2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分.）

1.（5分）已知集合A={（x,y）Iy=-2χ-I],B={Cx,y）∣y=∕},则A∩B=（）

A.（-1,1）B.{-1}C.{-L1}D.{（-1,1）}

2.（5分）欧拉公式√θ=cosθ+zsinθ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数联系在一起，

充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z=∕n-i,则IZl=（）

√2LL

A.—B.IC.√2D.2√2

2

3.（5分）已知α6R,则ua>6,,是rtA2>36w的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公

斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划

分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为

某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体

重和举重质量之间的关系的是（）

举重运动员的体重与举重质量关系折线图

举重质量/公斤

4

310

40

3

39()

370

350

30

3l()

290

OV-

27

250

5060708090100110120

运动员体重/公斤

A.y=m∖[x+n(w>0)

B.y=nιx+n(∏2>0)

C.y=mx1+n(m>0)

D.y=nurv+n。>0且α≠l)

5.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,∕（x+2）为偶函数，/（2x+l）为奇函数，则（）

A.∕∙(-∣)=OB./(-I)=OC.f(2)=OD.f(4)=O

6.(5分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(XbyI)3(x2,J2)两点，如果xι+xz

=6,那么∣A5∣=()

A.6B.8C.9D.10

7.(5分)已知数列｛呢｝满足m+3α2+…+(2〃-则数歹∣J｛冷J的前10项和是()

10112022

A.—B.—C.—D.—

21232123

2y_1γV1

'~,则方程f(∕(x))=1的根的个数为()

｛Iln(X-I)|,%>1

A.7B.5C.3D.2

二、多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）

（多选）9.（5分）下列命题中正确的是（）

A.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内

B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交

C.若直线/与平面α平行，则,与平面a内的直线平行或异面

D.若平面a〃平面0,直线aua,直线6uβ,则“〃6

（多选）10.（5分）已知函数y=4sin（ω^+φ）（πA>0,ω>0,∣φ∣<^∙）的部分图象如图,

Tt

将该函数的图象向X轴负方向平移二个单位,再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵

6

坐标不变），得到函数/（x）的图象.下列结论正确的是（）

B./"等”百

C.曲线y=∕(x)的对称轴是x=⅛π+gQkeZ)

D.若∣xι-X2∣V1则Iy(XI)-f(X2)|<4

（多选）11.（5分）若定义域为（0,+8）的函数/（χ）的导函数，（X）满足4（x）

÷l>0,且/（1）=1,则下列结论中成立的是（）

A.f（e）>0

1

B.f（-）<2

e

C.∀x∈（1,e）,f（无）>0

D.3x∈（1,e）,f（x）-f（ɪ）+2<0

（多选）12.（5分）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，

也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小

明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的

美丽图案，具体作法是：在边长为I的正方形ABCD中，作它的内接正方形E尸G”,且

使得NBEF=I5°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得NFMN=I5°；依

次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为劭（其中

第1个正方形ABCD的边长为“1=AB,第2个正方形ErG4的边长为G=E凡…），第

〃个直角三角形（阴影部分）的面积为S（其中第1个直角三角形AE”的面积为Si,第

2个直角三角形EQM的面积为S2,…），则（）

A.数列｛a,,）是公比为I的等比数列

1

B-51=T2

4

c.数列｛8｝是公比为B的等比数列

D.数列｛S｝的前"项和7j,v∕

三、填空题（每小题5分，共15分.）

13.（5分）将3名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑2个项目进行培训，

每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分

配在一起的概率为.

14.(5分)圆心在直线y=-x+1上，且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程

是.

15.(5分)若函数f(x)=:χ3+χ2-,在区间(α,α+5)上存在最小值，则实数0的取值

范围是.

16.(5分)圆M的方程为(χ-2-5cosθ)2+(γ-5sinθ)2=1(θ∈R),圆C的方程为(X

-2)2+y2=4,过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则

PE■而的最小值为.

四、解答题

17.(10分)在AABC中，a,b,C是角4,B,C所对的边，asinC=√3c∙cosA,有三个条

件：①CoSB=-|；②HC=2百；③η=声，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三

角形存在.

(1)两个条件中能有①吗？说明理由；

(2)请指出这两个条件，并求aABC的面积.

a+l,R为奇数,

18.（12分）已知数列｛“”｝满足“1=1,an+1=n

a。+2,R为偶数.

(1)记加="2",写出6ι,bi,并求数列｛加｝的通项公式；

(2)求｛板｝的前20项和.

19.(12分)在四棱锥Q-ABC。中，底面ABC。是正方形，若AO=2,QD^QA=√5,QC

=3.

(I)求证：平面QADL平面ABC£)；

(∏)求二面角B-QQ-A的平面角的余弦值.

20.(12分)某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号

球、三个“3”号球、四个无号球，8箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖

后放回.消费额满IOO元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机

会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，

摸得无号球则没有奖金.

(I)经统计，消费额X服从正态分布N(150,625),某天有IOOO位顾客，请估计消

费额X

(单位：元)在区间(IOO,150］内并中奖的人数；

附：若X~N(p,σ2),贝UP(μ-。VXVμ+O)=O.6826,P(H-2。<X<μ+2。)=

0.9544.

(II)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数f的分布列；

(III)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法

-：一次B箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.

21.(12分)己知函数f(X)—ax-Inx-a(Λ∈R).

(1)求函数/(x)的极值；

(2)当x∈g,2］时，函数/(X)有两个不同的零点，求实数”的取值范围.

X2y2

22.(12分)已知4,8分别为椭圆C：—+—=\(a>⅛>0)的左、右顶点，尸为右焦点，

QNb已

点尸为C上的一点，PF恰好垂直平分线段。8(。为坐标原点)，IPfl=

(1)求椭圆C的方程；

(2)过尸的直线/交C于M,N两点，若点。满足Ob=OK+θλ(Q,M,N三点不

共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三(上)入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题(每小题5分，共40分.)

1.(5分)已知集合A={(x,y)∣y=-2χ-l},B={(x,y)∣y=∕},则ACB=()

A.(-I,1)B.{-1}C.{-1,1}D.{(-1,I)}

【解答】解：根据题意,集合A={(x,y)∣y=-2χ-l},8={(x,y)∣y=∕},

(y=-2x-1(X=-1

Iy=X2,Iy=1

则A∩8={(X,y)I(-1,1)},

故选：D

2.(5分)欧拉公式√θ=cosθ+⅛inθ把自然对数的底数e,虚数单位/,三角函数联系在一起，

充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数Z=M-i,贝悯=()

√2LL

A.一B.1C.√2D.2√2

2

【解答】解：由题意可得，复数z=e'11-i=cosn+isinπ-i=-1-i,

Λ∣z∣=I-1-i∖=√(-l)2+(-l)2=√2,

故选：C.

3.(5分)已知“6R,贝∣J“a>6”是“/>36”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：①由”>6,得/>36,所以“。>6”是“/>36”的充分条件，

②由/>36,得α>6或αV-6,所以ua>6n是aa2>36,'的不必要性条件,

故a>6是α2>36的充分不必要条件，

故选：A.

4.(5分)第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公

斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划

分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为

某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体

重和举重质量之间的关系的是()

举重运动员的体重与举重质量关系折线图

举重质量/公斤

4301-------------------------------------------------------------------------

410-------------------------------------------.-------------------------------

390----------------------------------------------------------------------

370------------------7N------------------------------------------------

350---------------------------------------------------------------------------

z

330-----------7-------------------------------------------------------------

310---------------------------------------------------------------------------

290—/-----------------------------------------------------------------

270---------------------------------------------------------------------------

2501-------------------------------------------------------------------------

5060708090IoOUo120

运动员体重/公斤

A.y=my∕x+/?(m>0)

B.y=nvc+n(∕π>0)

C.y=Iwc2n(m>0)

D.y=nuιx-^-n(%z>0,。>0且α≠l)

【解答】解：因为一次函数的图象为一条直线，二次函数的图象为抛物线，故B,C错

误，

根据基函数与指数型函数的通项，特征即可判断A正确，。错误，

故选：A.

5.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，f(2x+l)为奇函数，则()

A./(-∣)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【解答】解：因为函数/(x+2)为偶函数，则/(2+x)=∕(2-χ),

可得/(x+3)=f(1-尤)，

因为函数/(2x+l)为奇函数，则/(l-2x)=-∕<2x+l),

所以，/(1-χ)=-/(x+l),

即/(x+3)=-∕(x+l)=/(x-1),

:∙f(x)=/(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数∕7(x)=f(2Λ+1)为奇函数，则∕7(0)=/(1)=0,

故/(-1)=-/(1)=0，其它三个选项未知.

故选：B.

6.(5分)过抛物线)?=4x的焦点作直线交抛物线于A(Xl,yι)B(X2,”)两点，如果xι+x2

=6,那么HBl=()

A.6B.8C.9D.10

【解答】解：由题意，p=2,故抛物线的准线方程是X=-1,

：抛物线y2=-4x的焦点作直线交抛物线于A(xι,yι)B(x2,y2)两点

Λ∣AB∣=XI+X2+2,

又XI+X2=6

.∙.∣A8∣=XI+X2+2=8

故选：B.

7.(5分)已知数列｛〃“｝满足m+3o2+…+(2〃-1)斯=2〃,则数歹U｛磊J的前10项和是()

【解答】解：:数列｛。〃｝满足αι+3"2+…+(2«-1)an=2nf①

.∙.m=2,

。1+3。2+…+(2A?-3)an-1=2Cn-1),②

①-②整理得：(2〃-1)〃〃=2,

∙∙a∏=2n-i,(〃22)

n=∖时也成立，

2

2n≡l

.an=2=1_1

^*2n+l-(2n-l)(2n+l)-2n-l-2n+l

〔ɪ1

・，・数列d的前io项和是：(1—1)+(ɜ—~)+.....+

2×10-l2×10÷l

1_20

^2×10+l=21,

故选：C.

2Y—1,%V1

^,则方程/(/G))=1的根的个数为()

｛ImQ-I)I,x>l

A.7B.5C.3D.2

2x1x1

【解答】解：函数f⑴=j^^≤,则方程/⑺=1,

Wn。-1)∣,%>1

1

可得2f-1=1,解得/=1;∖ln(LI)|=1,可得Ll=e或L1=)

1

所以f=e+l或，=l+5,

所以/（x）=3可得2χ-1=1,解得X=1；∖ln（X-I）I=1,可得X-I=C或X-I=

1

所以X=e+1或X=Id—,

e

可得2χ-l=c+l,解得X=I+*舍去；（x-I）I=I+e,可得X-I=e",或X-I=/I

_e

所以κ=e""+l或x=l+/1°,

Il1ɪ1

可得2x-1=1+],解得X=石舍去；∣∕”（x-1）∣=l+g,可得X-I=e"-或X-1=e~1~e,

所以X=e1+β^1+1或X=I+eTfT,

所以方程f（f（x））=1的根的个数为7个.

故选：A.

二、多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）

（多选）9.（5分）下列命题中正确的是（）

A.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内

B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交

C.若直线/与平面α平行，贝U/与平面α内的直线平行或异面

D.若平面a〃平面0,直线aua,直线bu0,则“〃6

【解答】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，

故A正确；

对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相

交或在平面内，故8错娱；

对于C若直线/与平面a平行，则/与平面a内的直线平行或异面，故C正确；

对于。：若平面a〃平面β,直线aua,则a〃平面β,又直线人uβ,则直线a〃b或a

与人异面，故。错误.

故选：AC.

（多选）10.（5分）已知函数y=Asin（3x+φ）（πA>0,ω>0,∣φ∣<^∙）的部分图象如图，

JT

将该函数的图象向X轴负方向平移二个单位,再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵

6

坐标不变），得到函数/（X）的图象.下列结论正确的是（）

B.f(-ʃ)=√3

C.曲线y=∕(x)的对称轴是x=Λπ+*(Z∈Z)

D.若阳-X2∣V/,则I/(X1)-f(%2)|<4

【解答】解：由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<^)的部分图象,

12πllπ5π

可得A=2,一•—=---・•3=2.

2ω1212

结合五点法作图，可得2x6+φ=π,.∙.φ=看，故函数y=2sin⑵+5).

n

将该函数的图象向X轴负方向平移一个单位,可得函数>,=2sin(2x+ɪ)=2cos2x的图象,

6

再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变)，得到函数/(x)=2CoSX的图

象.

当一5≤%≤等时，/(x)=2COsɪ的取值范围是[-1,2],故A正确;

f(一空与=2cos--=2cos-=-ʌ/ɜ,故B错误；

666

显然，函数f(x)的图象的对称轴为x=⅛π,k∈Z,故C错误；

若IXLX2∣V*,则If(M)-f(x2)∣<∣2-(-2)|=4,即，(XI)-/(x2)|<4,故。正

确，

故选：AD.

(多选)IL(5分)若定义域为(0,+8)的函数/ω的导函数F(x)满足城(%)

+l>0,且/(1)=1,则下列结论中成立的是()

A./(e)>0

1

B.f(-)<2

e

C.∀x∈(1,e),/(x)>0

1

D.3x∈(ɪ,e),f(x)-f(―)+2<0

【解答】解：根据题意，若定义在(0,+8)的函数/(χ)的导数/(X)满足城(X)

+l>0,

1

则有/(%)+点〉0，则有［∕G)+lnx∖,>0,

1

o

设g(ɪ)=/(x)+Inx9则g'(X)=/(无)+->0,则g(X)在(O,+°)上为增

函数，

依次分析选项：

对于A,e>1,则g(e)>g(1),即/(e)+lne>1,则有f(e)>0,符合题意；

11111

对于B,—<Γ1,则g(―)Vg(1),即/(一)+In—=f(―)-Kl,

eeeee

即有/¢)<2.符合题意；

对于C,g(x)在(1,e)上为增函数，且g(1)=1,则有/(x)+lnx>1,

则/(x)>1-Inx,又由IVXVe,则/(%)>0,符合题意；

对于D,当x∈(1,e),有χ>W>±K),此时有/(x)>/(-),

111

即/(x)+lnx>f(-)+In(―),变形可得/(x)-/(―)+2lnx>0,

1

又由1<x<e,则O<∕"x<l,则f(x)-/(―)+2>0恒成立，不符合题意；

X

故选：ABC.

(多选)12.(5分)“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，

也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小

明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的

美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABC。中，作它的内接正方形E『GH,且

使得NBEF=I5°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得NFMN=I5°；依

次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为如(其中

第1个正方形ABC。的边长为m=AB,第2个正方形EFG”的边长为G=EF,…)，第

〃个直角三角形(阴影部分)的面积为S”(其中第I个直角三角形4E”的面积为Si,第

2个直角三角形EQM的面积为S2,…)，则()

D∣--------⅛-τ—∣c

A^SE^~B

A.数列｛α,,｝是公比为I的等比数列

β∙51=⅛

4

C.数列｛s,｝是公比为3的等比数列

D.数列｛S,｝的前"项和力,4J

【解答】解：如图，

由图知，an=an+1(sinl5o+cos15°)-an+∖×√2sin(15°+45°)=-^∙an+∖,

A：∙.∙α,ι=康3+i,.*.n+1=―,；∙数列｛如｝是公比为农的等比数列，错误，

Zan33

an22

BC：4"=lx(*尸=(停尸，：.Sn=-^+ι=1[(2)n-i_(2r]=1χ(2)n,

∙∙.数列｛S｝是首项为卷，公比为I的等比数列，,B正确，C错误，

D：∙.∙Tn=之口[，)]=扣—(∣)2]Vq.∙.D正确.

1-3

故选：BD.

三、填空题(每小题5分，共15分.)

13.(5分)将3名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑2个项目进行培训，

每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分

1

配在一起的概率为-.

【解答】解：由题意可知，基本事件总数为废朗=6,

甲、乙两名志愿者分配在一起的基本事件数为2,(即甲乙都分配到花样滑冰或短道速滑)

21

故由古典概型的概率公式可知，所求概率为二=二.

63

故答案为：

14.（5分）圆心在直线y=-x+1上，且与直线x+y-2=0相切于点（1,1）的圆的方程是

z1ʌ2,/1\21

（ΛΓ-2）+（y-2）=2•

【解答】解：设圆心坐标为。（〃，b）.

•・・圆心在直线y=-χ÷l±,

：.b=-a+∖.

又•・,直线/：x+y-2=0相切于点尸（1,1）.

则OP-LL

•l—Q

・MjOP=RE=L1

解得，a=

・・。=-α+l=2«

「、11

，圆心O（一，一）.

22

圆的半径

r=∣OP∣=J（l-^+（l-^=f.

・,・圆的方程为：（X—2）?+（J—⅛）2=⅛.

11

2--

故答案是：（X-抄+（y22

15.（5分）若函数/（x）=：%3+/一可在区间（α,〃+5）上存在最小值，则实数。的取值

范围是I-3,0）・

【解答】解：由题意，f（x）=，+2X=X（尤+2）,

故/（龙）在（-8,-2）,（0,+8）上是增函数，

在（-2,0）上是减函数，

作其图象如右图，

I7O

令才+/一-=-W得,

X=O或X=-3：

则结合图象可知,

-3≤ɑ<0

,0+5>0

解得,α∈[-3,0)：

故答案为：I-3,0).

16.(5分)圆M的方程为(Λ-2-5COSΘ)2+(γ-5sinθ)2=1(θ∈R),圆C的方程为(X

-2)2+y2=4,过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则

PE­而的最小值为6.

【解答】解：圆C的方程为(χ-2)2+)?=4,则圆心C(2,0),半径为2,

圆M的方程为(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),则圆心M(2+5cosθ,5sinθ),

半径为1,

Λ∣CM∣=√(5sinΘ)2+(5cosθ)2=5>2+l,故两圆相离.

'：PE∙PF=∖PE∖∙∖PF∖∙cosZEPF,

要使届∙∕⅛的值最小，需|届|和|而|最小，且/EPF最大，如图所示:

设直线CM与圆M交于”、G两点，则∕⅛∙丽的最小值是∕⅛∙∕⅛,

则IHel=ICM-I=4,

∖HE∖=JlHCI2_ICEI2=√16-4=2√3,SinNCHE=

/.cosZEHF^cos2ZCHE^1-2siι?/CHE=

：.HE-HF=∖HE∖∙∖HF∖■COS乙EHF=2√3×2√3×ɪ=6,

即∕⅛∙丽的最小值为6.

故答案为：6.

G

四、解答题

17.（10分）在AABC中，a,b,C是角A,B,C所对的边，asinC=√3c∙cosA,有三个条

件：①COSB=-|：②i>+c=2百；③α=伉，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三

角形存在.

（1）两个条件中能有①吗？说明理由；

（2）请指出这两个条件，并求4A8C的面积.

【解答】解：（1）因为“sinC=bc∙cosA,

所以由正弦定理可得SinASinC=√3sinCcosA,

因为SinCW0,

所以Sirb4=V5COSA,可得tanA=V^,

因为AW（0,π）,

所以A=*

假设两个条件中有①，则会推出矛盾，过程如下：

因为COSB=-∣

所以加（竽，τr）,由于此时A+B+C>n,所以不能有①；

（2）只能选择②③，

因为A=*,所以由余弦定理可得。2=廿+°2-2/”》4,即6=廿+。2-历，

由于8+c=2b,所以Ac=2,

此时Ee：27/5-解得P=f+L或F=F一1，所以AABC存在，

U+c=2√3(c=√3-1(c=√3+1

所以SMBC=^bcsinA=×2×ɪ=ɪ.

an+1,

18.(12分)已知数列｛丽｝满足m=l,an+ι=[“为奇数:

1册+2，C为偶数.

(1)记加=。2〃，写出加，bz,并求数列｛d｝的通项公式；

(2)求｛斯｝的前20项和.

(αn+l,为奇数

【解答】解:(1)因为41=1,a∏+∖=〈,

IQn+2,C为偶数

所以α2=m+l=2,3=42+2=4,-3+1=5,

所以历=02=2,历=04=5,

bn~bn-\=Cl2n~-2=Ctln~Cl2n-1+。2〃-1-Clln-2=1+2=3,"22,

所以数列｛加｝是以bτ=2为首项，以3为公差的等差数列，

所以加=2+3(n-1)=3n-I.

另解：由题意可得。2〃+1=42〃-1+3,Cl2n+2=Cl2n^~3>

其中41=1,"2=41+1=2,

于是加=42"=3(H-1)+2=3〃-1,Z2∈N*.

(2)由(1)可得G2"=3"-1,"∈N*,

则〃2〃-I=Q2〃-2+2=3(〃-1)-1+2=3〃-2,

当〃=1时，G=I也适合上式，

所以a2n-↑=z3n-2,-WN*,

所以数列｛劭｝的奇数项和偶数项分别为等差数列，

-10χ9

则｛〃〃｝的前20项和为〃|+。2+...+〃20=(。1+〃3+~+〃19)+(〃2+。4+~+〃20)=IOH——Q—×3+IO

1HyQ

×2+-iiyz×3=300.

19.(12分)在四棱锥。-ABCo中，底面A8C。是正方形，若Ao=2,QD=QA=炳,QC

=3.

(I)求证：平面QAQ_L平面A5CD；

(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

Q

【解答】(I)证明：AQCD中，CD=AD=2,QD=√5,QC=3,所以CD2+QZ)2=0C2,

所以CD1QD；

又Co_LA。，AD∏QD=D,Af)U平面QAO,Q£>U平面QAO,所以C£)_L平面。AO；

又CoU平面ABCD,所以平面Q4D_L平面ABCD.

(II)解：取的中点0,在平面A8C。内作QrJ_AO,

以0。所在直线为y轴，OQ所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系0-Λyz,如图所示:

则0(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),Q(0,0,2),

因为OX，平面AOQ,所以平面ADQ的一个法向量为Z=(1,0,0),

设平面BQQ的一个法向量为∕?=(x,yfz),

由丽=(-2,2,0),而=(0,-1,2),

即

M=°,—2x+2y=0

得

—y+2z=0

β∙DQ=G

令z=l,得y=2,X=2,所以6=(2,2,1)；

同”JO∖之72+0+02

所以cos<α,β>=.→=-~

∖a∖-∖β∖l×√4+4+l3

2

所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值为3

O

20.（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号

球、三个“3”号球、四个无号球，8箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖

后放回.消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机

会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，

摸得无号球则没有奖金.

（I）经统计，消费额X服从正态分布N（150,625）,某天有IoOo位顾客，请估计消

费额X

（单位：元）在区间（IOO,150］内并中奖的人数；

附：若X~N（μ,。2）,贝IjP（μ-。<X<μ+o）=0.6826,P（μ-2。VX<μ+2。）=

0.9544.

（Il）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数W的分布列；

（III）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法

-：一次B箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.

【解答】解：（I）依题意得Il=I50,。2=625,得。=25,100=μ-2o,-------------

--------------------（1分）

消费额X在区间（IOO,150］内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6,----------

-----（2分）

人数约为IOOoXP（μ-2σ<X≤μ）=1000×ɔ=477人，-------------------

------------------------------------------（3分）

其中中奖的人数约为477X0.6=286人；------------------------------------------

（4分）

（II）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6,

三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3,0.6）,P（f=fc）=⅛0.6k∙0.43-k,（A=O,1,2,

3)-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------(6分)

故S的分布列为

ξ0123

38,、36-54…27

P0.064（或一）0.288（或---）0.432（或一）0.216（或---）

125125125125

(8分)

(III)A箱摸一次所得奖金的期望值为50X0.1+20X0.2+5X0.3=10.5,--------------------

__________________(9分)

B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35,------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------(10分)

方法一所得奖金的期望值为3义10.5=31.5,方法二所得奖金的期望值为35,

所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.----------------------------------

______________________________(12分)

21.(12分)已知函数/(x)=ax-Inx-a(«eR).

(1)求函数/(x)的极值；

1

(2)当xeq,2］时，函数/(x)有两个不同的零点，求实数α的取值范围.

【解答】解：(1)V/(Λ)—ax-Inx-a,

'.f(X)=α—ɪ=~~χ~,(X>°，〃eR)，

①当.W0时，/(x)<0,∕∞在(0,+∞)上单调递减，/(x)无极值；

1

②当“>0时，x&(0,-)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；

a

1

x∈(-,+8)时，/(X)>0,f(X)单调递减；

a

1

：.f(x)仅有极小值/(一)=Mna-a；

a

综合可得：当QW0时，/(x)无极值；

1

当α>0时，f(x)仅有极小值/(一)=∖+lna-a；