与负整数指数幂第16章分式学习目标理解零指数幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算;（重点，难点）复习回顾同底数幂相除,底数不变,指数相减.即问题

同底数幂的除法法则是什么？若m≤n时同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？知识讲解根据分式的基本性质，如果a≠0，m是正整数，那么等于多少？问题引导1.零指数幂总结如果把公式（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）推广到m=n的情形，那么就会有这启发我们规定即任何不等于零的数的零次幂都等于1.例1已知(3x－2)0有意义，则x应满足的条件是________．解析：根据零指数幂的意义可知：(3x－2)0有意义，则3x－2≠0，.总结：零指数幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零指数幂有意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可．例2

若(x－1)x＋1＝1，求x的值．解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1；②当x－1＝1，即x＝2时，原式＝13＝1；③当x－1＝－1，即x＝0时，0＋1＝1不是偶数，故舍去．故x＝－1或2.方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1.即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0和底数等于1或－1.2.负整数指数幂想一想：

an中指数n可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂an表示什么？问题计算：a3÷a5=?(a≠0).思考：如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=amn(a≠0,m、n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.于是得到：一般地，当n是正整数时，

负整数指数幂的意义：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数例3

计算：解：

A．a＞b＝cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞aB方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．【解析】例4例5

把下列各式写成分式的形式：解:例6计算：－22＋(－)－2＋(2021－π)0－|2－π|.解：－22＋(－)－2＋(2021－π)0－|2－π|＝－4＋4＋1－2＋π

＝π－1.随堂训练1.比较大小：（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；（2）3.01×10－4________3.10×10－4.<<2.把下列各式写成分式的形式：

3.计算：

1

1644.计算：零指数幂与负整数指数幂负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=课堂小结零指数幂：当a≠0时，a0=1.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第16章分式16.4零指数幂与负整数指数幂2.科学计数法第16章分式学习目标1.理解用科学记数法表示绝对值较小的数.（重点）2.能正确地用科学记数法表示绝对值较大（小）的数.（重点）复习回顾科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.例如，864000可以写成

.

8.64×105想一想怎样把0.0000864用科学记数法表示？知识讲解用科学计数法表示绝对值小于1的数因为所以，

0.0000765=7.65×0.00001=7.65×10-5.想一想用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：

即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣<10.

10－2=___________;10－4=___________;

10－8=___________.

指数与运算结果的0的个数有什么关系？一般地，10的-n次幂，在1前面有___个0.10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？0.010.00010.00000001通过上面的探索，你发现了什么？n算一算想一想用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.例1某人体中成熟的红细胞的平均直径约为0.0000077m，试用科学记数法表示该数.解:0.0000077=7.7×10-6m.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数例2用小数表示下列各数：

(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.分析

小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7＝0.0000002.(2)3.14×10－5＝0.0000314.(3)7.08×10－3＝0.00708.(4)2.17×10－1＝0.217.例3纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间的缝隙忽略不计）？1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.解：1018是一个非常大的数，它是1亿（即108）的100亿（即1010）倍哦！随堂训练1.用科学记数法表示：（1）0.00003；（2）-0.0000064；（3）0.0000314.

2.用科学记数法填空：（1）1s是1μs的1000000倍，则1μs＝______s；（2）1mg＝______kg；（3）1μm＝______m；（4）1nm＝______μm；（5）1cm2＝______m2；（6）1ml＝______m3.3.用科学记数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=

.

4.下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.（1）2×10－8；

（2）7.001×10－6.

解:（1）0.00000002.（2）0.000007001课堂小结用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10.n等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第17章函数及其图象17.1变量与函数第17章函数及其图象第1课时变量与函数的概念及表示学习目标312了解常量、变量和函数的概念，体会变化与对应的思想.（重点）能根据条件写出简单的函数关系式，并能准确地识别自变量、因变量和常量.（难点）了解函数的三种表示方法.

大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.

新课导入（1）这天的6时的气温是

℃，14时的气温是

℃，22时的气温是

℃；（2）这一天中，最高气温是

℃，最低气温是

℃；（3）这一天中，什么时段气温在逐渐上升？什么时段气温在逐渐下降？问题1如图，是某地一天内的气温变化图，看图回答：-15-25

o3时-14时气温逐渐上升0时-3时、14时-24时气温逐渐下降合作探究观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重的增加较快？周岁12345678910111213体重7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重（kg），如下表：

随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1－2岁增加较快.合作探究细心的同学可能会发现：λ

与

f

的乘积是一个定值，即

说明波长越大，频率f

就____________

问题3：收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

λ·f=30000波长λ（m）30050060010001500频率f（kHz）1000600500300200越短合作探究

11.522.63.2……

π2.25π4π6.76π10.24π越大合作探究在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.在第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.在第2个问题中，有两个变量，一个是年龄，另一个是体重，体重随着年龄的变化而变化.知识讲解1.常量和变量在第3个问题中，λ和f是变量，而它们的积等于300000，是常量.在第4个问题中，S和r都是变量，π和2都是常量.常量：在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.大家举例说一说哪些是常量和变量？知识讲解例1

指出下列事件过程中的常量与变量.(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是

，变量是

；(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是

，变量是

；(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式中，其中常量是

，变量是

.5a，m2，πC，r注意：π是一个确定的数，是常量S，h例2

阅读并完成下面的问题：⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是

,变量是

.⒉一段s米的路程，某人的速度为a米／分，跑完需用的时间为t分钟，其中常量是

,变量是

.3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：

.

在不同的条件下，常量与变量是相对的at,ssa,t一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，假设为x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.函数的概念知识讲解2.函数上述的第3个问题中，λf=300000，给出一个f的值，变量λ有唯一值与之对应，f是自变量，λ是因变量（λ是f的函数）.上述的第4个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S的唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量（S是r的函数）.知识讲解判断下列变量关系是不是函数？(1)正方形的边长与面积.

总结：判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义.是不是试一试

3.函数的表示方法1.先认真审题，根据题意找出相等关系；2.按相等关系，写出含有两个变量的等式；3.将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子.书写函数关系式步骤：知识讲解

书写格式知识讲解随堂训练1.下列各表达式不是表示y是x的函数的是()A.B.C.D.C2.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为

，这个关系式中，

是常量，

是变量，

是

的函数.60s=60tt和sst3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是

，其中的常量是

，变量是

.

Q=40-5t40，5Q，t4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是

．y=0.5x课堂小结变量与函数常量变量函数在某一变化过程中始终保持不变的量.在某一变化过程中可以取不同数值的量一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，假设为x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第17章函数及其图象17.1变量与函数第17章函数及其图象第2课时自变量的取值与函数值学习目标12理解自变量应符合实际意义.（难点）会求函数的值，并确定自变量的取值范围.（重点）1.什么是变量？什么是常量？

在某一变化过程中,可以取不同数值的量，叫做变量.还有一种量，它的取值始终保持不变，称之为常量.知识回顾

2.什么是自变量？什么是因变量？知识回顾3.函数有几种表示方法？（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法.（1）填写如图所示的10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？987654632512+123456789101010101010101010涂黑的格子成一条直线合作探究987654632512+123456789101010101010101010

合作探究987654632512+123456789101010101010101010（3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

合作探究

yx例1等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.知识讲解想一想：下列函数中自变量x的取值范围是什么？

x取全体实数0-1-2(2)分式：(3)二次根式：(1)整式：自变量的取值范围的求法(4)对于混合式：取使每一个式子有意义的值取全体实数取使分母不为0的值取使“被开方数≥0”的值1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有意义

已知函数(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0.把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的