陕西省西安市莲湖区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题【含答案解析】

高二数学期末质量监测考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，进而可知倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，由题意可得：直线的斜率为，则，所以倾斜角.故选：D.2.已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求，即可得渐近线方程.【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，可得，所以的渐近线的方程为，即.故选：B.3.已知数列的首项，且，则（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，发现周期，根据周期来求解.【详解】由题可得，，，，故是以4为周期的周期数列，故．故选：A4.在三棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】连接，根据向量的运算法则，可得.故选：B.5.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到，代入抛物线方程，求出，从而得到答案.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则，将代入，故，解得，所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m.故选：B6.若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（）A.0或1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解.【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即，而，即点在椭圆的内部，所以过点的直线与椭圆的交点个数是2.故选：D.7.设为等差数列的前项和，若，则（）A.8 B.12 C.18 D.24【答案】D【解析】【分析】直接由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意，解得，所以.故选：D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案.【详解】由已知可设，则，故，由双曲线的定义有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的离心率为2.故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若非零向量，，满足，，则B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C.若空间向量，，则在上的投影向量为D.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则或【答案】BCD【解析】【分析】根据，的方向不确定判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据投影向量定义判断C；利用，可得，从而判断D．【详解】对于A，非零向量，，满足，，，的方向不确定，则，不一定平行，故A错误；对于B，，，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，因为，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，则或，故D正确．故选：BCD.10.已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（）A.圆与圆有四条公切线B.两圆的公共弦所在的直线方程为C.的最大值为12D.若，则过点且与圆相切的直线方程为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，判断两圆位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算.【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为，圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误；对于B，两圆、方程相减得，，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确；对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确，对于D，，即点在圆上面，又，所以过点且与圆相切的直线方程为，化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确.故选：BCD.11.已知数列满足，，为的前项和，则（）A.为等比数列B.的通项公式为C.为递减数列D.当或时，取得最大值【答案】AC【解析】【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项.【详解】因为，所以，即，，又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确；，所以，B错误；因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确；令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误.故选：AC12.已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形为平行四边形，由可得，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.【详解】根据题意，图象如图所示：设为椭圆C的左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点，所以由椭圆的对称性得，又，于是四边形为平行四边形.因为M，N分别为，的中点，是中点，所以，，平行四边中,，在中，.因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.综上所述，；因，故A，C错误；，即，故B正确；，即，故D正确.故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为__________.【答案】【解析】【分析】在直线上任取一点，则点关于直线对称点在直线上，即可求解.【详解】设直线上任意一点，则点关于直线对称点，因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上，即，得到直线的一般式方程为故答案为：14.已知空间中的三点，则点到直线的距离为__________.【答案】##【解析】【分析】由题意得，，结合勾股定理即可得解.【详解】由题意得，所以,，所以点到直线的距离为.故答案为：.15.已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为____________．【答案】##【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为．设d为点M到C的准线的距离，则．又，所以周长的最小值为．故答案为：.16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第行数字2的个数，则__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由题意可知：，且，进而可得，结合等比数列运算求解.【详解】由题意可知：，且，则，可得，，所以.故答案为：16；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆标准方程；（2）经过点的直线与垂直，且与圆相交于两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，，由此即可得解.（2）首先得经过点且与垂直的直线为，由弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意设圆心，又圆过点和，所以，解得，所以圆心，半径为，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由题意经过点且与垂直的直线为，即，又圆心到直线的距离为，，所以.18.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的关系即可得解.（2）由裂项相消法即可得解.【小问1详解】由题意，当时，所以，又，所以的通项公式为.【小问2详解】由题意，所以.所以数列的前项和.19.一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义和标准方程可以确定曲线C的方程.（2）利用点差法结合中点坐标公式和斜率公式求解.【小问1详解】依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等．又点不在直线上，所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．【小问2详解】设，，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，经检验，直线与曲线相交，满足题意，所以直线l的方程为.20.在正三棱柱中，，E为的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）利用中位线性质构造线线平行即可证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角.【小问1详解】连接，与交于点F，连接，则F为的中点．因为E为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】取的中点D，连接，则，．又平面，所以底面，底面，所以，则可以E为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则，取，即．设平面的法向量为，则，取，即，则，即平面与平面夹角的余弦值为．21.已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且，．（1）求和的通项公式；（2）在中，对每个正整数k，在和之间插入k个，得到一个新数列，设是数列的前n项和，比较与20000的大小关系．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；（2）根据题意分析可知，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.【小问1详解】设数列的公差为d，因，则，解得，所以，．【小问2详解】因为，当时，，可知，且，令的前n项和为，则，可得，两式相减得，即，可得，所以．22.已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．（1）求C的标准方程；（2）已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.【答案】（1）+＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据斜率之积和点P在椭圆上整理可得椭圆C的标准方程；（2）设直线PT的方程为，联立椭圆方程消去y，利用P，Q坐标表示出直线PA与PB的方程，求解出点D的坐标，然后用韦达定理化简即可得证．【小问1详解】由题意可得，且