新教材人教A版高中数学必修第二册平面向量坐标运算 同步讲义

3、平面向量坐标运算5种题型

【考点分析】

考点一：平面向量基底的概念

如果勺、02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量”,有且

仅有一对实数4,4，使得α=4q+4e2∙我们把不共线的向量q、e?叫做表示这个平面内

所有向量的一组基底.

考点二：平面向量的正交分解及坐标表示

①平面向量的正交分解

把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解.

②平面向量的坐标表示

1.正交基底：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基

底.

2.平面向量坐标表示：对于平面内的一个向量”,有且只有一对实数x、y,使得α=xi+0,

我们把有序实数对(x,y)叫做向量0的坐标，记作Q=(x,>').其中X叫做向量α在X轴上的

坐标，y叫做向量α在y轴上的坐标.

考点三：向量与坐标的关系

设ðA=Xi+)心则向量次的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量次

的坐标(x,y).

因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.即以原点为

起点的向量与实数对是一一对应的.

考点四：平面向量数量积的几何与坐标运算

己知非零向量α=(x∣，χ),b=(x2,y2),6为向量a、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模Ia∣=JaaIaI=JX2+:

数量积ab=∖a∖∖b∖cosθab=xix2÷yly2

cos",X也+颦-

夹角Ce)Se=Qb

IaIIWA+κ7芍+乃

Lb的充要

ab=0XW+y%=°

条件

a〃b的充要

a=Λ⅛(b≠O)+%%=°

条件

∖ab∖^∖a∖∖b∖∣"∕∣≤∣4∣∣M(当且仅当

I芭χ2+y必∣w旧+犬.在+£

的关系时等号成立)

【题型目录】

题型一：平面向量的坐标运算

题型二：平面向量数量积的坐标运算

题型三：平面向量坐标共线，垂直问题

题型四：平面向量坐标模的计算

题型五：平面向量坐标运算中的夹角，投影问题

【典型例题】

题型一：平面向量的坐标运算

【例1】已知向量。=(1，2),⅛=(2,-1),则α+Z＞等于()

A.(-3,-1)B.(-1,3)C.(1,3)D.(3,1)

【答案】D

【解析】Z+3=(1,2)+(2,T)=(3,1)

【例2】己知点A(l,2),B(-l,0),则AB=()

A.(2,0)B.(2,2)C.(-2,-2)D.(0,2)

【答案】C

【解析】AB=(-1,0)-(1,2)=(-2,-2)

【例3】设平面向量AB=(3,-6),点A(T,2),则点B的坐标为()

A.(—2,4)B.(2,-4)C.(—4,8)D.(4,-8)

【答案】B

【分析】设B点坐标为(x,y),则可得AB的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案.

【详解】设8点坐标为α,y),

(x=2

所以A8=(x+l,y-2)=(3,-6),解得〈，，

Iy=-4

所以B的坐标为(2,T).

［例4］平行四边形438三个顶点坐标分别为A(-2,1),5(1,3),C(3,2),则顶点。的坐标为

A.(-2,3)B.(U)C.(0,-1)D.(0,0)

【答案】D

【分析】设方(x,y),由AB=OC求解即可.

t详解】设。(x,y),由平行四边形ABcD可得福=Oe.即(3,2)=(3-x,2-y),解得

x=0,y=0,故0(0,0).

【例5】已知M(-2,7),N(IO,-2),点P是线段MN上的点，且PN=-2PM，则P点的坐

标为()

A.(2,4)B.(-14,16)C.(6,1)D.(2,-11)

【答案】A

【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答.

【详解】设P(x,y),则尸N=(IO-X,—2-y),PM=(-2—x,7—y),因RV=-2PM,

Io-X=-2(-2-x)x=2

从而有《解得

—2—y=—2(7—y)y=4

所以尸点的坐标为(2,4).

【例6】在四边形ABCO中，A(-2,0),β(-l,3),C(3,4),β(2,3),E,尸分别为边A8,CD的中

点，贝!IEF=()

A.(4,2)B.(-4,-2)C.(8,4)D.(—8,T)

【答案】A

【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示求解即可.

【详解】因为A(-2,0),3(T,3),C(3,4),r>(2,3),E,尸分别为边A8,8的中点，

所以E(V)'于(IW)'所以EF=SB-1|，|)=(4,2).故B,C，D错误，

【题型专练】

1.已知点A(l,3),3(2,7),向量AC=(O,-2),则BC=()

A.(1,4)B.(TY)C.(1,6)D.(-1,-6)

【答案】D

【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.

【详解】AB=(1,4),所以8C=AC-AB=(T,-6).

故选：D.

13

2.已知平面向量”=(l,l),⅛=(1,-1),则向量/"”=()

A.(-2,1)B.(2,-1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

【答案】D

【分析】本题为平面向量坐标运算的加减数乘运算.

111a44

【详解】因为α=(l,l),0=(1,-1),则=a=(；,；)，》=碎,-；)，

\3

所以彳〃=(T2)

22

3.已知6(2,3),3(T4),且M卜平码，点P在线段他的延长线上,则尸点的坐标为()

A.(-5,4)B.f——jC.(4,-5)D.(-4,5)

【答案】D

【详解】由几何关系与向量的坐标表示求解

【分析】由题意得Pq=2Pg,设P(χ,y),

贝∣j(2-x,3-y)=2(-l-x,4-y),:.2-x=-2-2x,3-y=8-2y,

解得X=-4,y=5,

4.若i=(l,0),j=(0,l),α=3i+4j/=T+/,则。一6的坐标为()

A.(2,5)B.(-2,5)C.(4,3)D.(Y,3)

【答案】C

【分析】利用向量的坐标运算即可求得.

【详解】因为i=(l,0),/=(0,l),α=3i+4∕,b=τ∙+j,

所以4=(3,4)/=(-1,1),

所以4-6=(4,3).

5.平面直角坐标系内，。为坐标原点，若点A(3,5),则向量OA的向量正交分解形式是

【答案】OA=3i+5j

【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.

【详解】因为点A(3,5),所以O4=3i+5j

6.己i,/分别是方向与X轴正方向、》轴正方向相同的单位向量，。为坐标原点，设

OA=(X2+X+1)∕-(Λ2-X+1)J(X∈∕?),则点A位于第象限.

【答案】四

【解析】由向量的正交分解可得A点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.

【详解】由题意得：A(√+X+1,-X2+X-1)

X1+x+l>0--X1+x-l<0,A位于第四象限

7.如图，己知边长为1的正方形43CQ中，AB与X轴正半轴成30。角，求AC和BD的坐标.

［答案］AC=(且二ɪ,回ɪ),§0=(逆二1,1二1)

2222

【分析】依题意8,。分别是30。，120。角的终边与单位圆的交点，设Ba,y),D(x2,y2).由

三角函数的定义，求出8、。的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.

【详解】解：由题知8,。分别是30。，120。角的终边与单位圆的交点.

设B(XQJ,D(x2,y2).由三角函数的定义，

「•档芬

得xl=cos30=ɪ，yi=sin30=ɪ,

］/ɜ・J1间

X)=COS120=——,y=sin120=——

2)22

A(0,0)

∙∙∙AB=(4'J,ΛD=(4T-

D=A­∑φ1,φl)

.∙.AC=AB+AD=,Bi

2222

题型二：平面向量数量积的坐标运算

［例1］已知港=(2,3),詹=(3,f),I范=1,则露.病=

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】由於=茂一港=(1,t-3),Bq=Jl2+y3=1,得f=3,则8C=(1,()),

ΛB.BC=(2,3)∙(l,0)=2×l+3×0=:2.故选C.

【例2】在边长为3的正方形ABCz)中E是BC上靠近8点的三等分点，则ACDE=()

A.3B.—3C.-4D.4

【答案】A

【分析】以B为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到AC,OE，代入计算即可.

【详解】以8为原点建立如图所示宜角坐标系,E是BCL：靠近8点的三等分点，且边长为3,

M

所以A(O,3),E(1,O),C(3,O),E>(3,3),所以AC=(3,-3),DE=(-2-3)

所以AC∙OE=3∙(-2)+9=3.

UlUUUUuiɪilLiLlll

【例3】已知√1BC为等边三角形,A8=2,设点RQ满足AP=ZIAB，AQ=(1—2)4C,2eR,

uimuιr3

若80∙CP=-5,则，=()

A.1B.上也

22

c1±MD-3±2√Σ

"-2-'-T~

【答案】A

【分析】设A8=α,AC=6,.∙.同=W=2,且(a,/?)=。,先用”,b表示出BQ,CP>求出8。CP

的值，即可求出2.

【详解】解：设A3=α,AC=b,.∙.同=W=2,且(c,b)=(,

BQ=AQ-AB=(∖-λ)b-a.CP=AP-AC=λa-b,

BQ∙CP=[(1—Λ)Z?—tz]∙(Λ6f-Z?)=—2Λ2+2Λ-2=--^,.,.Λ=-.

【题型专练】

1.若向量w=(2,-1),〃=(3,2),则(2m+3〃)•(加一〃)=()

A.-25B.25C.-19D.19

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算与数量积的坐标表示运算即可.

【详解】因为m=(2,T),〃=(3,2),

所以2m+3〃=(4,—2)+(9,6)=(3,4)加一〃=(一1,一3),

故(2机+3〃).(加-〃)=13×(-l)÷4×(-3)=-25.

2.已知向量α=(2,0),b=5,w，则尻(。-5)=()

A.3B.1÷√3C.1D.O

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：因为α=(2,0),h=-,ɪ-,

\7

所以4_6=住‘一。，

ɔɔ

所以/?•(〃_〃)=j_j=o

3.(2021新高考1卷)已知O为坐标原点，点［(COSa,sinα),g(COS⑸-sin0,

Z^(cos(α+β∖sin(α+β)),A(l,0),则：

A.IoIl=I。6|B.IAlI=IC.OAOP3=OPcOP2

D.OAOP1=OP2OP3

【答案】AC

【解析】

【详解】A：OP1=(cosa,sincr),OpI=(COS夕,一sin尸)，所以∣O(∣=Jcos?α+sin?a=1，

22

IOP21=√(cos∕J)÷(-sin∕?)=1，故|0勺|=|0巴|,正确；

B：A^二(CoSa-LSinα),AP1=(cosβ-∖.-sinβ),所以

222

IAP1∣=J(COSa-1)」+sin，a=∖∣cosof-2cosαf+l+sina=λ∕2(l-cosa)=sin-ɪ=2∣si∏y∣

,同理IALl=J(CoS夕—I)?+sin2尸=21sin§I,故∣∣,∣∣不一定相等，错误；

C：由题意得：OA∙OF^=1×cos(6z+β)+0×sin(or+β)=cos(«+β),

OP}OPI=cosa∙cos∕7÷sin«∙(-sinβ)=cos(a+β),正确；

D：由题意得：OA-OPx=IXCOSa+0χsina=cosα，

OP1OP3=cosβ×cos(α+尸)+(—Sinβ)×sin(α+B)

=COS(B+(α+P))=CoS(α+2β),故一般来说Q4∙0∕jHθg∙θg故错误；

题型三：平面向量坐标共线，垂直问题

【例1】已知向量"=(l,f),b=(-3,l),且(2a+6),6,则(丁卜()

A.5B,2√5C.2√7D.2√6

【答案】A

【分析】转化(2a+b)，〃=(2a+〃”=0,求解r,再结合向量线性运算和模长的坐标公式

求解即可.

【详解】由题意,2a+b=(2,20+(-3,1)=(-1,2/+1),

(2t7+⅛)±⅛o(2α+⅛)∙⅛=3+2r+l=2r+4=0,解得/=—2,

故)J=(4,-3),∣a-⅛∣=√42+(-3)2=5.

【例2】已知平面向量)=(l,l)›=(-2,5),Z=(x,3),若(α-3b)J.c,则实数X的值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】由向量线性关系的坐标运算得α-36=(7,T4),再由向量垂直的坐标表示列方程求

参数值即可.

【详解】因为i=(l,1),6=(-2,5),所以α-3b=(7,-14),

因为(q-3b)_Lc,所以(α-3切∙c=7x-42=0,解得46.

【例3】向量d=(l,3),&=(3x-l,x+l),<?=(5,7),若(a+/?)(α+c),S.c=ma+nb则

m+〃的值为()

57

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】C

【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出x=l,再利用向量的

坐标表示得到关于加、〃的方程组进行求解.

【详解】由题意，得α+8=(3x,x+4),6∕+C=(6,10),

因为(4+h)(α+c),所以30x=6x+24,解得X=1,

则C=楝+泌=(3zn)+(2〃,2n)=(m+2n,3m+2〃)=(5,7),

m+2n=5∖m=∖

即‘解得”=2'故〃?+"3∙

3"?+2H=7

【例4】已知向量α=(l,-l),A=(l,2),若向量C满足(C+%)La,(c-a)∕∕6,则H=.

【答案】√5

(分析】设C=(X,y),利用向量四则运算、向量垂直和向量平行的坐标表示列出方程组解事c，

进而即可得到口.

【详解】设C=(X,y),由题意得工+b=(x+l,y+2),c-a=(x-l,y+l),

因为仅+1)_La,{c-a^Hb,

x+l-j-2=0

(x+l,y+2)∙(l,-l)=0

所以＜jly+l)="l,2)即＜x-l=4,解得c=(2,1),

y+1=24

所以H=万不=有.

【例5】已知向量A3=(2,l),3C=(7,m),CD=(3,-1),若A,S。三点共线，则%=

【答案】6

【分析】根据给定条件，求出BO,再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因8C=(7,m),CD=(3,-1),则3。=8。+。£)=(10,/«-1),

又43=(2,1),且A,B,。三点共线，即ABaBD，因此2(加一I)-IXIO=0,解得,”=6,

所以，”=6.

【题型专练】

1.设KyeR,向量α=(*/),匕=(l,y),c=(2,-4),且αl.AC/必，则∣α+b∣等于()

A.2y∕2B.√10C.3D.4

【答案】B

【分析】由向量共线定理及垂直的坐标表示求得。=(2,1)、b=(1,-2),应用向量线性运算、

模长的坐标表示求结果.

___[24=1

【详解】由c∕∕b知：⅛=2c∏.Λ∈R.则｛.,可得y=_2,EPfe=(1,-2),

[-4zl2=y

由115知:%—2=0»可得x=2,即α=(2,l),

所以α+b=(3,T),⅛⅛∣Λ+⅛∣=√iθ.

2.已知向量。=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),^c=λa+μh,2、aCR,则λ+μ

=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.

【详解】由c=∕lα+46,则(4,2)=2(1,1)+M(T1),叱=—；，解得|〃=一1，

故丸+〃=2,

3.已知向量。=(一l,2),b=(l,—l),c=(3,-2)且¢=pα+q∕?,则()

A.p=4,q=lB.P=IM=OC.P=OM=ID.P=IM=4

【答案】D

【分析】利用向量相等列方程即可求解.

[详解]因为pa+qb=p{-∖,rΣ)+q(∖,-∖)=(-p+q,2p-q),c=pa+qb=(2>,-i),

所以『+'=；，解得

[2p-q=-2[q=4

4.已知Q=(Lk),〃=(一1,3),若(2〃+Z?)J_。，贝IJ左二()

A.-B.—C.ID.—1

22

【答案】BD

【分析】利用向量垂直时的坐标表示列方程，解方程即可.

【详解】24+b=(1,2k+3),由(2α+b)_La得(2α+b)∙a=O,即l+%(2%+3)=O,解得％=

或左=一1.

5.如果平面向量α=(2,0),fc=(l,l),那么下列结论中正确的是()

A.∖a∖=>∕2∖b∖B.a-b=2y∣2C.(a-b)LbD.a∣Ib

【答案】AC

【分析】根据向量的坐标运算，即可求解模长和数量积以及平行关系.

【详解】由于M∣=2,∣"=√Σ,所以∣α∣=0^∣R,故A对，

“d=2,故B错，

{a-b)b-a∙b-b=2—2=0>所以(a-b)J_6,故C对,

2×l≠0×l,故α,Z>不平行，故D错，

6.在平面直角坐标系XOy中，M(3,1),N(T,3),OP=λOM+(∖-λ)ON,a=(l,-l),若

OP与α共线，则；I=.

【答案】-1

UUU

【分析】设OP=(X,y),根据题意和平面向量的坐标表示可得χ+y=O和》=42-1、y=3-22,

即可求解.

IllIU

【详解】设。P=(X,y)，由。P与α共线，所以χ+y=0.

由OP=∕IQM+(1—∕1)ON,得

x=3Λ-(1—Λ)=4Λ-1,y=Λ+3(l-A)=3—2Λ,

则24+2=0,解得4=T.

7.已知向量α=(2,2),b=(3,3"z-2),c=(-2,2-2∕n).若“〃,+c),贝IJlbl=.

【答案】√io

【分析】根据向量共线得坐标表示，求解出6,然后求模.

［详解］:"+c=（3,3加一2）+（-2,2—2，〃）=（Lm）,α∕∕（b+c）

/.2×nι-2×1=O解得，"7=1.

h=（3,1）

22

Λ∣⅛∣=√3+I=√io

8.已知向量5=(2,-3),h=(1,2),若(4+2Z?)_L〃，则.

13

【答案】√##3.25

4

【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标运算，即可求解.

r

【详解】因为“=(2,-3),.=(1,2),所以α+劝=(/1+2,24—3).

因为(α+∕l⅛)_La,所以(α+昉)∙4=0,

1Q

即2(2+2)—3(24—3)=0,解得；1=?.

9.已知向量的AB=(7,6),BC=(-3,ni),AD=(-i,2m),若4,C,9三点共线,则m=.

2

【答案】

【分析】由向量线性运算的坐标表示得AC=(4,〃?+6),根据三点共线有AC=4AOΠ.λ∈R,

即可求m值.

【详解】由4C=AB+8C=(4,"i+6),又A,C,。三点共线，

(..(λ=-4

所以AC=ZU。且&R，则L可得｛2■

2mλ=∏7+om=——

I3

10.向量4=(工,1)/=(2/),。=(一2,2),且a_Lc,b〃c,则卜+司=.

【答案】√io

【分析】利用向量垂直、平行以及加法运算、模长公式的坐标形式进行求解.

【详解】因为d=(x由力=(2,y)]=(-2,2),且〃_LC,5〃C,

所以-2x+2=0,-2y=4,

解得X=1,y=-2,

所以4=(1,。出=(2,—2),

所以α+8=(3,-1),∣6r+⅛I=ʌ/ɜ2+(-I)2=VlO.

题型四：平面向量坐标模的计算

【例1】设向量α=(l,O),b=,若c=α+为(f∈R),则ICl的最小值为

A.√2B.1C.—D.-

22

【答案】C

_--7,ʌf√2√2W√2√2

【解析】C=Q+m=(1,0)+，---,—--=——t,所以

2222

Jl+6+,产+ɪz=&+扬+1=(+也［+L≥也

22

V22KJ2

【例2】已知向量α=(5,-4),b=(-2,2).

(1)若卜I=Ia-，泌I,求实数，〃的值；

⑵若向量C与α+38共线且H=不，求C的坐标.

【答案】⑴加=0或，：(2)c=(l,-2)或c=(-l,2).

【分析】(I)利用向量坐标的线性运算求〃洒坐标，模长坐标公式列方程求参数值;

(2)设C=(X»)并求出“+36的坐标，根据向量共线及模长坐标公式求x、＞,即可得C的坐

标.

(1)

由题知：a-mb=(5,-4)-m(-1,2)=(5+2m,-4-2tri),p∕∣=ʌ/ʒ2+(-4)2=JJT,

Vpz∣=∣Λ-∕77⅛∣,

Λpz∣=∣ɑ-∕w⅛∣,

Q

.*.41=(5+2m)2+(-4-2m)~,即Sm2+36m=0»解得m=0或一5.

(2)

设C=(x,y)fa+3b—(5,—4)÷3(—2,2)=(-1,2),

Vc∕∕(α+3⅛j,

.∙.2x=-y,又H=有，

22

∙*∙y∣x+y=75»即Y+J=5,

v=-2xx=lX=-I

联立√∕=5'解得"-2’或

+J=2

，c=(l,-2)或c=(-l,2).

【题型专练】

1.已知”=(l,f),b=(t,-6),贝∣J∣2α+Z>∣的最小值为.

【答案】2君

【解析】：

22222

2a+b=∣(2+t,2t-6)=√(2+?)+(2f-6)=√r+4r+4+4?-24z+36=√5r-20f+40

对称轴f=2,所以当r=2时，2a+b=520-40+40=2#)

2.已知向量)=(-2,2),力=(5㈤.若卜+0不超过5,则上的取值范围是(

A.[Y,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]

【答案】C

【分析】先根据向量的坐标运算求出α+6=(3,2+Q,再根据向量的模的坐标公式和题意列

出关于/的不等式即可求解.

【详解】因为α=(-2,2),b=(5,k),所以α+6=(3,2+Q,

所以1+,=荷+(2+%)2=J∕+4%+13,因为卜+可不超过5,

所以√12+4Z+1345，解得：-6≤Z≤2,

题型五：平面向量坐标运算中的夹角，投影问题

【例1】已知向量d=(2,n),6=(肛4),若4+0=(5,3),则向量α在向量b上的投影向量为

B.空6842

25,255,5

【答案】C

a`bb

【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出m、〃，即可得到d,b,再根据WM计

算可得.

【详解】解：因为“=(2,"),⅛=(∕n,4),所以α+6=(2,")+(加,4)=(2+μ,〃+4),

又α+6=(5,3),所以〃+4=3,解得J］，所以L=(ZT),人=(3,4),

所以〃∙b=2x3+4x(T)=2,∣⅛∣=√32+42=5,

68

25,25

【例2】设向量α=(-6,8),5=(3,4),c=a+tb,r∈R.若C平分“与》的夹角，则f的

值为.

【答案】2

【解析】解法一：Z=Z+"=(-6+3r,8+4r),所以＞Z=-6(-6+3r)+8(8+4r)=100+14r;

H=3(—6+3r)+4(8+4∕)=25f+14,H=1O，W=5

a∙c_h∙c

所以cos(a,c

因C平分与8的夹角，=COS即府丽，所以

100+14f25Z+14

,所以100+14f=2(25/+14),解得/=2

10∣c∣5∣c∣

c=α+仍=(-6+3f,8+4∕),所以0χ(8+4f)=g(-6+3f),解得f=2

【例3】已知向量力=(3,4),n=⑵,lτ),则下列结论正确的是()

A.当f=l时，Iw+«I=√4?

B.当f>-2时，向量〃?与向量〃的夹角为锐角

C.存在f<0,使得〃?〃”

D.若机_L〃，则f=-2

【答案】AD

【分析】对A,将1代入公式计算即可，对B,利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只

需要验证〃?•〃结果，

对C,利用共线向量性质可得，对D,由向量垂直可得.

【详解】当f=l时，W+zι=(5,4)•所以|/〃+〃I=JJT,故A项正确；

3

=67+4—4/=2/+4，当£〉—2时，>0，但""=Jj时，向量团与向量九同向，夹角

为0。，故B项错误；

3

若m//∏f则/=yγ，故C项错误；

若加，〃，则“k=0,即3x2f+4(lT)=0,解得/=—2,故D项正确.

【例4】已知ZXABC的三个顶点分别为A(3,-√3),B(6,0),C(5,-6)求Z4C8的大小.

【答案】C

【解析】而=(—2,O)W=(1,√5),所以I词=J(一2)2+(0)2=2,W=JI2+的『=2

CACB-2×l+0×√3

所以COSNACB=2.所以NACS=120°

CACB

【例5】向量α=(2,力，/2=(—1,3),若a，〃的夹角为钝角，则f的范围是

A.t<—B.t>—

33

2

C./<一且t。—6D.t<―6

3

【答案】C

2

【解析】若a，6的夹角为钝角，则a∙><0且不反向共线，a-b=-2+3t<0^得

向量a=(2"),A=(—1,3)共线时，2x3=T,得/=-6.此时a=-2∕?.

2

所以r<一且/0—6.

3

【题型专练】

I.己知向量R4=(-G,1),PB=(I「⑹,则NAPB=

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】D

【解析】根据题意，可以求得Wd=Jm=2,1Pq=Jr行=2,

结合向量所成角的范围，可以求得NAPB=I50°,故选D.

2.己知向量a=(3,-4),⅛=(4,3),e=(T—3),则()

A.a.LbB.ale

C.∣c∣=25D-"匕与C的夹角为彳

【答案】ABD

【分析】利用向量的坐标运算，逐个验证选项.

【详解】已知向量〃=(3,-4),6=(4,3),c=(-4,-3),

-b=3×4+(-4)×3=0,aYb•选项A正确;

“∙C=3x(T)+(-4)x(-3)=0,a±c,选项B正确;

22

∣C∣=√(-4)+(-3)=√25=5,选项C错误；

a+b=(7,-1),