2022-2023学年甘肃省高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若集合4={-3,-1,2,6},8={吊刀>0},则4。8=（）

A.{2,6}B.{-3,-1}C.{-1,2,6}D.{-3,—1,2）

2.“％2一》一6>0”是“χ<-5”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.复数（一1+2。（3-。在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.sinl45°cos35°=()

A.-sin70°B.-TSin70°C.sin70oD.∣sin70o

5.若正方形4BC。的边长为2,则I而一四+前I=()

A.4√-2B.2y∏,C,ΛΓ2D.ɪ

6.若而是方程2*=12-3x的解，则殉∈()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为U的水，若放入一个玻璃球（球的半径

与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则V=（）

A20ττB.6TT16TTD.8兀

8.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出

的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为（）

A.IB.IC.ID.I

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城

镇人口比重图如图所示，则（）

甘肃省历次人口普查城镇人口比重图

B.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%

C.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%

D.甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%

10.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有

“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事

件4表示“甲没有中奖”，事件8表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，贝∣J()

A.事件4和事件B是对立事件B.事件4和事件C是对立事件

C.P(B+C)=P(C)D.P(BC)=P(C)

11.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知α=3,b=4,锐角C满足SiTlC=①,

4

则()

A.△48C的面积为3Λ∕15B.cosC=ɪ

C.c=√19D.cosB=

在直三棱柱中

12.4BC-4BιCι，BC=B4=q,4C=2,cC1

=3,点E在棱上，AE=1,。是&G的中点，贝∣J()/V^∖D/'、

A.三棱柱4BC-4[BιG的侧面积为34+3/∖x&

B.三棱柱4BC-A/iG外接球的表面积为13兀A:~~《

C.BICl〃平面BCZ)

D.CE1平面BlDE

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=log5x+1,则/(-5)=.

14.已知Sina=-2cosa,贝IJtan(α+/=.

15.已知函数y=cos2<υx(3>0)在［一(制上的最小值为则3的值为.

16.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶

点的曲率等于2τr与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度

用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为半所以正四面体在各顶点的

曲率为2τr*x3=π■.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PaI底面4BCD,AD=

「PAPC与底面4BCD所成的角为也在四棱锥P-ABC。中，顶点B的曲率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

证明：以4(1,2),B(3,6),C(0,5),。(—1,3)为顶点的四边形是直角梯形.

18.(本小题12.0分)

已知复数Zl=1+i,z2=2+mi(m∈R).

⑴若孑为纯虚数，求m；

(2)若∈R,求3Z1+iZ2的实部与虚部之和.

19.(本小题12.0分)

已知cos(α+sinasinβ=ɪ.

⑴求COSaCoS0；

(2)求cos(2α—20).

20.(本小题12.0分)

设AABC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,acosB=^+c.

⑴求4;

(2)若4。为AABC的角平分线，AD=2,且2s讥B=S讥C,求△力BC的周长.

21.(本小题12.0分)

如图1,正方形4BCD和正方形EFGH的中心重合，AB=3EF=6,HG//CD,J.K、L、/分

别为4。、48、"、<7。的中点,将图中的四块阴影部分裁剪下来,然后将4"后/、4珅/、4只7/<、

△GHL分别沿着HE、EF、FG、GH翻折，使得点/、J、K、L与点P重合，得到如图2所示的四

棱锥P-EFGH.

(1)求直线PE与底面EFGH所成角的余弦值；

(2)若M为PF的中点，求M到平面PGH的距离.

22.(本小题12.0分)

某高校的入学面试中有力，B,C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随

机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第

二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若

没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试

通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明

答对儿B,C题的概率依次是小ɪ,ɪ

(1)求李明第一环节抽中4题，且第一环节通过面试的概率;

(2)求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：∙∙∙4={-3,-l,2,6},B={x∖x>0},

.∙.AΓ∖B={2,6}.

故选:A.

由交集的概念进行运算即可.

本题考查交集及其运算，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：不等式/-χ-6>0的解集4={x∖x<-2或X>3},设集合B={x∣x<-5],

由B*4所以''χ2-χ-6>0"是"x<-5"的必要不充分条件.

故选：C.

解不等式，由集合的包含关系和充分必要条件的定义判断结论.

本题考查集合的包含关系和充分必要条件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解:因为(一l+2i)(3-i)=-l+7i,

所以(―1+2i)(3-D在复平面内对应的点为(-1,7),位于第二象限.

故选:B.

利用复数的乘法化简，由复数的几何意义求对应的点所在象限.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：sinl45°cos35o=sin(180o-35°)cos35°=S讥35°cos35°=^sin70o.

故选：D.

利用诱导公式和倍角公式化简.

本题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】A

D.

【解析】解：如图，由正方形力BCC的边长为2,则BD=2√~Σ,C

所以I亦一南+前I=|前+/I=2|前I=4y∕~2.

故选：A.

由题意，根据平面向量的线性运算即可求解.

本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，向量的模的定义，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：因为函数〃%)=2*+3x—12在定义上单调递增，

又/(2)=22+6-12=-2<0,/⑶=23+9-12=5>0,

所以函数f(x)的零点所在区间是(2,3),

即ae(2,3).

故选：C.

先判断函数AX)的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间.

本题考查了函数的单调性及零点存在定理，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意，玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，

己知玻璃球的半径等于圆柱形玻璃杯的底面半径为2,

则玻璃球的体积为STrX23=券，圆柱的底面面积为4兀，

若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为4,

.∙.4π×4=^+K,可得V=竽.

故选：C.

由已知直接利用球的体积公式，圆柱的体积公式建立等量关系求解IZ的值.

本题考查球的体积公式，圆柱的体积公式，考查运算能力和数学思维能力，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意，分别用的,α2,瓦，b2,c1,c2表示6只手套，

从中随机地取出2只，包含(田,ɑ2),(%,仇)，(α1,½),(α1,c1),(a1,c2).(a2,b1'),(a2,Z)2),(a2,c1),

ac,ccc,

(2>z)(b[,b2),(hɪ,eɪ)>(ðɪ,C2)>(½(l)，(。2，。2)，(l∣2)共有15种,

其中取出的手套中一只左手套一只右手套，

包含(的也)，(的㈤，(.a2.b1),(α2,Cι)((瓦㈤，‰c1),共有6种，

所以不是一双手套的概率为P=⅛=∣.

故选:B.

利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率

计算公式，即可求解.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为52.23%—11.13%=41.1%,4错

误；

这组数据从小到大排列依次为11.13%,12.22%,15.34%,22.04%,24.01%,36.12%,52.23%,

则这组数据的中位数为22.04%,8正确；

因为7X75%=5.25,所以这组数据的第三四分位数为36.12%,C正确；

平均数为3(11.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=⑺,%<

25%,2错误.

故选：BC.

根据极差判断4根据中位数的定义判断B,根据第三四分位数计算法则判断C,计算平均数判断C.

本题主要考查折线图，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：因为4UB表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，

即事件4和事件B不是对立事件，4错误；

事件4表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，

则事件4和事件C是互斥且和事件为全集，事件4和事件C是对立事件，8正确；

又因为B=C,所以P(B+C)=P(C),C选项正确；

P(BC)=P(B),。选项错误.

故选：BC.

根据对立事件判断A,8选项；根据事件的包含关系判断C,。选项.

本题考查互斥事件、对立事件、事件的包含关系等基础知识，是基础题.

11.【答案】BC

【解析】解：在AABC中，因为α=3,b=4,且SinC=色，

4

由三角形的面积公式，可得SMBC=^absinC=^x3x4xf=空，所以A错误；

由C为锐角，且SinC=华，可得cosC=√1—siMC=>所以8正确；

44

由余弦定理得¢2=a2÷b2-2abcosC=9+16-2x3x4x∙^=19,可得C=√19,所以。正

4

确；

由余弦定理得CoSB=a2+c2-b2=9+19/="至，所以。不正确.

2ac2×3×∖∏919

故选：BC.

由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理,

可判定C正确，。错误.

本题考查了三角形的面积公式，三角函数的基本关系式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查

了计算能力和转化思想，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4因为在直三棱柱4BC-中，BC=BZ=√^2AC=2,44ι=3,

所以三棱柱ABC-&BICI的侧面积为(√芝+√^7+2)×3=6>∕~2+6.所以A错误；

对于8,因为BC=B4=1∑,4C=2,所以BC2+BA2=AC∙2,

所以△ABC为以B为直角顶点的等腰直角三角形，

22

所以三棱柱ABC-&Bi6的外接球半径r=JI+(|)=ɪ,

所以外接球的表面积为13τr,所以B正确；

对于C,因为BlCJ/BC,BlClC平面BCD,BCU平面BCC,

所以BiG〃平面BCD,所以C正确；

对于D,由已知得AlBl=BlG，

又。是&Cl的中点，所以当014G，

因为侧棱441JL平面力IBlG,BIDU平面4窗传1，所以A4ι1B1D,

因为441n&G=&,所以BlDJ_平面A41GC,

因为CEU平面441GC，所以BlDJLCE,

因为AE=1,AC=2,AA1=3,

所以CE=∕T,DE=口,Co=CU,

则CE?+0E?=。。2,所以CEIDE,

因为DEnBlD=。，DE,BlDU平面BlDE,

所以CEI平面BlOE,所以。正确.

故选：BCD.

对于4直接求解侧面面积即可；对于8,判断出△4BC为直角三角形，然后根据已知直接求解外

接球的半径，从而可求出其表面积；对于C,由棱柱的性质和线面平行的判定分析判断；对于D,

由题意可证得BlDl平面441CIC,由BIDJ.CE,再由勾股定理的逆定理可得CEJ.DE,然后由线

面垂直的判定定理可证得结论.

本题考查了几何体的侧面积计算以及外接球问题，考查了线面关系的判断与证明，属于中档题.

13.【答案】-2

【解析】解：/(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=log5x+1,

则有f(-5)=-/(5)=-(logs5+1)=-2.

故答案为：-2.

利用函数的奇偶性和区间内的函数解析式求值.

本题考查函数奇偶性的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】一^

【解析】解：由题意S讥α=-2CoSQ可知tcma=-2,

则tag+5=F=瑞=4.

'4'1—tana1+23

故答案为：-1.

根据同角的三角函数关系求得tana=-2,再根据两角和的正切公式即可求得答案.

本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，根据两角和差的正切公式进行化简

是解决本题的关键.

15.【答案W

2

【解析】解：y=cosωx=-(1+cos2ωx)f

又Xe[一兄上

所以2"X∈[-詈,第.

因为y=∣(1+cos20>x)取得最小值

所以y=COS23%取得最小值一

因为2(υ%∈[―ɪ,ɪ],ω>0,

τrω2π(πω2π

ɪ-T\~~~^^3^

_πω__2τr,πω_2π,

--r-^τlτ~τ

(ω>0>0

解得3=£

故答案为：I

对函数化简得y=g(l+cos2<υx),由X的范围，求得2a>X的范围，则由题意可知y=cos2<υx在

23XW[-詈,詈]取得最小值-；，从而可得关于3的不等式组，进而可求得结果.

本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.

16.【答案】~

【解析】解：设PA=1，则TW=

PA1底面4BC0,

•••AC是PC在底面4BCD上的射影，

则4PCA是PC与底面ABCD所成的角，即NPCA=I

O

则SinNPCa=票艮喘=,得PA=2,则4C=√3,

即AB=√AC2-BC2=√3-2=1，

即AB=P4,贝IJ在RtAPAB中，NPBA=%,

PB=BC=√^^>

VPB2+BC2=2+2=4=PC2,

.∙∙∆PBC是直角三角形，则NPBC=≡

•••乙ABC=全

••・顶点B的曲率为2τr-≡-^-≡=y∙

故答案为：ɪ.

根据条件分别求出角8的面角之和，然后进行计算即可.

本题主要考查空间几何体各面三角形夹角的计算，根据直角三角形的边角关系进行计算是解决本

题的关键，是中档题.

17.【答案】证明:由题意得超=(2,4),而=(-2,1),DC=(1,2)，则荏=2DC,

得4B〃DC月SB=2DC,则四边形4BCD为梯形.

因为荏∙AD=-2×2+l×4=0.所以4B1AD.

故以A(L2),S(3,6),C(0,5),。(-1,3)为顶点的四边形是直角梯形.

【解析】利用向量的坐标运算，证明4B〃CC且4B=2DC,再证明4BJ.4D,可得结论.

本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

18.【答案】解：(I)因为Zi=I+i,Z2=2+mi,

ɑpp.z2_2+mi_(2÷mt)(l-i)_(2+m)+(m-2)i

加以五=1+i=(l+t)(l-i)=2,

由黄为纯虚数，得解得Zn=一2∙

故771=-2.

(2)由(1)可知搂=(2+m”(m-2)i,

由ER，得m-2=0,解得根=2.则N2=2+23

所以3zι+i∑2=3+3i+2i-2=1+5i,

所以3zι+iZ2的实部为1,虚部为5,即实部与虚部之和为1+5=6.

【解析】⑴先计算h=(2+叱S-2)i,从而可得｛：;彳=0(求解即可;

(2)由题意可得m-2=0,解得TU=2,从而可计算3z〔+iz2=1+5i,进而可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为COS(α+S)=cosacosβ—sinasinβ=cosacosβ-ɪ=ɪ,

117

所以CoSaCos∕?=-÷-=—;

715

(2)因为cos(α—∕?)=cosacosβ+sinasinβ

or7

所以cos(2α-20)=cos2(a-0)=2cos2(a—/?)—1=2×--1=—.

JoIo

【解析】(1)根据两角和的余弦公式运算求解；

(2)根据两角差的余弦公式可得cos(α-^)=∣,再结合倍角公式运算求解.

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为acosB=g+c,由正弦定理可得：2sinAcosB=sinB+2sin(A+B)=

SinB+2sinBcosA+2sinAcosB,

可得SinB+2sinBcosA=0,又因为SbIB≠0,

可得CoS4=—ɪ,而A∈(O,τr),

解得4=∣7Γ:

A

(2)因为4。为4的角平分线，所以MaD=∆CAD=∣,

所以《48∙AC-sin∆BAC=AC∙AD∙s∖n∆CAD+∙AC•---------ʌ(

222B-----------D

sin∆BADf

βp∣6csin∣τr=WbX2sin^+∣c×2sin-,

可得be=2h+2c；(ɪ)

因为2siτιB=StnC,由正弦定理可得2Z?=c,②，

由①②可得匕=3,c=6,

由余弦定理可得Q=√h2÷c2—2bccosA=J9÷36-2×3×6×(―ɪ)=3y[~7»

所以三角形的周长为：α÷h+c=3∖Γ7÷3+6=3√7÷9.

所以△ABC的周长为3/7+9.

【解析】（1）由正弦定理及三角形的角的关系，可得4角的余弦值，再由4角的范围，可得4角的大

小；

（2）由角平分线的性质，由等面积法求出b,c的关系，再由题意可得b,C的关系，进而求出b,c的

值，再由余弦定理可得α的大小，进而求出三角形的周长.

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题.

21.【答案】解：（1）如图1,取HED

的中点N,连接/N.

如图2,连接EG、HF,设EG、HF

的交点为。，连接P。.

由题意得H/=E/,所以，PE=

IE=√IN2+EN2=

V22+I2=V-5"

因为PE=PF=PG=PH,四边形EFG，为正方形，则四棱锥P-EFGH为正四棱锥,

又因为EGnHF=。，所以，PojL平面EFGH,

所以，PE^J^EFGH^^^^]∆PE0.

因为EF=2,则EG=CEF=2S，所以，EO=TEG=LL

因为PoJL平面EFGH,EoU平面EFGH,所以，PO1E0,

琲;［、］,DZ7八EO√~~2V10

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