陕西省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷附答案解析

陕西省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷附答案解析

班级:姓名：考号：

一、单选题

1.设集合A={x∣0<x≤4,xeN},8={M2*≤6},则AB=()

A.{1,2}B.[1,2]C.{1,2,3}D.[1,3]

2.已知i为虚数单位，则复数z=i+(l-D(2-i)的模为()

Λ.2B.√5C.√6D.2√2

3.在等差数列{4}中若4刈+4必=-2,则该数列的前2022项和为()

A.-2023B.-2022C.-2021D.-2020

4.某工厂生产的4B,C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5,为研究这三种产品的质量，现用分层

抽样的方法从该工厂生产的4B,。三种产品中抽出IOO件进行测试，则应该抽取的4型号产品的件数为

()

A.20B.30C.50D.80

5.设〃=2°∣∕=log2O.I,c=cos0.1,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

6.已知函数/(x)=xlnx-3x,则曲线y=∕(x)在点(ej(e))处的切线方程为()

A.x+y+e=OB.y-x+e=OC.x-y+e=OD.x+γ-e=O

7.在区间[0,兀]上随机取一个数X,则事件“cosx>；”的概率为()

ʌ.-B.-C.-D.∙~∙

3452

8.已知函数/(x)=sin(2x+?).给出下列结论：

①/(x)的最小正周期为乃；

②X=I是y=F(X)图象的一条对称轴；

TT

③把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移、个单位长度，可得到函数y=F(X)的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

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9.如图，在正方体ABs-AqGP中异面直线RC与B。所成的角为（）

A.30B.45C.60D.90

,>>

10.在Xoy平面内，双曲线「一马=1（4>0,&>0）的左、右焦点分别为"，K，过左顶点力且斜率为

ab~

日的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若2∣Ma=田用|,则该双曲线的离心率是（）

A.五B.叵C.巫D.-

V333

11.如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个

几何体的表面积为

ΔΔ

正视图左视图

俯榄图

A.冗B.3πC.2πD.兀*&

12.抛物线Uy2=2pMp>O）的焦点为F,A是C上一点，若A到F的距离是A到>轴距离的两倍，且三角

形。AF的面积为1（O为坐标原点），则〃的值为

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

13.已知向量α=(2,2),b=(—8,6),贝IJCoS<α,5>=.

x+3≥0,

14.设Xy满足约束条件，y-4≤0,则z=2x+y的最小值为.

x-y-2≤0,

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15.请写出一个同时满足条件①②③的函数/")=_...

①WXeR与〃-X)="X)；②函数/(x)的最小值为1;③函数f(x)不是二次函数.

16.设等差数列｛”“｝的前〃项和为S,,,若q>0,S4=Ss则当5.取得最大值时〃的值为

三、解答题

17.在ABC中内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosA=26-4.

⑴求α

⑵若c=4,ab=16,求一45C的周长.

18.红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩(满分150分),

绘制成频率分布直方图(如图)，成绩的分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),…,[140,150].

(2)由样本估计总体、估计这次考试，年级成绩优秀(分数大于或等于120分即为优秀)人数和平均分数(用

各组的中点值代替该组的平均值).

19.如图，在直三棱柱ABC-A耳G中AClBC,E为B片的中点，且AC=I和CC∣=BC=2.

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(1)证明AC，GE；

(2)求三棱锥G-ACE的体积.

20.已知椭圆C：千+，=1(。>6>0)的焦点为《和鸟，离心率为亭，直线/：x+y+m=OFI和K在

直线/上的射影分别为双N,且IMNI=2√Σ.

(D求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/与椭圆C交于/、6两点P(-2,0),求aAB尸的面积的最大值.

21.己知F是抛物线=2PyS>0)的焦点，点M在抛物线E上IMPl=2,以MF为直径的圆C与X轴

相切于点N,且IMMTNFI.

(1)求抛物线E的方程；

(2)P是直线y=T上的动点，过点P作抛物线E的切线，切点分别为48,证明：直线AB过定点，并求

出定点坐标.

X=I,+T1

2

22.已知直线1的参数方程为(其中t为参数)，以原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立

y=用二r

I2

极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=4Sin6.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线1的极坐标方程；

(2)若M直线/与曲线，的两个交点分别为4B,求黑+黑J的值.

23.己知函数/(x)=∣2x∣+∣x+3∣.

(1)求函数>=f(x)的最小值极

(2)若α>0,b>0且α+b=M,求仁+9的最小值.

参考答案与解析

1.A

【分析】解指数不等式化简集合反再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式2*≤6得:x≤log26则8={x∣x≤log26},而2<logz6v3,又A={l,2,3,4}

所以A8={1,2}.

故选：A

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2.B

【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模即可；

【详解】解：z=i+(l-i)(2-i)=i+2-i-2i+i2=l-2i

所以IZI=JI2+(_2『=正;

故选：B

3.B

【分析】利用等差数列的求和公式与等差数列的基本性质可求得数列｛为｝的前2022项和.

【详解】由题意可知等差数列｛%｝的前2022项和为52022=2022("；+娱)=2022(即;+即\=_2022

故选:B.

4.A

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的4B,。三种不同型号产品的数量之比为2:3:5,则/被抽的抽样比为_2_二=：I,

2+3+55

所以抽出100件产品中4型号产品的件数为IOOX"=20

故选：A

5.D

【分析】分别根据指数函数，对数函数和余弦函数的单调性求出取值范围即可判断.

［详解］由指数函数的单调性可知a=20∙l>20=l:

由对数函数的单调性可知6=Iog2θl<ɪogɔ1=0;

TT

由余弦函数的单调性可知O=COS—<c=COSeHCCoSO=I

2

故选：D.

6.A

【分析】求出函数/W的导函数/'(X),再求出了'(e),然后利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数f(x)=XlnX—3x,求导得：/'(X)=(InX+1)-3=InX-2,则/'(e)=-l,而/(e)=-2e

于是得：y+2e=-lχ(x-e),即x+y+e=0

所以曲线y=∕(x)在点(ej(e))处的切线方程为x+y+e=O.

故选：A

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7.ʌ

【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合儿何概型求解即可.

1TT

【详解】解：因为xe[0,τr],cosx>5,所以0≤x<^

I-A

故所求概率P31.

兀3

故选：A.

8.A

【分析】利用三角函数的周期性、对称性、平移变换即可得出答案.

r

【详解】对于①，/(X)的最小正周期为T=£)τr=乃，故①正确；

对于②，/^=sin^2∙→^=-si∏y=-^,所以②不正确；

对于③，把函数>=sin2x的图象上所有点向左平移(个单位长度得到y=sin2(x+讣Sin(2》+引，所

以③不正确.

故选：A.

9.C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接BQ与8。，因为BD〃BQ∣,则NCD内为所求，又4CE>4是正三角形，ZCD1B1=60.

故选：C.

10.B

_h

【分析】由'v="X'得出"(。力)，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.

U2+y2=C2

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【详解】因为2∣Ma=忻引=2c且点材在渐近线上

b

y=-χ.b-°_6b2√3τ,aΓ7⅛Y^√21

由，a得川(a,。),则二亍于是"卜匕I=亍

x2+y2=c2

故选：B

11.B

【详解】由三视图可知该几何体表示底面半径为1,母线长为2

所以该儿何体的表面积为S=πr2+πrl=π×∖λ+π×∖×2=l>π故选B.

12.B

【详解】设点尸(x,y),根据已知可知x+∙^=2x,解得：X=g,N=P所以s°"=gx5xp=l,解得

P=2,故选B.

【点睛】本题考查了抛物线的方程和几何性质，属于基础题型，抛物线的最重要的几何性质就是抛物线上

任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样就可以得到抛物线的焦半径公式IPFl=X+∙^,这样抛物线

的焦半径和坐标建立起联系，如果题设倾向于用平面几何知识解决问题，那有焦半径，也一定需做出到准

线的距离，然后再用平面几何解决问题.

13.-立

10

【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.

【详解】4∙A=2x(-8)+2x6=T∣α∣=√22+22=2>∣2

H√(-8)2÷62=WCH叫=号3=一奈

故答案为：-克

10

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查平面向量夹角公式，考查计算能力，属于基础题.

14.-11

【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】作出可行域如图所示.

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把z=2x+y转化为y=-2x+z,当y=-2x+z经过点A(-3,-5)时

纵截距最低，z=2x+y最小.

当直线/：z=2x+y经过点(-3,-5)时Z取得最小值—11.

故答案为：TL

15.∣x∣+l(答案不唯一)

【分析】根据要求写解析式即可.

【详解】由①可得"X)为偶函数，再结合②③可得了(X)可以为/(χ)=∣X+ι.

故答案为：∣χ∣+1(答案不唯一).

16.6

【分析】根据等差数列｛a,J的前〃项和的性质，结合二次函数性质确定最大值，即得结果.

【详解】设等差数列｛qj的公差为d,因为4>0,S4=S8所以d<0

05,,=叫+3〃(〃-1)"=：〃2+(6—9〃为开口向下的二次函数

所以对称轴为〃=签4+8=6

因为"wN',所以当且仅当〃=6时S”取最大值

故答案为：6.

17.⑴三

(2)12

【分析】(1)根据正弦定理，结合两角和的正弦公式与三角形内角的关系化简即可；

(2)根据余弦定理列式求解可得α+b=8,进而可得面积.

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【详解】(1)由已知及正弦定理可得2sinCcosA=2sin5-SinA

.*.2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA.

/.2sinCcosA=2sinAcosC÷2cosAsinC-sinA,即sinΛ(2∞sC-1)=0.

β.*A∈(0,π),sinΛ≠0,.∖2cosC-l=0,即CoSC=；.

又Cw(0,π),,C=].

(2)由余弦定理得CoSc="一+"-6=L

Iab2

.*.(α+⅛)^=3α⅛+16=64..,.a+h=3

Λα+⅛+c=8+4=12._ABC的周长为12.

18.(1)α=0.0150

(2)优秀人数有450人，平均分数为108.35分

【分析】(1)根据频率之和为1即可求解；

(2)求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数：根据平均数公式即可求解.

【详解】(1)由题意，(0.∞10+0.0050+0.01∞+α+0.0ɪ90+0.0250+a+0.0075+0.0025)×ɪ0≈1

解之，Wa=0.0150；

(2)由频率分布直方图，得样本中分数大于或等于120分的频率为

p=(().0150+0.(X)75+0.∞25)×10=0.25

Λ由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%

,这次考试年级优秀人数为1800×25%=450

设样本的平均分数为嚏

x=(65×0.∞10+75×0.∞50+85×0.01∞+95×0.0150+l05×0.0190

+1I5×O.O25O+125×O.O15O+135×O.∞75+145×O.OO25)×1O=108.35

由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分

.∙.这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分.

19.(1)证明见解析

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【分析】(I)证明出AC，平面BCaB一利用线面垂直的性质可证得结论成立；

(2)由(1)可知ACL平面ECC，可得出%TCE=匕一ECC,,结合体积公式可求得三棱锥G-ACE的体积.

【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC-AMG中

L

CC∣∙平面ABC,ACU平面ASC'CC11ΛC.

又ACLBC,且CG、BCu平面BCC∣4,且CClCBC=C..AC上平面BCGBl

又CIEU平面8CC∣B∣ACJ.C∣E.

(2)解：由(1)知AC_1_平面ECCl

%-ACE=^A-ECCt=gAC∙S"=gxlx(gx2x2)=|.

22

2。•呜+51

⑵当

【分析】(1)根据射影可求出2c,结合离心率即可求得椭圆方程；

(2)设点坐标，联立直线与椭圆方程，使判别式大于零解得〃的取值范围，求出弦长AB及点尸到直线的

距离，写出面积的式子，构造新函数，求导求单调性求最值即可.

【详解】(1)解：因为直线/：x+y+",=O的斜率为-1,所以倾斜角为学

4

.._∖MN∖_2√Σ_

所以%R=—=方=4，即椭圆的焦距2c=4c=2

cos--L∑-

42

由椭圆的离心率为①，得£=2=立，得q=2√∑6=JT二7=2

2aa2

22

所以椭圆C的标准方程为J+—=1；

84

x+y+m=O

(2)由<Yy2消去V,得3/+4∕nr+2∕%2-8=0

—+—=1

[84

^Δ=(4m)2-4×3×(2∕n2-8)=-8(∕n2-12)>0

解得-2√J<m<2√J,设Aa,χ)B(x2,y2)

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所以Sw=gxdx∣A网12-/n2)(/n-2)~

设/(m)=02-〃?2)(m-2)2(-2石<m<2代)

所以/'("2)=-2"Z("L2)~+02->)X2("2-2)x1

=T(m—2)(%+2)(∕n—3)(-26<m<26)

由/（加）=O得加=-2,m=2,m=3

当加=2时点P在直线I上.故将m=2舍去.

当m变化时/'（加）和〃加）的变化情况如下表

m(-2^,-2)-2(-2,2)2(2,3)3(3,2√3)

/'(%)+0-0+0-

/(/»)极大值∖0极大值、

因为/（—2）=128,/（3）=3所以“砌raχ=f（-2）=128

BP（SΔABP）=2^×√i28=-,故,ABP的面积的最大值为?

【点睛】方法点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中难题，关于最值问题的方法有:

（1）设直线方程，考虑斜率存在（或为0）的情况，设出点的坐标；

（2）联立直线与圆锥曲线方程，使判别式大于零，写出韦达定理；

（3）列出题中所需式子，化简后将韦达定理代入；

（4）根据基本不等式求出最值，或构造新函数求导求单调性求最值即可.

21.（1）X2=4y

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（2）证明见解析，定点坐标为（0,4）

【分析】（1）根据垂直关系可得RW//ON,结合圆的半径可求得由此可得抛物线方程：

（2）结合导数几何意义可利用即A,即，得到等量关系2凹-历-8=02y2-tx2-S=0由此可得直线A8方

程，由直线过定点的方法可求得结果.

【详解】（1）由抛物线方程知尸（0,弓］

乙）

又IePl=ICMl∣Λ∕∕V∣=∣∕VF∣.-.CNA-FM：.FMHON.

同=2.∙.∣OFl=ICWl=5=1,解得：p=2

则抛物线E的方程为f=4〉.

(2)设A(Xl,号BW,])∕,(Λ-4)

r2

Y―!4

由V=4y得ʃ=—.J=；则*-ɪi_

42"豆一二

2

化简整理可得：i-Zx,-8=0,即2χ-%-8=0

同理：由心8=三=Zl2得：2y2-tx2-s=θ

2x2-t

则点A(%,X),8(w,%)都在直线2yTX-8=0上

即直线AB的方程为2y—fx-8=0

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令x=0得：y=4直线AB过定点，该定点坐标为(0,4).

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解；本题求解定点的关键是能够

结合导数的几何意义，利用切线斜率构造等量关系得到AB所满足的二元一次方程，即直线AB的方程.

22.(1)x2+γ2-4y=00=-(p∈R)；

⑵组.

2

【分析】(1)由己知可得02=40sin6,进而即可得出曲线C的直角坐标方程.消去参数f,可得直线方程为

)，=白，即可得出直线的极坐标方程;

(2)解法一：将直线/的参数方程代入曲线可得〃+(4-2后)-4g+4=0.根据韦达定理得到乙也的关系，

代入即可求解；解法二：联立直线与曲线C的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出|上到、

∣M8∣的值，代入即可得出结果.

【详解】(1)由曲线C的极坐标方程。=4Sin〃得"=4。Sine

化为直角坐标方程为r+V-4y=0.

x=l+}

又由直线/的参数方程r得直线y=gx

y=43+-1

所以直线/的极坐标方程为9=1SeR).

(2)解法一：将直线/的参数方程代入曲线可得(1+夕)+国川―(有+亭)=0

整理可得r÷(4-2√3r)-4√3+4=0.

设点AB对应的参数分别为4也，贝也，L是方程的两个根.

K+f>=2,∖∕3-4

由韦达定理可得ɛ