《4.4.2 对数函数的图像和性质》课件及同步练习

4.4.2对数函数的图像和性质第四章

指数函数与对数函数课程目标1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结对数函数性质.

我们该如何去研究对数函数的性质呢？提出问题列表x1/41/2124

2 1 0 -1 -2-2 -1 0 12

………………作图步骤：1.列表2.描点3.连线问题1.画出函数和的图象。问题探究描点连线21-1-21240yx3y=log2xx1/41/2124-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2………………列表问题探究问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关

于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，

比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？描点连线21-1-21240yx3y=log1/2xy=log2xx1/41/2124………………-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2列表这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数

（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？问题探究问题探究

y=logax（a>1）的图象xo(1,0)x=1y=logx(a>1)ay问题探究

y=logax（0<a<1）的图象xyx=1(1,0)y=logx(0<a<1)ao问题探究

a＞10＜a＜1图象性质⑴定义域：⑵值域：⑶过特殊点：⑷单调性：⑷单调性：（0，+∞）R过点（1，0），即x=1时y=0在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数xo(1,0)x=1yxyx=1(1,0)o当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0.当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0.对数函数的图象和性质对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来也不行;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(1,0)点.记忆口诀

例1：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与log28.5；∴log23.4<log28.5解（1）:用对数函数的单调性考察函数y=log2x,∵a=2>1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5例题解析

例1：比较下列各组中，两个值的大小：（2）log0.31.8与log0.32.7解（2）：考察函数y=log0.3x,∵a=0.3<1,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7∴log0.31.8>log0.32.7例题解析

例1：比较下列各组中，两个值的大小：（3）loga5.1与loga5.9（a＞０，且a≠１）解（3）：考察函数loga5.1与loga5.9可看作函数y=logax的两个函值,对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论当a

>1时,因为y=logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1<

loga5.9；当0<a

<1时,因为y=logax是减函数，且5.1<5.9，所以loga5.1>

loga5.9；例题解析归纳总结：当底数相同,真数不同时,利用对数函数的增减性比较大小。注意:当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。归纳总结练习1:比较下列各题中两个值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6

log1.51.4＜＜＞＞跟踪训练练习2：已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3m<log3n(2)log0.3m>log0.3n(3)logam<logan(0<a<1)(4)logam>logan(a>1)

m<n

m<n

m>nm>n跟踪训练例题解析～

因此，函数y=logax(a＞0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数。已知函数y=2x（x∈R，y∈（0，+∞））可得到x=log2y

，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y

，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y

（y∈（0，+∞））是函数y=2x

（

x∈R）

的反函数。但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y

中的字母x，y，把它写成y=log2x,这样，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x

（x∈R）的反函数。反函数图象性

质

对数函数y=logax(a>0,a≠1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1时,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)a>1时,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1时,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1时,在R上是增函数；

0<a<1时,在R上是减函数(5)a>1时,在(0,+∞)是增函数；

0<a<1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)

y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指数函数、对数函数的图象和性质当堂达标解析：C

[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]当堂达标3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.当堂达标当堂达标5.比较下列各组数中两个值的大小:解:(1)∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴log67＞log76(2)∵log3π＞log31＝0log20.8＜log21＝0∴log3π＞log20.8方法:当底数不同，真数不同时，

可考虑这些数与1或0的大小。当堂达标6:解不等式:解：原不等式可化为：当堂达标课堂小结3.思想方法类比：类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；

数形结合思想方法是研究函数图像和性质；《4.4.2对数函数的图像和性质》同步练习阅读课本132-133页，思考并完成以下问题1.对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2.反函数的概念是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单1.若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是

(

)A.0.5 B.2 C.e D.π2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(

)A.y=5x B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点

.

4.(1)函数f(x)=的反函数是

.

(2)函数g(x)=log8x的反函数是

.

解析:1.∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0<a<1,只有选项A符合题意.3.由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).答案:1.A

2.D

3.(3,-6)4.题型分析举一反三题型一对数函数的图象

例1函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出(3)从(2)的图中你发现了什么?解:(1)①对应函数y=lg

x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.解题方法（对数函数图象的变化规律）

1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.

1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lg

x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①

图②

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x