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2023年浙江省宁波市蛟川书院等四校中考数学联考试卷(2月份)一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.若,则的值是()A.B.C.﹣2D.22.袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,若摸到红球的可能性最大,则m的值不可能是()A.1B.3C.5D.103.对于二次函数y=2(x﹣2)2+1,下列说法中正确的是()A.图象的开口向下B.函数的最小值为1C.图象的对称轴为直线x=﹣2D.图象的顶点坐标是(1,2)4.在数轴上,点A所表示的实数为4,点B所表示的实数为b,⊙A的半径为2,要使点B在⊙A内时,实数b的取值范围是()A.b>2B.b>6C.b<2或b>6D.2<b<65.下列图象中,函数y=ax2﹣a(a≠0)与y=ax+a的图象大致是()A.B.C.D.6.矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形,每一个小矩形均与原矩形相似,则x的值为()A.5B.C.D.107.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m为()A.m=0B.m=﹣1C.m=1D.m=0或m=18.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M.连接OC,DB.如果OC∥DB,图中阴影部分的面积是2π,那么图中阴影部分的弧长是()A.B.C.D.9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,过点C作CD⊥AB于点D,点M为线段AB的中点,连结CM,过点D作DE⊥CM于点E.设DA=a,DB=b,则图中可以表示的线段是()A.MCB.CEC.DED.ME10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,AD=CD,过D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,连结AC.DF=5,.当点P为下面半圆弧的中点时,连接CP交BD于H,则AH的长为()A.B.C.D.12二、填空题(每小题5分,共30分)11.二次函数y=(x+4)2+1的图象向右平移2个单位长度后,再向上平移5个单位长度,平移后的图象对应的二次函数解析式为.12.如图,AB∥CD∥EF,直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F.已知AC=3,CE=5,DF=4,则BD的长为.13.教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析,发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为,由此可知小明此次投掷的成绩是m.14.圆内接四边形ABCD,两组对边的延长线分别相交于点E、F,且∠E=40°,∠F=60°,求∠A=°.15.如图,抛物线y=ax2+5ax+4与x轴交于C、D两点,与y轴交于点B,过点B作平行于x轴的直线,交抛物线于点A,连结AD、BC,若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上,则a=.16.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,点E、F分别是边AB,BC边上的点(E、F不与端点重合),且EF∥AC.将△BEF沿直线EF折叠,点B的对应点为点M,延长EM交AC于点G,若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似,求BF的长.三、解答题(本大题有8小题,共80分)17.(8分)某社区组织A、B、C、D这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗.(1)若将这4个小区随机分成4批,每批1个小区的居民参加,则A小区居民被分在第一批的概率为;(2)若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针,每批2个小区的居民参加.①求A小区被分在第一批的概率;②求A、B两个小区被分在第一批的概率.18.(8分)如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).(1)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1;(2)在(1)的条件下,边AC扫过的面积是.19.(6分)如图,为了测量平静的河面的宽度,即EP的长,在离河岸D点3.2米远的B点,立一根长为1.6米的标杆AB,在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF,电线杆的顶端M在河里的倒影为点N,即PM=PN,两岸均高出水平面0.75米,即DE=FP=0.75米,经测量此时A、D、N三点在同一直线上,并且点M、F、P、N共线,点B、D、F共线,若AB、DE、MF均垂直于河面EP,求河宽EP是多少米?20.(10分)如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上的点,且BC∥OD,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若BC=4,DE=3,求⊙O的半径长.21.(10分)在平面直角坐标系xOy中,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点.(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)若x1=m﹣3,x2=m+2,比较y1与y2的大小,并说明理由;(3)若对于﹣3≤x1<4,x2=4,都有y1≤y2,直接写出m的取值范围.22.(12分)某商店购进了一种消毒用品,进价为每件8元,在销售过程中发现,每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15,且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时,每天的销售量为105件;当每件消毒用品售价为11元时,每天的销售量为95件.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润,则每件消毒用品的售价为多少元?(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元),当每件消毒用品的售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?23.(12分)如图1,矩形EBGF和矩形ABCD共顶点,且绕着点B顺时针旋转,满足.(1)的比值是否发生变化,若不变,说明理由;若变化,求出相应的值,并说明理由;(2)如图2,若点F为CD的中点,且AB=8,AD=6,连结CG,求△FCG的面积.(3)如图3,若D、F、G三点共线,延长BF交DC于点M,若MF=5,DF=10,求AB的长.24.(14分)如图,AC、BD是⊙O的两条弦,且BD⊥AC于点E.(1)如图1:若AE=BE,求证DE=CE;(2)如图2:若AC=8,BD=6,,求弓形BAD的面积.(3)连结AB、BC、CD,若CA=CD,①∠ACB与∠ACD具有怎样的数量关系,并证明.②在BD上存在点F,满足BF=2AB,点M是的中点,连结MF,已知,MF=2,求⊙O的半径.2023年浙江省宁波市蛟川书院等四校中考数学联考试卷(2月份)参考答案与试题解析一、选择题(每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.【分析】由,可得b=3a,把b换成3a即可求出的值.【解答】解:,∴b=3a,.故选:C.2.【分析】摸到红球的可能性最大,即白球的个数比红球的少.【解答】解:袋子里有8个红球,m个白球,3个黑球,若摸到红球的可能性最大,则m的值不可能大于8.观察选项,只有选项D符合题意.故选:D.3.【分析】根据题目中的函数解析式,可以判断各个选项中的说法是否正确.【解答】解:二次函数y=2(x﹣2)2+1,a=2>0,∴该函数的图象开口向上,故选项A错误,函数的最小值是y=1,故选项B正确,图象的对称轴是直线x=2,故选项C错误,顶点坐标为(2,1),故选项D错误.故选:B.4.【分析】首先确定AB的取值范围,然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围,即可得到正确选项.【解答】解:∵⊙A的半径为2,若点B在⊙A内,∴AB<2,∵点A所表示的实数为4,∴2<b<6,故选:D.5.【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限,然后作出选择.【解答】解:当a>0时,由二次函数y=ax2﹣a可知开,口向上,顶点在y轴负半轴上,与x轴的交点为(﹣1,0),(1,0),由一次函数y=ax+a可知过一,二,三象限,交x轴于(﹣1,0);当a<0时,由二次函数y=ax2﹣a可知,开口向下,顶点在y轴正半轴上,与x轴的交点为(﹣1,0),(1,0),由一次函数y=ax+a可知过二,三,四象限,交x轴于(﹣1,0);故选:C.6.【分析】根据相似多边形的性质得出比例式,即可得到答案.【解答】解:∵原矩形的长为25,宽为x,∴小矩形的长为x,宽为,∵小矩形与原矩形相似,,解得:或(舍去),故选:B.7.【分析】m=0时,函数是一次函数,与x轴有一个交点;m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.【解答】解:当m≠0时,∵二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,∴Δ=4﹣4m=0,且m≠0,解得:m=1.当m=0时y=2x+1与x轴只有一个交点,综上所述,m=0或m=1,故选:D.8.【分析】连接OD,BC,根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM,∠COB=∠BOD,推出△BOD是等边三角形,得到∠BOC=60°,根据扇形的面积公式即可求得圆的半径,然后根据弧长公式求得即可.【解答】解:连接OD,BC.∵CD⊥AB,OC=OD,∴DM=CM,∠COB=∠BOD,∵OC∥BD,∴∠COB=∠OBD,∴∠BOD=∠OBD,∴OD=DB,∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,∵OC∥DB,∴S△OBD=S△CBD,∴图中阴影部分的面积,或(舍去),的长,故选:B.9.【分析】证明△ACD∽△CBD,根据相似三角形的性质得,则CD2=ab,再证明△MCD∽△DCE,可得出,则CD2=CM•CE=ab,由点M为线段AB的中点得,即可得出.【解答】解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD,,∴CD2=AD•BD=ab,同理得△MCD∽△DCE,,∴CD2=CM•CE=ab,∵点M为线段AB的中点,,.故选:B.10.【分析】连接AH,如图,根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=∠ACB=90°,再运用同弧(等弧)所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠ABD,再利用同角的余角相等可推出∠ADE=∠DAC,进而得出AF=DF=5,利用三角函数可求得EF=3,由勾股定理可求得:,再根据三角形的内心判定和性质可得出∠AHD=45°,运用等腰直角三角形性质即可求得答案.【解答】解:连接AH,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,而∠DCA=∠ABD,∴∠DAC=∠ABD,∵DE⊥AB,∴∠ABD+∠BDE=90°,而∠ADE+∠BDE=90°,∴∠ABD=∠ADE,∴∠ADE=∠DAC,∴AF=DF=5,在Rt△AEF和Rt△ABC中,,∴EF=3,,,∵P为下面半圆弧的中点,,∴∠ACP=∠BCP,∴点H是△ABC的内心,∴BH平分∠BAC,,∵∠ADB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,,∵∠ADB=90°,∴△ADH是等腰直角三角形,.故选:A.二、填空题(每小题5分,共30分)11.y=(x+2)2+6.【分析】直接运用平移规律“左加右减,上加下减”解答.【解答】解:将二次函数y=(x+4)2+1的图象向右平移2个单位长度后,再向上平移5个单位长度,平移后的图象对应的二次函数解析式为y=(x+4﹣2)2+1+5,即y=(x+2)2+6.故答案为:y=(x+2)2+6.12.【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到,然后利用比例性质得到BD的长.【解答】解:∵AB∥CD∥EF,,即,解得.故答案为:.13.9【分析】当y=0时代入解析式,求出x的值就可以求出结论.【解答】解:由题意得,当y=0时,,化简,得:(x﹣2)2=25,解得:x1=9,x2=﹣1(舍去),故答案为:9.14.【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=180°﹣∠A,根据三角形的外角的性质计算即可.【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠BCD=180°﹣∠A,∵∠CBF=∠A+∠E,∠DCB=∠CBF+∠F,∴180°﹣∠A=∠A+∠E+∠F,即180°﹣∠A=∠A+40°+60°,解得∠A=40°.故答案为:40.15.【分析】令y=4代入y=ax2+5ax+4得x1=0或x2=﹣5,则A(﹣5,4),过B作BE⊥x轴,E为垂足,则BE=4,而AB∥x轴,则∠ABD=∠BDO,又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上,则∠ADB=∠BDO,即∠ABD=∠ADB,故AB=AD=5,即可求得D(﹣8,0),把D点的坐标代入y=ax2+5ax+4,即可求解.【解答】解:令y=4代入y=ax2+5ax+4得x1=0或x2=﹣5,∴A(﹣5,4),过A作AE⊥x轴,E为垂足,则AE=4,∵AB∥x轴,∴∠ABD=∠BDO,又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上,∴∠ADB=∠BDO,即∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=5,则,∴D(﹣8,0),把D(﹣8,0)代入y=ax2+5ax+4得:0=64a﹣40a+4,解得:.故答案为:.16.或【分析】连接并延长BM,BM交EF于点I,BM的延长线交AC于点H,根据轴对称的性质得EF垂直平分BM,∠GMF=∠EMF=∠EBF=90°,MF=BF,由EF∥AC得∠BIF=∠MIF=∠BHC=90°,所以BH⊥AC,由∠ABC=90°,AB=6,BC=8,得,则,求得,再分两种情况讨论,一是△MGF∽△BEF,且∠MFG=∠BFE,可推导出,则,得;二是△GMF∽△BEF,且∠MGF=∠BFE,可推导出,则,得.【解答】解:连接并延长BM,BM交EF于点I,BM的延长线交AC于点H,∵将△BEF沿直线EF折叠,点B的对应点为点M,∴EF垂直平分BM,∠GMF=∠EMF=∠EBF=90°,MF=BF,∵EF∥AC,∴∠BIF=∠MIF=∠BHC=90°,∴BH⊥AC,∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,,,,当△MGF∽△BEF,且∠MFG=∠BFE时,如图1,∵△BEF≌△MEF,∴△MGF∽△MEF,,∴GM=EM=EB,∵∠BFE=∠C,,∵∠GMH=90°﹣∠FMI=∠MFE=∠BFE=∠C,,,,;当△GMF∽△BEF,且∠MGF=∠BFE时,如图2,,,,,,综上所述,BF的长为或,故答案为:或.图1图2三、解答题(本大题有8小题,共80分)17.(8分)(1)【分析】(1)直接利用概率公式求解可得;(2)列出所有等可能结果,根据概率公式求解可得.【解答】解:(1)若将这4个小区随机分成4批,每批1个小区的居民参加,则A小区居民被分在第一批的概率为.故答案为:;(2)画树状图如下:从树状图可得,共有12种等可能结果,A小区被分在第一批的有6种,A、B两个小区被分在第一批的有2种,①A小区被分在第一批的概率为;②A、B两个小区被分在第一批的概率为.18.(8分)(2)【分析】(1)将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到其对应点,再首尾顺次连接即可;(2)根据边AC扫过的面积求解即可.【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)边AC扫过的面积是.故答案为:.19.(6分)【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H,由△ABD∽△AHO求得OH,再由△AHO∽△NPO求得OP,便可解决问题,【解答】解:延长AB交EP的反向延长线于点H,则四边形BDEH是矩形,∴BH=DE=0.75,BD∥EH,∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35,∵BD∥OH,∴△ABD∽△AHO,,,∴HO=4.7,∵PM=PN,MF=4.5米,FP=0.75米,∴PN=MF+FP=5.25米,∵AH⊥EP,PN⊥EP,∴AH∥PN,∴△AHO∽△NPO,,,∴PO=10.5,∴PE=PO+OE=10.5+(4.7﹣3.2)=12,答:河宽EP是12米.20.(10分)【分析】(1)利用平行线的性质得到∠ODB=∠CBD,根据半径相等可得∠ODB=∠OBD,等量代换得到∠OBD=∠CBD,进而证得结论;(2)过O点作OH⊥BC于H,如图,根据垂径定理得到BH=CH=2,再证明△ODE≌△BOH得到DE=OH=3,然后利用勾股定理计算OB的长即可.【解答】(1)证明:∵OD∥BC,∴∠ODB=∠CBD,∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,∴∠OBD=∠CBD,∴BD平分∠ABC;(2)解:过O点作OH⊥BC于H,∵BC=4,,∵DE⊥AB,OH⊥BC,∴∠DEO=90°,∠OHB=90°,∵OD∥BC,∴∠DOE=∠OBH,在△ODE和△BOH中,,∴△ODE≌△BOH(AAS),∴DE=OH=3,在Rt△OBH中,,即⊙O的半径长为.21.(10分)【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解.(2)分别将x1=m﹣3,x2=m+2代入解析式求解.(3)求出点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m﹣4,y2),根据抛物线开口向上及y1≤y2求解.【解答】解:(1)∵y=x2﹣2mx+m2﹣1=(x﹣m)2﹣1,∴抛物线顶点坐标为(m,﹣1).(2)将x=m﹣3代入y=(x﹣m)2﹣1得y=32﹣1=8,将x=m+2代入y=(x﹣m)2﹣1得y=22﹣1=3,∵8>3∴y1>y2.(3)∵抛物线对称轴为直线x=m,∴点(4,y2)关于对称轴对称点为(2m﹣4,y2),∵抛物线开口向上,y1≤y2,∴2m﹣4≤x1<4,∴2m﹣4≤﹣3,解得.22.【分析】(1)根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式;(2)根据每件的销售利润×每天的销售量=425,解一元二次方程即可;(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量,即可得出w关于x的函数关系式,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解:(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系式为:y=kx+b,由题意可知:,解得:,∴y与x之间的函数关系式为:y=﹣5x+150;(2)(﹣5x+150)(x﹣8)=425,解得:x1=13,x2=25(舍去),∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润,则每件消毒用品的售价为13元;(3)w=y(x﹣8),=(﹣5x+150)(x﹣8),w=﹣5x2+190x﹣1200,=﹣5(x﹣19)2+605,∵8≤x≤15,且x为整数,当x<19时,w随x的增大而增大,∴当x=15时,w有最大值,最大值为525.答:每件消毒用品的售价为15元时,每天的销售利润最大,最大利润是525元.23.(12分)【分析】(1)结论:.证明AD:AB:BD=3:4:5,再证明△ABE∽△DBF,可得结论;(2)如图2中,连接BF,AE,过点G作GT⊥DC交DC的延长线于点T.利用相似三角形的性质求出CG,解直角三角形求出GT,可得结论;(3)如图3中,连接BD,CG,AE,过点M作ML⊥DF于点L,设DG交BC于点O.利用(1)中结论求出AE,利用相似三角形的性质求出CG,BD,可得结论.【解答】解:(1)结论:.理由:如图1中,连接BD,BF.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,AD=BC,.∵BC:AB=3:4,∴AD:AB=3:4,设AD=3k,AB=4k,则BD=5k,∴AD;AB:BD=3:4:5,同法可证EF:BE:BF=3:4:5,∴△ABD∽△EBF,,,∴△ABE∽△DBF,;(2)如图2中,连接BF,AE,过点G作GT⊥DC交DC的延长线于点T.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=8,∵DF=CF=4,DF:AE=5:4,,∵∠ABC=∠EBG=90°,∴∠ABE=∠CBG,,∴△ABE∽△CBG,,,∵∠BCF=∠BGF=90°,∴C,F,B,G四点共圆,∴∠GCT=∠FBG,∵∠T=∠BGF=90°,∴△CTG∽△BGF,∴CT:GT:CG=BG:GF:BF=3:4:5,,∴△CFG的面积;(3)如图3中,连接BD,CG,AE,过点M作ML⊥DF于点L,设DG交BC于点O.∵DF:AE=5:4,DF=10,'∴AE=8,∵△ABE∽△CBG,∴AE:CG=AB+BC=4:3,∴CG=6,∵ML∥CB,∴△FLM∽△FGB,∴ML:FL:FM=BG:FG:BF=3:4;5,∵FM=5,∴ML=3,FL=4,∴DL=DF﹣FL=10﹣4=6,,,∵∠DCO=∠OGB=90°,∴D,C,G,B四点共圆,∴∠OCG=∠ODB,∵∠COG=∠BOD,∴△COG∽△DOB,,,.24.(14分)【分析】(1)连接AD,BC.证明△ADE∽△
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