2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷

2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共有8小题。每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求：

1.（5分）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度〃（单

位：m）与起跳后的时间，（单位：s）存在函数关系⑺=-4.9r2+4.8z+lL则运动员

在f=Is时瞬时速度为（）

A.SmlsB.-lθ.9m∕sC.↑0.9m∕sD.Tmls

2.（5分）3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的

报名方法的种数是（）

A.8B.6C.5D.9

3.（5分）设离散型随机变量X的分布列为「（X=O）=0.2,P（X=I）=0.6,P（X=2）

=0.2,则E（2X-3）=（）

A.2B.1C.-1D.-2

4.（5分）在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件中任意抽出3件，抽出的

3件中恰有1件是次品，则不同抽法的种数是（）

A.56B.28C.120D.16

5.（5分）己知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=/（x）的图象

如图所示，则该函数的图象是（）

XO123

P0.20.30.4a

则下列计算结果正确的是()

A.α=0.2B.P(X22)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

7.(5分)小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车

平均用时30加〃，样本方差为36；骑自行车平均用时24加"，样本方差为4,假设做公交

车用时X-N(30,62),骑自行车用时Y-N(34,22),贝IJ()

A.P(X≤38)>P(r≤38)

B.P(X≤34)>P(F≤34)

C.如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车

D.如果有34分钟可用，小明应选择自行车

8.(5分)已知函数/(x)=ex+,-In(x+M,X=-1为/(x)的极值点，贝IJ()

A.f(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增

B./(x)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减

C./(X)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减

D./(x)在(-2,-I)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对5分，部分选对得2分，有错项不得分)

(多选)9.(5分)下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有()

A.在经验回归方程丫=-0.4%+3中，当解释变量X每增加1个单位时，相应变量y增加

0.4个单位

B.若样本相关系数「的绝对值越接近于1,则车队样本数据的线性相关程度越强

C.若决定系数炉的值越接近于0,则表示回归模型的拟合效果越好

D.在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

（多选）10.（5分）下列求导运算正确的是（)

A.若/（x）=sin（2Λ-1）,则/（ɪ）=2cos（2χ-l）

B.若f（x）=∕°∙°5χ÷l,则/（%）=∕0∙05χ+l

c.若"X）=奈则r（%）=皆

D.若/（X）=xlnx,f（x）=Inx+]

（多选）11.（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的

杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.结合图形，以下

关于杨辉三角的叙述正确的是（）

A.第9行中从左到右第6个数是126

B.+C；_i=

C.Cn+Cn+∙..+Cn=2n

D.废+或+C∣+...+C⅛=330

（多选）12.（5分）已知函数f（x）=-（x+l）/下列说法正确的是（）

A.7（x）在（-8,-2）上单调递减，在（-2,+∞）上单调递增

B.f（x）在R上仅有一个零点

C.若关于X的方程f（x）=a（«eR）有两个实数解，则α<∕2

D./（ɪ）在R上有最大值/2,无最小值

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分

13.（5分）假如女儿的身高y（单位：cTH）关于父亲身高X（单位：cm）的经验回归方程是

y=0.8%+25,已知父亲身高为175a”，估计女儿的身高为cm.

14.（5分）由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是.

15.（5分）现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，

有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有

0.25,小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为.

16.（5分）盒子中有4张面值为100元的奖券，3张面值10元的奖券，2张面值为5元的

奖券，预从中任取两张，记去取出的面值100元的奖券数为X,则P（X=2）

=,E（X）=.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知二项式G+2x）τι（n6N*）的展开式，,给出下列条件：

①第二项与第三项的二项式系数纸币是1：4；

②所有偶数项的二项式系数和为256；

③展开式中第4项的常数项.

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：

（1）求展开式中/3的系数；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.

18.（12分）某企业2017年至2021年年销售量收益y（单位：百万元）与广告投入χ（单

位：万元）的数据如下表：

年份20172018201920202021

广告投入X12345

年销售收益），23367

表中的数据显示，可用一元线性回归模型建议X与y之间的经验回归方程.

（1）求年销售收益y关于广告投入X的经验回归方程；

（2）求决定系数W的值.

参考公式：经验回归方程y=bx+α中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

Σkι(y「y)2

•∑rL1(χi-χ)(y,-y)

2,a=y—bχ92

∑⅛1(xi-x)∑ILι(y-y)

19∙（12分）为「有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对

本校学生体育锻炼的经常性有影响，位次在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生

有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人.

（1）请根据题意完成下面的2X2列联表；

经常锻炼不经常锻炼合计

男生

女生

合计

(2)根据(1)中的2X2列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为性别

因素为本校学生体育锻炼的经常性有影响？

附:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

参考公式∙Y2=-----九(Qd-加)-------

々受5X(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)∙

1

20.(12分)设x>0,/(x)=bιx,g(x)=l-右

(1)求证：直线y=χ-1与曲线y=∕(x)相切；

(2)判断/(x)与g(X)的大小关系，并加以证明.

21.甲乙两名同学进行中国象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是1,乙获胜的概率是土规

定：每一局比赛中胜方记1分，负方记。分，先得3分者获胜，比赛结束.

(1)求比赛结束时，恰好进行4局的概率；

(2)若家以2：1领先乙时，记X表示比赛结束是还需要进行的局数，求X的分布列及

数学期望.

22.(12分)已知函数/(x)=0r3+⅛x2+cx+J(a≠0).

(1)当x=2时，/(x)取得极小值-10；当X=-2时，/(x)取得极大值22,求a+h+c-^d

的值；

(2)讨论/(x)的单调性.

2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共有8小题。每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项符合题目要求：

1.（5分）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度〃（单

位：m）与起跳后的时间f（单位：s）存在函数关系∕z（f）--4.9r2+4.8f+ll,则运动员

在f=Is时瞬时速度为（）

A.5m∕sB.-↑0.9m∕sC.10.9∕n⅛D.-5mls

【解答】解:-；h（Z）=-4.9?+4.8z+ll,

：.h'（Z）=-9.8/+4.8,

则运动员在f=ls时瞬时速度为-9.8+4.8=-5（〃?/s）,

故选：D.

2.（5分）3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的

报名方法的种数是（）

A.8B.6C.5D.9

【解答】解：每一名同学有2种选法，则不同的报名方法的种数是23=8,

故选:A.

3.（5分）设离散型随机变量X的分布列为「（X=O）=0.2,P（X=I）=0.6,P（X=2）

=0.2,则E（2X-3）=（）

A.2B.1C.-1D.-2

【解答】解：由题意可得，E（X）=OXo.2+lX0.6+2X0.2=l,

则E（2X-3）=2E（X）-3=2×1-3=-1.

故选：C.

4.（5分）在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件中任意抽出3件，抽出的

3件中恰有1件是次品，则不同抽法的种数是（）

A.56B.28C.120D.16

【解答】解：从2件次品中抽出1件次品的抽法有G种，从8件合格品中抽出2件合格

品的抽法有或，

故共有6或=56（种）.

故选：A.

5.(5分)已知函数y=∕(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=/(x)的图象

如图所示，则该函数的图象是()

【解答】解：由导数的图象可得，导函数(x)的值在Ll,0］上的逐渐增大,

故函数f(x)在LI,0］上增长速度逐渐变大，故函数/(x)的图象是下凹型的.

导函数/(X)的值在［0,1］上的逐渐减小，

故函数/(x)在［0,1］上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，

故选:B.

6.(5分)已知随机变量X的分布列如下表(其中α为常数)

X0123

P0.20.30.4a

则下列计算结果正确的是()

A.a=0.2B.P(X22)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

【解答】解：由分布列的性质可得，0∙2+0.3+0.4+α=l,解得“=0.1,故A错误，

P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=04+0.1=0.5,故B错误，

E(X)≈0×0.5+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4,故C正确，

D(X)=(0-1.4)2×0.2+(1-1.4)2X0.3+(2-1.4)2X0.4+(3-1.4)2×0.1=0.84,

故。错误∙

故选：C.

7.(5分)小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车

平均用时30疝〃，样本方差为36；骑自行车平均用时24加〃，样本方差为4,假设做公交

车用时X-N(30,62),骑自行车用时V-N(34,22),则()

A.P(X≤38)>P(y≤38)

B.P(X≤34)>P(r≤34)

C.如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车

D.如果有34分钟可用，小明应选择自行车

【解答】解：因为X〜N(30,62),Y〜N(34,22).

X-30Y-34

将X,丫化为标准正态分布，则------N(0,1),---------N(0,1).

62

38—3038—34

因为------<-------,所以P(XW38)<P(XW38),故A错误.

62

11

又P(X≤34)>∣,P(K≤34)=*,故B正确.

因为P(XW38)<P(YW38),所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错

误.

因为P(X≤34)>P(K≤34),所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D

错误.

故选：B.

8.(5分)已知函数f(x)=er+1-In(x+∕n),x=-I为/(x)的极值点，则()

A.f(x)在(-8,-|)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增

B./(x)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减

C.7(x)在(-8,-D上单调递增，在(-1,+∞)上单调递减

D.7(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增

【解答】解：因为/(x)-ex+^-InCx+m),

所以/(X)=,∣-岛Q

因为X=-I为/(x)的极值点，所以/(-1)=e°-二白石=0,解得〃2=2,

所以f(X)=ev+∣-/〃(x+2),f(X)-ex+^----ɪʒ>定义域为(-2,+°o)>

又函数y=ev+∣和函数y=-占在定义域内均为增函数，所以/(x)在(-2,+∞)上

单调递增，

因为/(-1)=0,

所以当-2Vχ<-1时，/(x)V0,即f(x)在(-2,-1)上单调递减；

当x>-1时，/(X)>0,即/(x)在(-1,+∞)上单调递增.

故选：D.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对5分，部分选对得2分，有错项不得分)

(多选)9.(5分)下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有()

A.在经验回归方程丫=-0.4乂+3中，当解释变量尤每增加1个单位时，相应变量y增加

0.4个单位

B.若样本相关系数「的绝对值越接近于1,则车队样本数据的线性相关程度越强

C.若决定系数解的值越接近于0,则表示回归模型的拟合效果越好

D.在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

【解答】解：对于A,在经验回归方程y=-0.4x+3中，当解释变量X每增加1个单位

时，相应变量y减小0∙4个单位，故A错误，

对于B,样本相关系数r的绝对值越接近于1,则车队样本数据的线性相关程度越强，故

8正确，

对于C,决定系数R2的值越接近于1,则表示回归模型的拟合效果越好，故C错误，

对于力，在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故。正确.

故选：BD.

(多选)10.(5分)下列求导运算正确的是()

A.若/(x)=Sin(2x-1),则/(x)=2cos(2Λ-1)

B.若［(x)=^^005a^+i,则/(x)=∕°05χ+i

C.若f(%)=奈则，(X)=皆

D.若/(X)=XbVc,f(x)=∕zιr+l

【解答】解：A,V/(x)=Sin(2x-1),则，(X)=2cos(2χ-l),正确，

B9V/(x)=∕°∙°5叫则/(ɪ)=-0.05e°∙°5χ+ι,.・.5错误,

C,∙.∙∕(x)=⅛,则F(X)=幺器=g,.∙.c错误，

D,''f(x)=xlnx,则，(X)=lnx+∖,，。正确，

故选：AD.

(多选)11.(5分)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的

杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.结合图形，以下

关于杨辉三角的叙述正确的是()

A.第9行中从左到右第6个数是126

B.C仁；+C∏-ι=Cn

C.喋+鬣+...+俏=2"

D.eɜ+eɜ+eʒ+...+Cjo=330

【解答】解：对于4,第9行中从左到右第6个数是瑶=56,故A不正确；

对于8,CE+CJ=湍哉j+鬲方=品看=G故B正确;

对于C,由二项式系数的性质知篇+&+鬣+…+嘲=2",故C错误；

对于D,C1+Cl+Cl+...+Cf0=《+盘+C升…+Cf0=eʌ=330,故D正确.

故选：BD.

(多选)12.(5分)已知函数f(x)=-(x+l)/下列说法正确的是()

A.f(x)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增

B.f(x)在R上仅有一个零点

C.若关于X的方程/(x)=a(aGR)有两个实数解，则a<—2

D.f(x)在R上有最大值-2,无最小值

【解答】解：函数的导数，(%)=-(X+1)ex=-(X+2)ex,

由f(X)=0得，X=-2,

由，(x)>0得xV-2,此时函数为增函数，

由/(%)<0得x>-2,此时函数为减函数，故A错误，

即当X=-2时,函数/(x)取得极大值/(-2)=屋2,

当XV-I时，f(x)>0恒成立，当x>-1时，/(x)<0恒成立，

即/(x)在R上仅有一个零点X=-I,故B正确，

若关于X的方程/(x)=α(Λ∈R)有两个实数解，则0Vα<∕2,故C错误,

则/(x)在R上有最大值-2,无最小值，故。正确，

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分

13.(5分)假如女儿的身高y(单位：c∕n)关于父亲身高X(单位：Cfn)的经验回归方程是

y=0.8x+25,已知父亲身高为175cm,估计女儿的身高为165cm.

【解答】解：女儿的身高y(单位：cm)关于父亲身高X(单位：“〃)的经验回归方程是

y=0.8x+25,

则当X=I75时，y=0.8×175+25=165.

故答案为：165.

14.(5分)由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是48.

【解答】解：由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数，

则共有盘心=48个，

故答案为：48.

15.(5分)现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，

有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有

0.25,小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为0.7375.

【解答】解：设事件A表示“考生答对”，事件8表示“考生选到有思路的题”.

则该考生从这8道题中随机选1题，则他答对该题的概率为：

P(A)=P(B)P(AIB)+P(F)P(A∣B).

=0.75X0.9+0.25X0.25

=0.7375.

故答案为：0.7375.

16.(5分)盒子中有4张面值为100元的奖券，3张面值10元的奖券，2张面值为5元的

奖券，预从中任取两张，记去取出的面值100元的奖券数为X,则P(X=2)=-

-6-

8

E(X)=-.

-9-

【解答】解：由题意可得，X所有可能取值为0,1,2,

P(X=O)=,盗,P(X=I)=等其,p(x=2)=q=:,

C96

故E(X)=0×1+l×^+2×^=^.

18

故答案为：--

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知二项式G+2x)7l(n6N*)的展开式，,给出下列条件:

①第二项与第三项的二项式系数纸币是1：4；

②所有偶数项的二项式系数和为256；

③展开式中第4项的常数项.

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题:

(1)求展开式中/3的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项.

Clɪ

【解答】解：选择①：由题意可得言=：,解得〃=；

c9

n4

选择②：由题意可得2"∣=256,解得〃=9；

-19—nQ-Zi

选择③：展开式的第4项为74=C≡(⅛n-3(2x)3=8髭-万工为常数项，则F-=0,解

Vʌ幺

得〃=9,

1ʌ13r—9

（1）则二项式为（歪+2%）∖展开式的通项公式为Tr+1=Cg（^=）9-r（2x）r=Cg∙2rX2,

r=0,1,…，9,

3r—Q

令-2一=一3,解得r=l,所以/3的系数为盘.2=18；

33

（2）因为n=9,所以展开式中二项式系数最大的项为75=Cl-2。2=2016χ2,T6=C^-

25x3=4032xs.

18.（12分）某企业2017年至2021年年销售量收益y（单位：百万元）与广告投入x（单

位：万元）的数据如下表:

年份20172018201920202021

广告投入X12345

年销售收益y23367

表中的数据显示，可用一元线性回归模型建议X与y之间的经验回归方程.

（1）求年销售收益y关于广告投入X的经验回归方程；

（2）求决定系数d的值.

参考公式：经验回归方程y^bx+α中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

∑以1(%-y)2

犷），R22

珞1(yi-y)

1+2+3+4+5ɔ—2+3+3+6+7.C

【解答】解：（1）由题意可得：%=--------5--------=3,y=--------F--------=4.2

NMi(X；-x)(yi-y)=(1-3)(2-4.2)+(2-3)(3-4.2)+(3-3)(3-4.2)+(4

-3)(6-4.2)+(5-3)(7-4.2)=13,

EMl(Xi-元A=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

所以b=W军5=L3,α=i=°3

所以回归方程为y=1.3x+O.3；

(2)由(1)得:%=1.6,为=2.9,乃=4.2,%=5.5,%=6.8,

∑乙(y；-y)2=(2-1.6)2+(3-2.9)2+(3-4.2)2+(6-5.5)2+(7-6.8)2=1.9,

∑L(yι-y)2=<2-4.2)2+(3-4.2)2+(3-4.2)2+(6-4.2)2+(7-4.2)2=18.8,

•R2_[⅞=I(%-y)71∙9_169

∙∙R~1∑之ι(%——T18^^188∙

19.(12分)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对

本校学生体育锻炼的经常性有影响，位次在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生

有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人.

(1)请根据题意完成下面的2X2列联表；

经常锻炼不经常锻炼合计

男生

女生

合计

(2)根据(1)中的2X2列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为性别

因素为本校学生体育锻炼的经常性有影响？

附：

α0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

参考公式•/=_____Mad-be)______

々有z,A,.X(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)∙

【解答】解：(1)根据题意完成下面的2X2列联表；

经常锻炼不经常锻炼合计

男生18927

女生81523

合计262450

2

(2)根据2义2列联表，计算χ2=5≈5.059>3.841,

喘Z/裳XZa泮XZθ［X萼Z4？∙

依据小概率值α=0.05的独立性检验知,能认为性别因素为本校学生体育锻炼的经常性有

影响.

1

20.(12分)设x>0,f(ɪ)=Inx,g(x)=1—

(1)求证：直线y=x-1与曲线y=/(%)相切；

(2)判断/(x)与g(x)的大小关系，并加以证明.

【解答】(1)证明：因为直线y=χ-1过点(1,0),/(x)=/加过点(1,0),

设过点(1,0)与/(x)=/心相切的直线为y=H+A,

因为f'(*)=],

设切点为：(xo,Inxo),

所以切线方程为y-hr”=3(x-Xo),代入(1,0),得XO=1,

xO

所以切线方程为y=ι-1,

即y=x-1与曲线y=/(x)相切；

(2)f(X)2g(X).

证明：令力(%)=f(x)—g(%)=Inx+ɪ—l(x>0),

所以％z(χ)=ɪ-ɪ=

所以当x∈(0,1)时，h,(X)<0,h(x)单调递减；当％∈(1,+o°)时，〃(κ)>0,

h(x)单调递增；

所以(X)tnin=h(1)=0,即〃(X)20,

所以/(x)-gQX)≥0,即有f(x)2g(x),得证.

21.甲乙两名同学进行中国象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是马乙获胜的概率是》规

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定：每一局比赛中胜方记1分，负方记O分，先得3分者获胜，