高中数学选择性课时评价5-2-2-5-2-3函数的和差积商的导数简单复合函数的导数

三十五函数的和、差、积、商的导数简单复合函数的导数(15分钟30分)1．若f(x)＝exln2x，则f′(x)＝()A．exln2x＋eq\f(ex,2x)B．exln2x－eq\f(ex,x)C．exln2x＋eq\f(ex,x)D．2ex·eq\f(1,x)【解析】选C.f′(x)＝exln2x＋ex×eq\f(2,2x)＝exln2x＋eq\f(ex,x).2．已知f(x)＝sinx＋cosx＋eq\f(π,2)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))等于()A．－1＋eq\f(π,2)B．1＋eq\f(π,2)C．1D．－1【解析】选D.f′(x)＝cosx－sinx，故f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1.3．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【解析】选B.y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.4．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．【解题指南】设切线的切点坐标为(x0，y0)，对函数求导，利用y′|x＝x0＝2，求出x0，代入曲线方程求出y0，得到切线的点斜式方程，化简即可．【解析】设切线的切点坐标为(x0，y0)，y＝lnx＋x＋1，y′＝eq\f(1,x)＋1，y′|x＝x0＝eq\f(1,x0)＋1＝2，x0＝1，y0＝2，所以切点坐标为(1，2)，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.答案：y＝2x5．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【解析】因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).则f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋sinx,x)，则该函数的导函数f′(x)＝()A．eq\f(2x＋cosx,x2)B．eq\f(x2＋xcosx－sinx,x2)C．eq\f(2x＋xcosx－sinx,x2)D．2x－cosx【解析】选B.由题意可得f′(x)＝eq\f(（2x＋cosx）x－（x2＋sinx）,x2)＝eq\f(x2＋xcosx－sinx,x2).【补偿训练】函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－eq\f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5)C．2xln(2x＋5)D．eq\f(x,2x＋5)【解析】选B.因为y＝xln(2x＋5)，所以y′＝ln(2x＋5)＋eq\f(2x,2x＋5).2．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝xlnx＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为()A．y＝－xB．y＝－x＋2C．y＝xD．y＝x－2【解析】选A.因为当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，所以f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.3．当函数y＝eq\f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于()A．aB．±aC．－aD．a2【解析】选B.y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－（x2＋a2）,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，由xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a2＝0得x0＝±a.【补偿训练】函数y＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)的导数是()A．eq\f(1,2)(ex－e－x)B．eq\f(1,2)(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－x【解析】选A.y′＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)′＝eq\f(1,2)(ex－e－x).4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2【解析】选B.设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝ln（x0＋a），))由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)【解析】选AB.因为(0，0)在直线l上，当O(0，0)为f(x)的切点时，因为f′(0)＝2，所以直线l的方程为y＝2x，又直线l与y＝x2＋a相切，所以x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；当O(0，0)不是f(x)的切点时，设切点为(x0，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0)(x0≠0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0,x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，得x0＝eq\f(3,2)，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(1,4)，所以直线l的方程为y＝－eq\f(1,4)x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x，,y＝x2＋a，))得x2＋eq\f(1,4)x＋a＝0，由题意得Δ＝eq\f(1,16)－4a＝0，所以a＝eq\f(1,64).综上得a＝1或a＝eq\f(1,64).6．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2)B．(cos2x)′＝－2sin2xC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,ln3)))′＝3xD．(lgx)′＝eq\f(－1,xln10)【解析】选BC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，(cos2x)′＝－2sin2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,ln3)))′＝3x，(lgx)′＝eq\f(1,xln10).三、填空题(每小题5分，共10分)7．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＝________，f′(x)>0的解集为________．【解析】由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－2x－4,x)＝eq\f(2（x＋1）（x－2）,x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为{x|x>2}．答案：2x－2－eq\f(4,x){x|x>2}【补偿训练】f(x)＝eq\r(ax2－1)且f′(1)＝2，则a的值为________．【解析】因为f(x)＝(ax2－1)eq\f(1,2)，所以f′(x)＝eq\f(1,2)(ax2－1)－eq\f(1,2)(ax2－1)′＝eq\f(ax,\r(ax2－1)).又f′(1)＝2，所以eq\f(a,\r(a－1))＝2，所以a＝2.答案：28．(2021·徐州高二检测)已知函数f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx(a∈R)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________，切线的方程为________(直线的方程写成一般式).【解析】设曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的交点为P(x0，y0)，则eq\r(x0)＝alnx0，因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)，所以eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(a,x0)，所以a＝eq\f(\r(x0),2)，将其代入eq\r(x0)＝alnx0，得eq\r(x0)＝eq\f(\r(x0),2)lnx0，因为x0>0，所以lnx0＝2，所以x0＝e2，所以a＝eq\f(e,2)，所以y0＝eq\r(x0)＝e，切线的斜率为eq\f(1,2\r(e2))＝eq\f(1,2e)，所以所求切线的方程为：y－e＝eq\f(1,2e)(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.答案：eq\f(e,2)x－2ey＋e2＝0四、解答题(每小题10分，共20分)9．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．【解析】因为y′＝(e2x)′·cos3x＋e2x·(cos3x)′＝2e2x·cos3x－3e2x·sin3x，所以y′|x＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设符合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得eq\r(5)＝eq\f(|b－1|,\r(5))，解得b＝6或－4.所以符合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.10．曲线y＝esinx在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(2)，求直线l的方程．【解析】因为y＝esinx，所以y′＝esinxcosx，所以y′|x＝0＝1.所以曲线y＝esinx在(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.由eq\f(|m－1|,\r(1＋（－1）2))＝eq\r(2)，得m＝－1或3.所以直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.1．设函数f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)π))＝eq\f(\r(3),2)，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________．【解析】f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ).由条件知f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)π))＝－eq\r(3)sin(π＋φ)＝eq\r(3)sinφ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinφ＝eq\f(1,2)，因为0＜φ＜π，所以φ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).又f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sin(eq\r(3)x＋φ＋eq\f(5π,6)).若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin(φ＋eq\f(5π,6))，所以φ＋eq