新高考数学基础复习讲义 24 空间几何中的垂直（教师版含解析）

考点24空间几何中的垂直

知识理解

一.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义:

直线1与平面。内的任意一条直线都垂直，就说直线；与平面a互相垂直

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言图形语言符号语言

Ia,bua、

判定一条直线与一个平面内的两条相交直aC∖b=O

>=/_La

定理线都垂直，则该直线与此平面垂直ZS刁ILa

l±h,

a丁

性质a-∖-a∖

垂直于同一个平面的两条直线平行,,∖=>a∕∕b

7b±a)

定理£

二.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的垂线,则

4,卜

定理这两个平面垂直夕∕±laj

aLβ]

性质两个平面垂直,则一个平面内垂直luβfI=>∕±_a

定理于交线的直线与另一个平面垂直£aC∖β=a

bl±aJ

≡.证明线线垂直的思路

平行四边形：正方形、菱形、矩形

图形

三角形：等腰（等边）三角形一取中点

正余弦定理

边关系或边长

勾股逆定理

线面垂直的定义

面面垂直的性质

考向分析

考向一线面垂直

【例1】3.（2021•江西吉安市•高三期末节选）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为直角梯形,

ADHBC,NAr）C=90°,AD=DC=2BC=2,△加□为正三角形，。为AD的中点，求证：ADl

平面PBQ

【答案】证明见解析

【解析】∙.∙ZXPAO为正三角形，。为AO的中点，∙∙∙PQ,AO∙

/ADHBC,4D=0C=2BC,。为AO的中点.；•四边形BCDQ为平行四边形，.∙.BQ〃C£>.

又ZAZ)C=90°,ZAQB=90°,即BQLAD.又PQlBQ=Q,.∙.AD_L平面PBQ.

P

【举一反三】

1.（2021•河南信阳市节选）如图所示，四棱锥S-ABCD中，ABHCD,ADlDC,

CD=2AD=2AB=2SO=4,SOJ_平面ABC£）,求证：8CJ_平面跖。

【答案】证明见解析

【解析】证明：,ABHCD,ADλ.DC,AB=AD=2,.-.BD=2√2,BC=2√2,

又CD=4,.∙.CD2=BD2+BC2,故BCj_3。，

又QSO_L平面ABCD,BCu平面ABCD,.∙.8C，SO,

又SDBD=D,：.BC工平面SBD.

JF

2.（2021•江西赣州市节选）如图，已知三棱柱ABC-A的所有棱长均为2,=■,证明：BlC±

平面ABCi

BfC

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图取AB中点。，连接回。，CD.

因为四边形6CG5为菱形，所以BC上BG

71

又因为三棱柱的所有棱长均为2,ZBβA=-,

所以ABC和AABg是等边三角形，所以4O_LA5,CDlAB

因为B∣D,CZ）U平面4CO,BIDCCD=D,

所以平面gCO

所以BC_LAB,而5C∣AB=B,

所以BC，平面ABG

3.（2020•山东德州市节选）如图，四棱锥P-ABQD中，四边形ABCO是边长为2的正方形，"AD为

等边三角形，EF分别为PC和Bo的中点，且石尸J_CD,证明：CO_L平面?Ao

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，连接AC,由438是边长为2的正方形，

因为尸是BD的中点，可得AC的中点，

在zλPAC中，因为民F分别是PC,AC的中点，可得EF//PA,

又因为Ef_LCz),所以Q4"LCD,

又由仞_LeD,且ADnAP=A,所以CoJ•平面PAO.

考向二面面垂直

【例2】（2021•河南高三期末节选）如图，直四棱柱A3CD-A4G。的底面ABCD为平行四边形，Ar>=3,

3

AB=5,cosZBAD=-,BD=DDE是CG的中点，求证：平面。跖,平面ADDl

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得BO?=AD2+A82-2A8XAT>COSN84O=16,

所以AT>2+BI）2=A^2，因此AD_LBD∙

在直四棱柱ABC。-44C∣9中，

OA，平面ABCO,8。U平面ABCO,所以。"LBD

又因为ADDDx=D,AD,。DU平面A。。，所以8。，平面A。。，

因为BoU平面DBE，所以平面£有EJ_平面A。。.

【举一反三】

1.（2021•河南焦作市节选）如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCO是菱形，Q4J_平面ABCr>,

点Q为线段PC的中点，求证:平面BDQ，平面PAC

%

D

B

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形ABeD是菱形，所以Ae_L8O,

因为PAJ_平面ABCD,BDU平面ABCD,所以8。，PA,

又因为PACAC=A所以BO_L平面PAC

因为BDU平面BDQ,所以平面BDQ±平面PAC.

2.（2021•山东青岛市•高三期末节选）如图，在直角梯形ABa中，BE//AD,DE±AD,BClAD,

AB=A,BE=2jL将矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABCJ_平面BCOE,若BC=BE,证明：

平面ABD，平面ACE

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接8D，因BC=BE所以8。，CE

因为平面ABC_L平面BCOE,平面ABC平面BCDE=BC,ACJ.BC所以ACL平面BCOE

因为BoU平面BCDE,所以ACL30

因为ACCE=C,所以30,平面ACE

因为BDU平面ABD,所以平面ABr），平面ACE

3.（2021•安徽马鞍山市节选）如图，BE,切为圆柱的母线，一ABC是底面圆的内接正三角形，M为优的

中点，证明：平面Λ⅛ML平面M

【答案】证明见详解

【解析】根据题意可得，AMYBC.

又∙3E为圆柱的母线，.∙.BE，平面A8C.

:.BE±AM,QBClBE=B,

.∙.AM，平面5CDE.

又∙AMU平面AEM，

平面AEM±平面BCDE.

考向三线线垂直

【例3】（2021•江西宜春市•高安中学节选）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCo是边长为2的菱形,

ZBAD=60.已知PB=PD=2,PA=&，K为Q4的中点，求证PC_L8D

【答案】证明见解析

【解析】AC8。交点为。，连接P。,

ABCD是边长为2的菱形，.∙∙ACLBDQ是AC,BD的中点，

PB=PD,PO上BD,

又PoU平面PoC,ACU平面POC,POAC=O,「.即，平面PoC,

PCU平面PoC,..BDLPC.

【举一反三】

1.（2021•江苏南通市•高三期末节选）如图，在四棱锥4一BeDE中，BCHDE,BC=2DE=2,

BC工CD,厂为AB的中点，BCLEF,求证：AClBC

【答案】证明见解析

【解析】取4C中点M连接掰DM,

分别为46,4C中点，.∙.EW-BC,

=2

DE-BC,:.FM.DE,

=2=

∙∙∙四边形应7%是平行四边形，.∙.DMHEF,

EFVBC,:.DMLBC,

CD上DM,CD,DMu平面力卬,CDcDM=D,

.∙.BC_L平面CDM,ACU平面CDM,:.BC±AC；

2.(2020•山东德州市节选)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，NABC=60°,PA，平

面ABCD,E,F分别为BC,/%的中点.

(1)求证：AE±PD;

（2）求证：EF//平面PCD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

证明：（D连AC,

QZASC=60°，底面ABC。为菱形,

.∙.ABC是等边三角形,

BE=EC,

:.AEYBC,

又5C7/AD,

Afi,±AD，

又PA_L面ABCD,AEU面ABCD,

：.PA±AE，

PAΓΛAD=A,

.∙.A£1面PAD,PDU面PAD，

:.AEA.PD.

⑵取PD的中点Λ/,连尸C,

D

PF=FA,

所以FM//；AD,FM=；AD,

又EC∕∕LAD,EC='AD,

22

:.FMuEC,FM=EC,

四边形FECM是平行四边形，

：.EFIIMC,

又研•面PCr>,MCu面pc。，

.∙.EF∕∕^PCD.

3.（2021•山东枣庄市节选）如图，四棱锥P-ABC。的侧面△如£>是正三角形，底面ABS是直角梯形,

ZBAD=ZADC=90.AD=AB=2CD=2,M为BC的中点，求证：PM±AD

M

B

【答案】（1）证明见解析；（2）立.

7

【解析】证明：取AD中点N,连PN,NM,

因为是正三角形，所以PN人4）.又M是BC中点，所以NM//AB.

因为∕RM>=90，即ABLAD.所以NM_L4），因为NMCPN=N,NM、PNU平而PMN,

1.（2021•山东泰安市•高三期末节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCf）是菱形，ZJ⅛4D=60o,

PB=PD,F为PC上一点，过AF作与B。平行的平面AEFG,分别交PD，PB于点E，G,证明：EG1

平面PAC

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接BD,交AC于点。，连接PO.

∙.∙BDH平面AEFG,平面PBD平面AEFG=EG,BDU平面PBD,；.EGHBD.

•••底面ABCD是菱形，.∙.ACLBO,且。为AC,8。中点，

又PB=PD,：・PO工BD,又ACPO=O,AC,P。U平面PAC,

.*.BD平面PACτ.*.EG_L平面PAC.

2.（2021•浙江金华市•高三期末节选）在三棱锥P-ABC中，平面PAC，平面/8C,

PA=PB=AB=母AC=6BC，）证明：PCj■平面

【答案】证明见解析；

【解析】证明：取血中点〃，连接加，DC

,：PA=PB,AC=BC,则AB上PD,ΛB1DC,

而PDCDC=D,∙*.AJS_L平面PDC,

因为PCU平面PZ）C1,故ABJ_PC.

在，.ASC中，AB=√2AC=√2fiC-故+8CL4C.

又「平面Q4C_L平面A8C,且交线为力GBCU平面ABC,

.∙.BC_L平面尸AC,因为PCU平面PAC,故JBCJ_PC.

因为ABCBC=JB,.∙.PC，平面ABC.

P

3.（2021•河南焦作市节选）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，B4_L底面ABC。，E，F，H

分别为AB,PC,BC的中点，求证：DE，平面PAH

【答案】证明见解析

【解析】因为PAJ_底面ABer>,DEU底面ABer>,

所以Q4，。石，因为E，H分别为正方形ABC。的边AB，BC的中点,

AB=DA,BH=AE,?HBA?EAD,

所以RtaABHmRtaDAE,所以NS4H=NADE,由NAEr）+NADE=90

所以NBA"+NAED=90，所以Z）E_LAH，

因为∕¾u平面Q4H，4”匚平面24/7,PAryAH=A,

所以。EL平面∕¼”.

4.（2021•浙江温州市节选）如图，已知三棱锥P—ABC，PC±AB,A6C是边长为2百的正三角形,

PB=4?，∕PBC=60，点/为线段A尸的中点，证明：PCmABC

【解析】在.PBC中，PB=4近，BC=2√3.NPBC=60，

由余弦定理可得PC2=PB2+BC2-2PB-BCcosZPBC=36，PC2+BC2=PB?，

..PCLBC,PC±AB,ABCJBC=B,.∙.PC，平面ABC；

5.（2021•陕西咸阳市•高三一模节选）如图，在三棱锥P—ABC中，平面~4C_L平面ABC,PClAC,

BCA.AC,AC=PC=2,CB=4,M是24的中点，求证：PA，平面MBC

【答案】证明见解析

【解析】平面B4C_L平面A8C,平面尸ACl平面ABC=4GBCU平面ABC,BClAC,

：.3C_L平面PAC,

∙.∙R4u平面PAC，

：.BCLPA,

VAC=PC,M是Q4的中点，

：.CMIPA,

'：CMBC=C,CM,BCu平面MBC,

.∙.PAj_平面MBC.

6.（2021•浙江金华市节选）如图，在四棱锥P-ABeD中，底面ABC。为矩形，PD=AB=丘BC，平

面PCD_L平面A8Q9,若£为PC的中点，求证：DEPBC

【答案】证明见解析

【解析】因为平面Pa），平面ABCO,且平面PCo平面ABCD=8,底面ABCD为矩形，所以

BClCD,又CDU平面Pr）C,所以BCJ_平面POC,又OEU平面PDC,所以BCIDE；

因为Po=AB=OC,所以△尸Qe为等腰三角形，£为PC的中点，所以£>E_LCP,因为CPBC=C,

BC,CPU面PBC,所以OE，面PBe

7.（2021•西安市铁一中学节选）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,

PE

NA5C=60°,Λ4=AC=1,P6=PO=√Σ,点E在P。上，且一=2,求证：R4J_平面ABCO

ED

【答案】证明见详解

【解析】因为底面ABcD是菱形，ZABC=60°.

所以AB=AC=AD=1,

在4出8中，PA=I,PB=丘,

由PA2+AB?=PB?，可得LAB∙

同理，PA±AD,又ABcAO=A所以尸Aj_平面ABCD∙

8.（2021•河南高三期末节选）如图，直四棱柱ABC。-4月£2的底面ABC。为平行四边形,

3

AD=3,A8=5,COSNBAD=M，BO=D2,E是CG的中点，求证：平面DBEJ_平面A。R

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得BO?=Ae>2+A3?-2ABXA。CoSZR4。=16，

所以AD2+3。2=AB'因此ADJ_8£>，

在直四棱柱ABCC44GA中，DDl，平面ABC。，所以。D∣_L6O,

又因为AD=。，所以3。JL平面ADA,

因为BDU平面。BE，所以平面QBE，平面A。。一

9.（2021•江苏南通市节选）如图，四面体ABCD中，。是B。的中点，点C、£分别在线段4。和8C上,

BE=2EC,AG=2GO,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=&

⑴求证：GE〃平面AC。；

（2）求证：平面平面8CO.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）连接BG并延长，交AD于M，连接MC，

在ZiABO中，。为M中点，G在力。上，AG=2G0,

：.G为Z∖ABD的重心.∙.史2

GMT

又些=2.丝

乂EC1GM-----：.GE//MC>

EC

YGEz平面AC£),ACU平面AcD,

.∙.GE〃平面ACr)；

(2)在Z∖ABf)中，。为BO中点，BD=2,AB=AD=√2>

AO±BD:.AO=√AB2-BO1=1>

在Z∖B8中，BC=CD=BD=2,。为3£）中点，连接OC,则OC=石,

又。，

C4=2,.∙.TM2+QC2=C42,...AOC

由40L0C,AO±BD,OCrBD=O,OC,8。U平面BCD,

得AoJ_平面BeD,

又AoU平面ABZ）,

，平面ABD_L平面88.

10.（2021•山西吕梁市•高三一模节选）如图，四棱锥S-ABeD中，ABHCD,BCICD,侧面SC。为

等边三角形，AB=BC=4,CD=2,SB=2下,求证：BClSD

【答案】证明见解析

【解析】由已知8C=4,SC=2,SB=2小得,

SB2=BC2+SC2，所以NBCS=90°,所以BCLCS,

又5C,C0,COCS=C,所以3C，平面SCZ）,

又Sz）U平面SCD，所以3CLSO.

11.（2021•云南高三期末）如图所示，在正方体ABCD-AB'CZ>'中，点”为线段8'。的中点

（1）求证：DD'LAC-.

⑵求证：JBM//平面AC0.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）在正方体A3C0—A3'Cz）'中，

VDD'±AD，DD'1CD,且CDAD=D,

OD，平面ACO，ACU平面AeO.

：.DD'±AC

⑵如图所示，连接3。，交AC于N,连接DN.

由题设得：BN=MD',BNHMD',

四边形BMD1N为平行四边形.

：.BMHND'.

又∙/ND'U平面ACD',BMU平面ACD',

.∙.3Λ///平面ACQ'.

12.（2021•江西景德镇市节选）如图，已知四棱锥S-ABCD,其中AAB±AD,NBCo=45，

BC=2AO=2,侧面SBC_L底面ABCD,E是SB上一点,且一ECD是等边三角形，求证：CE，平

面S4B

【答案】证明见解析

【解析】ADHBC,ABYAD,：.ABlBC,

侧面SBC_L底面A3CD,侧面SBCl底面ABeD=BC,ABI平面ABeD,

.•.A8_L平面SBC，

CEU平面SBC,.∙.CE_LAB,

如下图所示，取BC的中点F,连接。尸、EF,

BC^2AD,且尸为BC的中点，则AD=Bb,

QBC//AD,则AD//BF,所以，四边形AgED为平行四边形，则O/7/AB，

，£下，平面SBC,

EF、BCU平面SJBC,.∙.E>FJ_E尸，DFlBC,

•；AECD为等边三角形，则EF=VJDE2-DF2=4CCr-DF2=CF=BF，

所以，NFBE=ZBEF,NFCE=∕CEF,

TT

由NFBE+/BEF+NFCE+NCEF=2∕BEC=兀，：.NBEC=—,即CEj_SB,

2

SBAB=B,因此，CE_L平面5AB；

13.（2021•江西景德镇市•景德镇一中）如图，在三棱柱ABC-ABCl中，平面A∕CC∣，平面ABC,

λ

AB=BC=2,NACB=30，的=3,BC1AtC,E为AC的中点.

（1）求证：43"平面ClEB;

（2）求证：AC，平面GEB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）如下图所示，连接Ag、BC,设BCBG=F,连接£尸,

R

在三棱柱ABC-A4G中，四边形BBCC为平行四边形，

因为BCBG=F,在点F为BC的中点，又因为点E为AC的中点，∙∙∙EP∕∕Ag，

[Ag<Z平面C∣E8,EVU平面CgB,所以，AM〃平面GE8；

（2）AB^BC,E为AC的中点，.∙.BE_LAC,

因为平面4ACC∣_L平面ABC,平面4ACGc平面ABC=AC,BEU平面ABC,

平面AACG，

∙.∙A∣Cu平面AACG，∖CLBE,

BC1J-AxC,BE∖BCx=B,A∣CJ■平面C∣E8.

14.（2021•陕西咸阳市）在三棱锥A-Ba）中，E、尸分别为A。、DC的中点，且84=%）,平面A3。J_

平面AOC.

（1）证明：EF〃平面ABC；

（2）证明：BELCD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）在一A。C中，E、尸分别是A。、OC的中点，.∙.E∕7∕AC.

EZ7Z平面A3C,ACU平面A3C，.∙.M〃平面48C；

（2）在AABf）中，BA=BD,E为A。的中点，.∙.8EJ›AO,

又平面ABz）J_平面ADC,平面ABOC平面ADC=Ar>,BEU平面

.∙.3E，平面AOC.

Cr）U平面4OC,:.BElCD.

15.（2021•全国）已知四棱锥P-ABcD中，平面246_L平面ABe。，ZV¾B为等边三角形，底面ABCo

为直角梯形，NZMB=90°且AB=2C。，点M为依的中点，求证：PBLDM.

【答案】证明见解析.

【解析】因为4PAB为等边三角形，M为PB的中点，所以AA/_LPB，

因为平面A4B_L平面ABC。，平面FABC平面ABCr>=A3,DALAB，ZMU平面ABC。，

所以ZM，平面B4B，

因为PBU平面F45，所以D4J.P8，

因为QMcAM=A,所以PB_L平面ADM，

因为OWU平面AD!M,所以PBLDM.

16.（2020•全国）如图，矩形ABCO所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，。的点•

（1）证明：平面AMD_L平面C；

（2）若P点是线段AM的中点，求证：Mc//平面P8D∙

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（D因为矩形ABC。所在平面与半圆弦C。所在平面垂直,

面ABC。面CDM=Cr>,ADlDC,Ar）U面ABe。，

所以AD，半圆弦CD所在平面，

且CMU半圆弦CD所在平面，

所以

又M是CO上异于。，。的点，

所以CMl.DM：

又DM'AD=D,

所以CM，平面AΛQ;

又CMU平面CM8,

所以平面AMD，平面C；

（2）由P是AM的中点，连接8。交AC于点。，连接。P,如图所示：

A