浙江省宁波市蛟川书院等四校2023-2024学年九年级下学期2月月考数学试题

2023年浙江省宁波市蛟川书院等四校中考数学联考试卷（2月份）一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若，则的值是（）A．B．C．﹣2D．22．袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（）A．1B．3C．5D．103．对于二次函数y＝2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最小值为1C．图象的对称轴为直线x＝﹣2D．图象的顶点坐标是（1，2）4．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（）A．b＞2B．b＞6C．b＜2或b＞6D．2＜b＜65．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（）A．B．C．D．6．矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（）A．5B．C．D．107．若函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（）A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝0或m＝18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，点M为线段AB的中点，连结CM，过点D作DE⊥CM于点E．设DA＝a，DB＝b，则图中可以表示的线段是（）A．MCB．CEC．DED．ME10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结AC．DF＝5，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接CP交BD于H，则AH的长为（）A．B．C．D．12二、填空题（每小题5分，共30分）11．二次函数y＝（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为．12．如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为．13．教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是m．14．圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝°．15．如图，抛物线y＝ax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，求BF的长．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）某社区组织A、B、C、D这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗．（1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为；（2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加．①求A小区被分在第一批的概率；②求A、B两个小区被分在第一批的概率．18．（8分）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，边AC扫过的面积是．19．（6分）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE＝FP＝0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河宽EP是多少米？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若BC＝4，DE＝3，求⊙O的半径长．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若x1＝m﹣3，x2＝m+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于﹣3≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，直接写出m的取值范围．22．（12分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23．（12分）如图1，矩形EBGF和矩形ABCD共顶点，且绕着点B顺时针旋转，满足．（1）的比值是否发生变化，若不变，说明理由；若变化，求出相应的值，并说明理由；（2）如图2，若点F为CD的中点，且AB＝8，AD＝6，连结CG，求△FCG的面积．（3）如图3，若D、F、G三点共线，延长BF交DC于点M，若MF＝5，DF＝10，求AB的长．24．（14分）如图，AC、BD是⊙O的两条弦，且BD⊥AC于点E．（1）如图1：若AE＝BE，求证DE＝CE；（2）如图2：若AC＝8，BD＝6，，求弓形BAD的面积．（3）连结AB、BC、CD，若CA＝CD，①∠ACB与∠ACD具有怎样的数量关系，并证明．②在BD上存在点F，满足BF＝2AB，点M是的中点，连结MF，已知，MF＝2，求⊙O的半径．2023年浙江省宁波市蛟川书院等四校中考数学联考试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】由，可得b＝3a，把b换成3a即可求出的值．【解答】解：，∴b＝3a，．故选：C．2．【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．3．【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，函数的最小值是y＝1，故选项B正确，图象的对称轴是直线x＝2，故选项C错误，顶点坐标为（2，1），故选项D错误．故选：B．4．【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，∴AB＜2，∵点A所表示的实数为4，∴2＜b＜6，故选：D．5．【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．【解答】解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；故选：C．6．【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案．【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x，∴小矩形的长为x，宽为，∵小矩形与原矩形相似，，解得：或（舍去），故选：B．7．【分析】m＝0时，函数是一次函数，与x轴有一个交点；m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．【解答】解：当m≠0时，∵二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4m＝0，且m≠0，解得：m＝1．当m＝0时y＝2x+1与x轴只有一个交点，综上所述，m＝0或m＝1，故选：D．8．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OD，BC．∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴图中阴影部分的面积，或（舍去），的长，故选：B．9．【分析】证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质得，则CD2＝ab，再证明△MCD∽△DCE，可得出，则CD2＝CM•CE＝ab，由点M为线段AB的中点得，即可得出．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠BCD+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，，∴CD2＝AD•BD＝ab，同理得△MCD∽△DCE，，∴CD2＝CM•CE＝ab，∵点M为线段AB的中点，，．故选：B．10．【分析】连接AH，如图，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝∠ACB＝90°，再运用同弧（等弧）所对的圆周角相等可得出∠DAC＝∠ABD，再利用同角的余角相等可推出∠ADE＝∠DAC，进而得出AF＝DF＝5，利用三角函数可求得EF＝3，由勾股定理可求得：，再根据三角形的内心判定和性质可得出∠AHD＝45°，运用等腰直角三角形性质即可求得答案．【解答】解：连接AH，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴AF＝DF＝5，在Rt△AEF和Rt△ABC中，，∴EF＝3，，，∵P为下面半圆弧的中点，，∴∠ACP＝∠BCP，∴点H是△ABC的内心，∴BH平分∠BAC，，∵∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，，∵∠ADB＝90°，∴△ADH是等腰直角三角形，．故选：A．二、填空题（每小题5分，共30分）11．y＝（x+2）2+6．【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：将二次函数y＝（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为y＝（x+4﹣2）2+1+5，即y＝（x+2）2+6．故答案为：y＝（x+2）2+6．12．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质得到BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，即，解得．故答案为：．13．9【分析】当y＝0时代入解析式，求出x的值就可以求出结论．【解答】解：由题意得，当y＝0时，，化简，得：（x﹣2）2＝25，解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），故答案为：9．14．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A，∵∠CBF＝∠A+∠E，∠DCB＝∠CBF+∠F，∴180°﹣∠A＝∠A+∠E+∠F，即180°﹣∠A＝∠A+40°+60°，解得∠A＝40°．故答案为：40．15．【分析】令y＝4代入y＝ax2+5ax+4得x1＝0或x2＝﹣5，则A（﹣5，4），过B作BE⊥x轴，E为垂足，则BE＝4，而AB∥x轴，则∠ABD＝∠BDO，又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则∠ADB＝∠BDO，即∠ABD＝∠ADB，故AB＝AD＝5，即可求得D（﹣8，0），把D点的坐标代入y＝ax2+5ax+4，即可求解．【解答】解：令y＝4代入y＝ax2+5ax+4得x1＝0或x2＝﹣5，∴A（﹣5，4），过A作AE⊥x轴，E为垂足，则AE＝4，∵AB∥x轴，∴∠ABD＝∠BDO，又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，∴∠ADB＝∠BDO，即∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB＝5，则，∴D（﹣8，0），把D（﹣8，0）代入y＝ax2+5ax+4得：0＝64a﹣40a+4，解得：．故答案为：．16．或【分析】连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，根据轴对称的性质得EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，由EF∥AC得∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，所以BH⊥AC，由∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，得，则，求得，再分两种情况讨论，一是△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE，可推导出，则，得；二是△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE，可推导出，则，得．【解答】解：连接并延长BM，BM交EF于点I，BM的延长线交AC于点H，∵将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，∴EF垂直平分BM，∠GMF＝∠EMF＝∠EBF＝90°，MF＝BF，∵EF∥AC，∴∠BIF＝∠MIF＝∠BHC＝90°，∴BH⊥AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，，，，当△MGF∽△BEF，且∠MFG＝∠BFE时，如图1，∵△BEF≌△MEF，∴△MGF∽△MEF，，∴GM＝EM＝EB，∵∠BFE＝∠C，，∵∠GMH＝90°﹣∠FMI＝∠MFE＝∠BFE＝∠C，，，，；当△GMF∽△BEF，且∠MGF＝∠BFE时，如图2，，，，，，综上所述，BF的长为或，故答案为：或．图1图2三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为．故答案为：；（2）画树状图如下：从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种，①A小区被分在第一批的概率为；②A、B两个小区被分在第一批的概率为．18．（8分）（2）【分析】（1）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）根据边AC扫过的面积求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）边AC扫过的面积是．故答案为：．19．（6分）【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解决问题，【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，则四边形BDEH是矩形，∴BH＝DE＝0.75，BD∥EH，∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1．6+0.75＝2.35，∵BD∥OH，∴△ABD∽△AHO，，，∴HO＝4.7，∵PM＝PN，MF＝4.5米，FP＝0.75米，∴PN＝MF+FP＝5.25米，∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥PN，∴△AHO∽△NPO，，，∴PO＝10.5，∴PE＝PO+OE＝10.5+（4.7﹣3.2）＝12，答：河宽EP是12米．20．（10分）【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB＝∠CBD，根据半径相等可得∠ODB＝∠OBD，等量代换得到∠OBD＝∠CBD，进而证得结论；（2）过O点作OH⊥BC于H，如图，根据垂径定理得到BH＝CH＝2，再证明△ODE≌△BOH得到DE＝OH＝3，然后利用勾股定理计算OB的长即可．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：过O点作OH⊥BC于H，∵BC＝4，，∵DE⊥AB，OH⊥BC，∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，∵OD∥BC，∴∠DOE＝∠OBH，在△ODE和△BOH中，，∴△ODE≌△BOH（AAS），∴DE＝OH＝3，在Rt△OBH中，，即⊙O的半径长为．21．（10分）【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）分别将x1＝m﹣3，x2＝m+2代入解析式求解．（3）求出点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），根据抛物线开口向上及y1≤y2求解．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1）．（2）将x＝m﹣3代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝32﹣1＝8，将x＝m+2代入y＝（x﹣m）2﹣1得y＝22﹣1＝3，∵8＞3∴y1＞y2．（3）∵抛物线对称轴为直线x＝m，∴点（4，y2）关于对称轴对称点为（2m﹣4，y2），∵抛物线开口向上，y1≤y2，∴2m﹣4≤x1＜4，∴2m﹣4≤﹣3，解得．22．【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．23．（12分）【分析】（1）结论：．证明AD：AB：BD＝3：4：5，再证明△ABE∽△DBF，可得结论；（2）如图2中，连接BF，AE，过点G作GT⊥DC交DC的延长线于点T．利用相似三角形的性质求出CG，解直角三角形求出GT，可得结论；（3）如图3中，连接BD，CG，AE，过点M作ML⊥DF于点L，设DG交BC于点O．利用（1）中结论求出AE，利用相似三角形的性质求出CG，BD，可得结论．【解答】解：（1）结论：．理由：如图1中，连接BD，BF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AD＝BC，．∵BC：AB＝3：4，∴AD：AB＝3：4，设AD＝3k，AB＝4k，则BD＝5k，∴AD；AB：BD＝3：4：5，同法可证EF：BE：BF＝3：4：5，∴△ABD∽△EBF，，，∴△ABE∽△DBF，；（2）如图2中，连接BF，AE，过点G作GT⊥DC交DC的延长线于点T．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∵DF＝CF＝4，DF：AE＝5：4，，∵∠ABC＝∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG，，∴△ABE∽△CBG，，，∵∠BCF＝∠BGF＝90°，∴C，F，B，G四点共圆，∴∠GCT＝∠FBG，∵∠T＝∠BGF＝90°，∴△CTG∽△BGF，∴CT：GT：CG＝BG：GF：BF＝3：4：5，，∴△CFG的面积；（3）如图3中，连接BD，CG，AE，过点M作ML⊥DF于点L，设DG交BC于点O．∵DF：AE＝5：4，DF＝10，'∴AE＝8，∵△ABE∽△CBG，∴AE：CG＝AB+BC＝4：3，∴CG＝6，∵ML∥CB，∴△FLM∽△FGB，∴ML：FL：FM＝BG：FG：BF＝3：4；5，∵FM＝5，∴ML＝3，FL＝4，∴DL＝DF﹣FL＝10﹣4＝6，，，∵∠DCO＝∠OGB＝90°，∴D，C，G，B四点共圆，∴∠OCG＝∠ODB，∵∠COG＝∠BOD，∴△COG∽△DOB，，，．24．（14分）【分析】（1）连接AD，BC．证明△ADE∽△