6.2平面向量的运算（十二大题型）（讲义）（原卷版）

6．2平面向量的运算【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1、向量加法的概念及三角形法则已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2、向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量，我们规定．知识点诠释：两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点．知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1、向量求和的多边形法则的概念已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有2、向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：知识点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，同向，则；（3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．知识点四：向量的减法1、向量的减法（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．知识点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．（3）两个向量的差仍是一个向量．2、向量减法的作图方法（1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．知识点五：数乘向量1、向量数乘的定义实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）；（2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，．2、向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．3、向量数乘的运算律设为实数结合律：；分配律：，知识点六：向量共线的条件1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．2、向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点诠释：（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；（3）有且只有一个实数，使．（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一．知识点七：平面向量的数量积1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0．2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．知识点诠释：1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为．3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有．知识点八：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以．知识点九：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．1、2、3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或4、5、知识点十：向量数量积的运算律1、交换律：2、数乘结合律：3、分配律：知识点诠释：1、已知实数、、（），则．但是；2、在实数中，有，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．【典型例题】题型一：向量加法法则【例1】（2024·高一课前预习）如图，已知，求作.(1)；(2)【变式11】（2024·高一课时练习）如图，已知向量(1)求作(2)设，为单位向量，试探索的最大值．【变式12】（2024·高一课时练习）如图所示，求：(1)；(2)；(3)；(4).【变式13】（2024·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若图表中小正方形边长为1，求、．【方法技巧与总结】向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则（1）首尾相接（2）适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则（1）共起点（2）仅适用于不共线的两个向量求和题型二：向量加法运算律的应用【例2】（2024·高一课时练习）已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是.(填序号)【变式21】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.（1）；（2）；（3）；（4）.【变式22】（2024·高一课时练习）.【变式23】（2024·高一课时练习）化简：.【方法技巧与总结】向量加法运算律的意义和应用原则（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．题型三：向量加法的实际应用【例3】（2024·陕西榆林·高一统考期末）若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（

）A．向东北方向航行B．向北偏东方向航行C．向正北方向航行D．向正东方向航行【变式31】（2024·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（

）A． B． C． D．【变式32】（2024·云南·高一统考期末）如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（

）A． B． C． D．【变式33】（2024·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在正六边形中，（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】应用向量解决实际问题的基本步骤（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．题型四：向量的减法运算【例4】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，，，，试作出下列向量并分别求出其长度.(1)；(2)【变式41】（2024·高一课前预习）已知､，用向量减法作出+.(1)(2)【变式42】（2024·高一课时练习）如图，已知向量，，，求作向量．【变式43】（2024·高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量．【方法技巧与总结】求作两个向量的差向量的两种思路（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．题型五：向量减法法则的应用【例5】（2024·高一课时练习）化简（1）（2）；（3）＋．【变式51】（2024·高一课时练习）化简下列各式：（1）；（2）.【变式52】（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【变式53】（2024·全国·高一假期作业）化简(1)；(2)．【方法技巧与总结】（1）向量减法运算的常用方法（2）向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和．②起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．题型六：向量的线性运算【例6】（2024·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【变式61】（2024·全国·高一随堂练习）求下列未知向量．(1)；(2)．【变式62】（2024·全国·高一课堂例题）计算：(1)；(2)．【变式63】（2024·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2).【方法技巧与总结】向量线性运算的基本方法（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．题型七：用已知向量表示其他向量【例7】（2024·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在中，为边上的中线，点为的中点，则（

）A． B．C． D．【变式71】（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【变式72】（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．【变式73】（2024·辽宁锦州·高一校联考期末）如图，在等腰梯形中，，，若，，则（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．题型八：向量共线的判定及应用【例8】（2024·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）已知是不共线的向量，且，则（

）A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线【变式81】（2024·高一课时练习）已知（不共线），则下列说法中正确的是（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【变式82】（2024·江苏淮安·高一统考期末）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【变式83】（2024·全国·高一随堂练习）判断三点是否共线.(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【方法技巧与总结】（1）证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可．（2）利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．题型九：三点共线的常用结论【例9】（2024·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【变式91】（2024·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．(1)试用，表示．(2)试用，，表示．【变式92】（2024·湖南邵阳·高一统考期末）如图，已知，若，则，.【方法技巧与总结】应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且．题型十：求两向量的数量积【例10】（2024·四川眉山·高一校考期末）如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，.(1)试用表示向量；(2)求的值.(3)延长线段交于，设，求实数的值.【变式101】（2024·全国·高一假期作业）已知向量与的夹角为，且，求：(1)；(2)．【变式102】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）在△中，已知，，在线段上，且，设，．(1)用向量，表示；(2)若，求和．【变式103】（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【方法技巧与总结】求平面向量数量积的方法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．题型十一：向量的模和夹角的计算问题【例11】（2024·河南鹤壁·高一