传递过程第1章

传递过程主讲人：王宝和[TRANSPORTPROCESSES]1.化学工程学科的2个里程碑第一里程碑——单元操作(UnitOperations)1920年，美国麻省理工学院（综合性私立大学，MassachusettsInstituteofTechnology，

MIT）的化学工程脱离化学系而成为一个独立的系（即化工系），由刘易斯（Lewis）任系主任；=化工原理（PrinciplesofChemicalEngineering）有近百年的历史。是继土木工程、机械工程、电气工程之后的第四门工程学科。1920年夏天，化工系的华克尔（Walker）、刘易斯（Lewis）、麦克亚当斯（McAdams）三位教授，将众多的化工生产过程归纳为五大类单元操作，并完成了《化工原理》初稿，油印后作为化工系的教科书；1923年，《化工原理》正式出版，这就是单元操作的正式起点。包括流体输送、过滤、沉降、固体流态化等。流动过程：传热过程：包括导热、对流、辐射、蒸发、沸腾、冷凝等。传质过程：包括吸收、萃取、精馏、干燥、吸附等。热力过程：即流体的温度和压力变化过程。机械过程：包括固体输送、粉碎、筛分等。单元操作是对化工过程的第一次归纳。粉体工程单元操作概念：在化工生产过程中，具有共同物理变化特点的基本操作。主要包括五大类（20多种）：化工过程→五类单元操作第二里程碑之一——传递原理(TransportPrinciples)上个世纪50年代初，美国威斯康星大学（UniversityofWisconsin,UW）的教授博德（Bird）、斯图尔德（Stewart）、莱特富特（Lightfoot），把单元操作过程归纳为动量、热量和质量传递过程；传递原理是对化工过程的第二次归纳。传递过程简称“三传”将相关的物理理论和数学方法引入到“单元操作”中，来阐明了传递过程的基本原理，开始着手编写教材《传递现象》，先在威斯康星大学试用；经修订后于1960年正式出版。这部著作的出版几乎和当年的《化工原理》一样产生了巨大的影响，到1978年就印刷了19次。化工过程→五大单元操作→三大传递过程第二里程碑之二——化学反应工程（ChemicalReactionEngineering）1957年，美国俄勒冈州立大学（OregonStateUniversity）的列文斯比尔（Levenpiel）教授正式出版了专著《化学反应工程》。传递原理与化学反应工程一起被称为“三传一反”，构成了化学工程学科的第二里程碑。第三里程碑——？化学反应工程简称“一反”湍流传递问题界面问题多尺度问题空间时间多学科交叉问题三传一反+x过程工程微观、介观、宏观。MD、DPD、CFD。化学工程已由化学工业扩展到冶金、材料、能源、环境、生物等进行诸多物质转化的过程工业。典型例子：汽泡的生成和长大问题。面临的挑战和研究热点化学变化过程？物理变化过程问题计算方法2.研究内容及研究方法流体输送动量传递《化工原理》讨论过的一些典型单元操作：过滤沉降传热蒸发冷凝热量传递萃取吸收质量传递精馏干燥“三传”热量传递+质量传递“传递过程”（TransportProcesses）又叫传递现象、传递原理、高等化工原理、传递、三传等。根据传递机理建立过程的物理模型通过微分衡算推导出描述过程的偏微分方程再利用数学方法，求得速度、温度、浓度分布进而得到动量、热量、质量传递规律。从基本定律出发，采用数学的方法，来研究动量传递、热量传递、质量传递的基本规律，以及三传之间的相似性问题。研究思路：研究内容：特点：更注重数学推导过程。（1）传递机理：（2）传递推动力：

（3）三传相似性：动量传递：各层速度不同速度差动量浓度差；

热量传递：各层温度不同温度差热量浓度差；

质量传递：各层浓度不同浓度差机理相似，分子传递和湍流传递（分子传递+涡流传递）。传递过程发生的必要条件？方程相似。牛顿第二定律；热力学第一定律；质量守恒定律。（4）数学处理方法（从）基本定律（出发）

Lagrange法；Euler法。牛顿粘性定律；傅里叶（第一）定律；费克（第一）定律。对具体问题进行简化。微分衡算偏微分方程常微分方程通解速度(温度、浓度)分布定解条件（初始条件+边界条件）以分子传递过程为例：第1章：基础知识基本概念[两个(假定)前提、两种传递机理、随体导数]；基本定律[牛顿粘性定律、傅里叶（第一）定律、费克（第一）定律]；基本方法（Lagrange法、Euler法）；基本理论（Prandtl边界层理论）；基本方程（连续性方程、卡门边界层积分传递方程、壁面传递通量方程）。3.课程内容安排（5章）：第2章：动量传递层流动量传递：N-S方程(组)及其简单情况下的求解(稳态过程、非稳态过程)；湍流动量传递：处理问题的方法（管内湍流计算）；绕过物体的流动。第3章：热量传递

导热：导热微分方程及其求解（典型稳态导热、典型非稳态导热）；对流传热：对流传热微分方程的无因次化及传热准数。

第4章：质量传递扩散：微分质量衡算方程及其求解（典型稳态扩散、典型非稳态扩散）；对流传质：对流传质微分方程的无因次化及传质准数；相际传质理论。第5章：三传类比三传类比的依据及条件；类比方程式。4.讲义：（沙庆云主编）《传递原理》

（主要参考书）《传递原理教与学参考》考试形式：闭卷；考试时间：待定；考试地点：待定；答疑时间：待定；答疑地点：化环生学部实验楼D-413；联系方式：化环生学部实验楼D-413；电话：84986167；平时成绩包括：作业+课堂小测验；注意事项：上课时要带计算器。5.成绩=考试成绩+平时成绩第1章基础知识1-1基本概念1.描述流体的两个假定（前提）（1）流体的连续性微观上看，流体（气体、液体）是由大量分子组成的，分子之间具有空隙，是不连续的;由于分子不断运动，平均自由程很小，故可将流体看作为连续介质，即假定流体具有连续性;从而，描述流体的参数（如速度、温度、浓度、密度、压强等）就可以用连续的数学方法（如微分、积分等）来解决流体的动量传递、热量传递、质量传递等问题。

例如：标准状态下，1mol空气（假定为理想气体）的体积=22.4L，=6.023×1023个分子，即2.7×1016个/mm3,平均自由程=7×10-4

mm。（2）流体的不可压缩性在压力作用下，流体（气体、液体）的体积变小，这就是流体的可压缩性。实际流体均具有可压缩性。但一般情况下，流体的压缩性较小（体积减小<5%）,可近似作为不可压缩流体处理。对于不可压缩流体，密度=const.（与时间、空间位置无关）。2.描述流场的两种方法（观点）（1）Lagrange法（观点）在运动的流体中，任取一固定质量的流体微元，并追随该微元，观察并描述它在空间移动过程中各物理量变化情况的方法。

微元体的质量观察点运动，且与流体速度相同。

流体微元又称微元体：①尺寸足够小；②每个面上的物理量相同。在流场中，取固定空间位置点，观察并描述体积不变的流体微元流经此空间固定点时，各物理量变化情况的方法。（2）Euler法（观点）微元体的体积观察点不动。

3.随体导数（Substantialderivative）

若描述流体的某个物理量（如密度、压强、温度、速度、浓度等，这里以压强为例）为连续可导函数，其大小与时间(θ)及空间位置(x,y,z)有关，即：全微分为：全导数为：

（1）观察点静止不动

即Euler法。例如：将气压计（或温度计）安装在某一确定的位置点，我们观察压强（或温度）随时间的变化率。称为局部导数，某点上某物理量随时间的变化率。某物理量（压强）随时间的变化率，有以下三种情况：例如：将气压计（或温度计）安装在飞机仓外，当飞机飞行时，大气速度与飞机飞行速度不等，我们观察压强（或温度）随时间的变化率。如果飞机不动时，就是第1种情况。（2）观察点运动，但与流体速度不等（3）观察点运动，且与流体的运动速度相同，即随流体一起运动

变位导数或对流导数（随位置的变化率）。局部导数。称为随体导数、随波逐流导数、Lagrange导数。为全导数的一个特例。即Lagrange法。例如：将气压计（或温度计）悬挂在随大气漂流的气球上，气压计（或温度计）与周围大气速度相等，我们观察压强（或温度）随时间的变化率。一般情况：全导数为：

随体导数为：

直角坐标系下，任一物理量（如温度、速度、浓度、密度等）为连续可导函数，则：4.传递机理动量、热量、质量的传递既可由分子传递方式，又可由湍流传递方式进行。其传递机理与流体的流动状态有关。（1）分子传递：

固体（或静止介质）内的导热或分子扩散。流体层流流动时的三传（动量传递、热量传递、质量传递）。

（2）湍流传递：当流体湍流流动时，动量传递、热量传递、质量传递，除了靠微观分子运动引起的传递外，更主要是由宏观流体微团湍流运动产生的涡流传递。湍流传递=分子传递+涡流传递。

由微观分子热运动产生的传递。

由微观的分子热运动和宏观的流体微团涡流运动相结合的传递。

思考题：在哪些情况下，会产生分子扩散？1-2分子传递（三大基本定律）通量（概念）：单位时间、单位面积传递的动量、热量、质量，称为动量通量、热量通量、质量通量。（一维）分子传递（三大）基本定律的适用条件

：速度、温度、浓度分布仅与y有关的一维传递过程；稳态分子传递过程。1.质量通量—费克（第一）定律由浓度差引起的分子传递—质量通量，可用费克（Fick）（第一）定律来描述。对于双组分（A、B），在任一截面y=y0处，单位时间、单位面积所传递的组分A的质量，即质量通量可表达为：牛顿粘性定律；傅里叶（第一）定律；费克（第一）定律。注意与速率的区别。

jA—组分A的质量通量，kg/(m2·s)；

DAB—组分A在组分B中的（质量）扩散系数，m2/s；

ρA—组分A的质量浓度，kg/m3；dρA/dy—组分A在y方向上的质量浓度梯度，(kg/m3)/m。

式(1-1)中的DAB=DBA（在第4章加以证明）。式(1-1)中的负号表示质量通量的方向与质量浓度梯度的方向相反，即质量朝着其浓度降低的方向传递。费克（第一）定律的文字表达：质量通量=-（质量）扩散系数×质量浓度梯度。由生理学家Fick于1855年发现的，称为费克定律，又称费克第一定律。2.热量通量—傅里叶（第一）定律由温度差引起的分子传热（导热）—热量通量，可用傅里叶（Fourier）（第一）定律来描述。在任一截面y=y0处，单位时间、单位面积传递的热量，即热量通量可表达为：

q—热量通量，J/(m2·s)(W/m2)；k—热导率（导热系数），J/(m·s·K)(W/m·K)；

t—温度，K；dt/dy—在y方向上的温度梯度，K/m。

由德国数学-物理学家Fourier,于1822年首先提出来的，称为傅里叶定律，又称傅里叶第一定律。为了用类似于式（1-1）的形式表达，对于密度和比热容可作为常数处理的层流流体（或静止介质），式（1-2）可改写为：

ρ—密度，kg/m3；cp—比热容，J/(kg·K)；

α—热（量）扩散系数，或导温系数，m2/s；

ρcpt—热量浓度，J/m3；d(ρcpt)/dy—在y方向上的热量浓度梯度，(J/m3)/m。

傅里叶（第一）定律的文字表达：热量通量=-热(量)扩散系数×热量浓度梯度。3.动量通量—牛顿粘性定律（1）牛顿粘性定律流体在层流过程中，由速度差引起的动量传递—动量通量，可用牛顿（Newton）粘性定律来描述。在任一截面y=y0处，单位时间、单位面积传递的动量，即动量通量可表达为：由Newton1687年首先提出来的，称为牛顿粘性定律。凡服从牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。所有的气体和低分子量的液体属于牛顿型流体。

对于不可压缩流体，即密度ρ=const，则式（1-4）可改写为：

Fyx—动量通量，(kg·m/s)/(m2·s)；μ—粘度，(N·s)/m2(Pa·s)；ux

—流体速度在x方向上的分量，m/s；dux/dy—在y方向上的速度梯度，(m/s)/m；ρ—密度，kg/m3；ρux

—动量浓度，(kg·m/s)/m3；d(ρux)/dy—在y方向上的动量浓度梯度，(kg·m/s)/(m3·m)；ν—运动粘度或动量扩散系数，m2/s。

F值表示动量通量的大小，第一个下标y表示动量传递的方向（动量通量方向），第二个下标x表示动量的方向。牛顿粘性定律的文字表达为：

动量通量=-动量扩散系数×动量浓度梯度。（2）动量通量与剪应力速度快的流体受到速度慢流体向后的拉力，而速度慢的流体受到速度快流体向前的推力，这两个力大小相等，方向相反，称为剪应力。剪应力(τyx)和动量通量(Fyx)在数值上相等，方向相互垂直。对于牛顿型流体，可用牛顿粘性定律来描述：对于不可压缩流体ρ=const.τyx—剪应力，N/m2(Pa)。τ表示剪应力的大小；剪应力分量的正负可按以下约定处理：若作用面的外法线是沿坐标轴的正方向，则此作用面的剪应力分量以坐标轴的正方向为正，负方向为负；相反，若作用面的外法线是沿坐标轴的负方向，则此作用面的剪应力分量以坐标轴的负方向为正，正方向为负。以上讨论是为了从物理概念上，讲清楚动量通量和剪应力的定义和方向，所以分别用Fyx和τyx表示，但在以后的讨论中，无论是动量通量还是剪应力，习惯上均采用τyx表示。剪应力是张量：不仅有大小和方向，还要有作用面。第一个下标y表示作用面的外法线方向；第二个下标x表示剪应力的方向。小结（三大基本定律）：（1）相似性热量、质量为标量，动量为矢量；热量通量、质量通量为矢量，动量通量为张量。只有大小，没有方向。不仅有大小，还要有方向。有大小、方向，还要有作用面。ρ=constρ,cp=const（2）差异动量动量动量热量通量=-热量扩散系数×热量浓度梯度质量质量质量数学表达式：文字表达式：3个扩散系数的单位都是m2/s。牛顿粘性定律；傅里叶（第一）定律；费克（第一）定律。4.扩散系数动量扩散系数、热扩散系数、质量扩散系数的单位均为m2/s；根据分子传递机理，可以推定，其数值大小很大程度应该取决于分子的随机运动规律。为说明其物理意义，下面采用简化的方法，推导出理想气体的ν、α、DAB与分子运动参数之间的关系。（1）动量扩散系数假定：①两层气体之间的距离为分子平均自由程λ；②单位体积内气体分子数为n(个/m3），分子在x、y、z三个方向各向同性，即向y方向运动的分子数为(1/3)n；③分子平均速度为v(m/s)；④单个分子质量为m。则：①气体密度ρ=nm

；②单位时间、单位面积两气体层间交换的分子数为(1/3)nv。对于不可压缩流体ρ=const，要保证ρ不变，各层交换的分子数必相同，由于2层气体速度不同，所以必有动量交换，即：ρ=nm(1/3)nv两式比较后，有：即动量扩散系数为分子平均速度和分子平均自由程乘积的1/3。（2）热扩散系数与动量传递类似：与式（1-3）比较后，（不考虑正、负号）可得：（3）质量扩散系数对于组分A来说，ρA=nAmA，由于各层组分A的分子质量mA相同，如果有质量传递发生，只有各层分子数不同；假定组分A在气层1的分子数为nA1v(单位时间、单位面积的分子数)，在气层2的分子数为nA2v。则：比较后可得：由上述得到：表明三传（分子传递）具有相似性。以上关系只适用于理想气体。由于模型过于简化，与实际情况出入较大。一般认为，这3个扩散系数与物性有关，需要通过实验或经验公式来确定。1-3湍流传递湍流传递=分子传递+涡流传递1.涡流传递通量及湍流传递通量（1）涡流传递通量类似于分子传递，1877年波希涅斯克(Boussinesq)提出了涡流传递通量的表达式：（2）湍流传递通量

上标t—湍流传递；下标e—涡流传递；

νe、αe、DAB,e—涡流动量扩散系数、涡流热量扩散系数、涡流质量扩散系数，m2/s。与ν、α、DAB不同，νe、αe、DAB,e不是流体物性常数，而与空间位置、流动状态及壁面粗糙度等有关。目前还无法推理计算。湍流传递=分子传递+涡流传递2.普朗特混合长假说为解决涡流扩散系数νe、αe、DAB,e的计算问题，普朗特（Prandtl）把气体分子运动的平均自由程概念引入到涡流传递中，于1925年提出了混合长假说。模型:流体微团的涡流运动与气体分子运动相似。混合长：流体微团在失去其本来特性（指原有的速度、温度或浓度），与其它流层的流体微团混合前两流体层之间的垂直距离。

据此假说可推得：①涡流传递具有相似性；②涡流传递与分子传递具有相似性；③l比涡流扩散系数更直观，可以测定。

l—混合长，m；—流体微团在y方向的脉动速度，m/s。瞬时速度时均速度通过上述分子传递、涡流传递、湍流传递的介绍，我们对三传过程的相似性有了初步的了解。分子传递具有相似性，涡流传递和湍流传递也具有相似性。

参见《讲义》p85～86。机理相似；方程相似。1-4通过壁面（或相界面）的传递通量对于动量传递、热量传递、质量传递三种传递过程：当流体层流流动时，主要靠分子传递；湍流流动时，紧靠壁面仍有一层层流底层存在，层流底层中的传递主要靠分子传递；因此，不论主体是层流或湍流，在紧靠壁面附近的那层流体主要靠分子传递；即在y=0处，都可以用分子传递通量的三大基本定律。（1）通过壁面（或相界面）的质量通量（2）通过壁面的热量通量（3）通过壁面的动量通量以上各式中：

下标w—壁面（或相界面）；下标∞—流体主体（若为管内为平均av）；—质量传递系数（或传质系数），m/s；—质量传递系数（或传质系数），m/s；

JA—组分A的摩尔通量，kmol/（m2·s）；

CA—组分A的摩尔浓度，kmol/m3；

h—传热系数，W/(m2·K)；

h/(ρcp)—热量传递系数，m/s；

f—范宁(Fanning)摩擦因子；

(fu∞)/2—动量传递系数，m/s。以为基准，无总体流动情况下的。以为基准，无总体流动情况下的。又称表面（或壁面）传热系数、对流传热系数。注意与热扩散系数k/(ρcp)的区别。通过壁面（或相界面）的三种传递通量的数学表达式：动量动量动量热量通量=热量传递系数×热量浓度差（1-22）质量质量质量文字表达式：3个传递系数的单位都是m

/s。在什么情况下，这3个传递系数相等呢？将在三传类比部分加以讨论。层流、湍流都适用。ρ=const,uw=0ρ,cp=const无总体流动1-5流体的连续性方程流体的连续性方程推导，实际上就是微分质量衡算。总质量衡算：衡算的一般方程：动量动量动量输入的热量速率-输出的热量速率=累积的热量速率质量质量质量简写为：

输出-输入+累积=0

（1-23）质量衡算微分质量衡算：研究系统变化前后的总结果(进出口)。研究系统内部变化情况(微元体)。微分质量衡算：对于稳态过程的总质量衡算：稳态过程，累积质量速率=0，输入质量速率=输出质量速率。1.直角坐标系下的连续性方程取一固定空间位置点(x,y,z)；微元体的边长分别为dx,dy,dz；x,y,z方向的速度分量分别为ux,uy,uz；流体密度为ρ。衡算方程：输出-输入+累积=0。采用Euler法。对于不可压缩流体，ρ=const。改变流道截面积。圆形管道，改变截面积。流体的连续性方程。密度×速度=质量速率=质量通量质量通量×流通截面积

输出-输入+累积=0累积质量速率：在θ时刻,流体的密度为ρ据：输出-输入+累积=0

（1-23）由于采用Euler法，微元体体积不变，质量要改变，只有改变密度ρ。

输出-输入+累积=0微元体质量=ρdxdydz在θ+dθ时刻,流体的密度为：

式(1-24)称为直角坐标系下流体的连续性方程。稳态、非稳态流动；理想、非理想流体（实际流体）；压缩、不可压缩流体；牛顿型、非牛顿型流体；层流、湍流（为瞬时速度）流动。将式（1-24）展开：前4项为密度的随体导数，故式（1-25a）和（1-25b）为流体连续性方程的另外2种表达形式。适用于:

推导过程中，没作任何假定。是研究传递过程最重要、最基本的方程。推导过程与直角坐标系的类似，见《讲义》p18～19，自学。直角坐标系下，不可压缩流体的连续性方程为:

2.柱坐标系下的连续性方程对于不可压缩流体，式（1-25a）的前4项和式（1-25b）的第1项=0。前4项为随体导数。3.球坐标系下的连续性方程

推导过程见《参考书》p23，自学。前4项为随体导数。1-6边界层概念

1.速度分布实际流体沿平壁流动的速度分布实验曲线图。由于流体内部存在粘滞力的作用，流体流速从壁面处的ux=0逐渐增大到不再受壁面影响的速度u∞；离壁面越远，速度梯度越小。流体的牛顿第二定律粘性流体的N-S方程理想流体的Euler方程理想流体的运动规律微分动量衡算简化（理想流体）求解理论流体力学2.Prandtl边界层理论基本要点在边界层理论之前，对流体力学的研究存在两大学派。产生背景：学派1：学派2：实验为基础实际流体的流体力学规律水力学两大学派得到的研究结果差别很大；特别是当流体的粘度趋近于0时，实验结果与理想流体并不一致。为解决这个矛盾，Prandtl把二者有机地结合起来，于1904年，提出了边界层理论，从而形成了现代流体力学。假定：速度梯度全部集中在紧靠壁面附近的一个薄层流体层（称为流动边界层）内。依据：实际流体沿平壁流动的速度分布实验曲线。Prandtl边界层理论基本要点：在边界层内，速度梯度大，粘滞力大；流体作为实际流体处理。（1）流动边界层厚度δ3.平板上的流动边界层把流体沿壁面流动的垂直方向上分成两个区域，即边界层区和主流区(流体主体)；在主流区，流体作为理想流体处理。从理论上讲，流体速度从壁面处的0逐渐增大到边界层外的速度u∞是以渐近方式达到的。通常把与壁面的垂直距离，称为流动边界层厚度δ。（2）平板上流动边界层的形成和发展从总体上看：y方向（任一与流动方向的垂直截面）上：

根据边界层理论：x方向上：δ与x的定量关系见第2章。仔细观察其内部变化情况：当离开平板前缘某一临界距离xc后，在粘滞力和外界干扰双重作用下，边界层内部不断产生旋涡，形成一小块、一小块的湍流区，这就是过渡区的开始。旋涡沿流动方向移动，同时又不断产生新的旋涡，最后，当这些一块块的湍流区相互交错重叠，不再留下层流的空隙，其后边的边界层就是湍流边界层。从x方向上看：当x较小（δ亦较小）时，流体的流动为层流，此时的边界层称为层流边界层。

边界层

层流边界层可见：湍流边界层过渡区湍流中心层流底层缓冲层讨论：层流边界层与层流底层的区别（与相同点）：层流底层是湍流边界层中微团脉动可以忽略不计的紧贴壁面的极薄一层流体，是湍流边界层的三个部分之一，其外缘仍有速度梯度存在；而层流边界层外无速度梯度存在。从y方向上看湍流边界层内部的变化情况：在湍流边界层中，紧靠壁面的极薄一层仍然为层流流动，这一薄层为层流底层。在层流底层和湍流中心之间的过渡层称为缓冲层。相同点：分子传递。边界层类型的判据描述平板边界层内流体流动状态一般用雷诺（Reynolds）数（）表示。由层流边界层变成湍流边界层时的雷诺数称为临界雷诺数。xc为临界距离。影响临界雷诺数的因素有：流体物性、流速、壁面形状、尺寸、粗糙度、来流的湍动情况、外界干扰情况等。临界雷诺数和临界距离均由实验确定。作业计算取Rexc=5×105。（1）正在发展的流动若为不可压缩流体，必保证各截面的平均速度相等，才能保证流量相同，而边界层内速度随x的增加而降低的比例增大，因此，必有随x的增大，边界层外的速度不断增加。从管子入口到边界层在管子中心汇合前的流动，称为正在发展的流动或发展着的流动。4.圆管内的流动边界层边界层内：边界层外：与平板(类似但有)区别，随着x的增加，边界层厚度不断增加，但最后等于管子半径；

随着x的增加，边界层外的速度不断增加，最终至最大值。222211dudu=边界层在管子中心汇合后的流动称为充分发展了的流动。若汇合点是层流，其后仍为层流；若汇合点是湍流，其后仍为湍流。与平板类似，圆管内湍流边界层亦包括层流底层、缓冲层和湍流中心三部分。由于充分发展了的管内流动与x无关，所以平板Rex不再适用于管内流动。（2）充分发展了的流动从汇合点开始，其下游速度分布不再改变，边界层厚度不再改变（等于管子内半径）。从入口到边界层在管子中心汇合的距离称为进口段长度。进口段长度大小与流体的流动状态（层流、湍流）及Re大小有关（见《讲义》p24，自学）。圆管雷诺数。d为管子内径，m；uav为流体平均速度，m/s；ν为流体的运动粘度，m2/s。（3）进口段长度5.传热边界层和传质边界层（1）传热边界层把与壁面的垂直距离，称为传热边界层厚度δt。热量传递只发生在边界层内。因为边界层外无温度梯度，即无温差。（2）传质边界层把与壁面（或界面）的垂直距离，称为传质边界层厚度δc。质量传递只发生在边界层内。因为边界层外无浓度梯度，即无浓度差。1-7边界层积分方程1921年，卡门根据边界层概念，直接对边界层进行衡算，导出边界层动量、热量、质量积分方程，故又称卡门边界层积分方程。1、边界层动量积分方程适用于流体的牛顿第二定律：作用在流体上的诸外力之和等于流体的动量随时间的变化率，即：引起流体动量变化的原因是作用在流体上的所有外力。条件：不可压缩流体，沿壁面呈二维稳态流动。边界层理论应用的经典例子。（1）“微元体”的取法在紧靠壁面处，x方向取dx，y方向取l，z方向取单位1（z方向无流体流动）。（2）动量变化率①流入A1面的质量速率和动量速率l比较大，大于流动边界层厚度。=输出的动量速率-输入的动量速率②流出A2面的质量速率和动量速率③A4为壁面，无流体流入或流出。④流入A3面的质量速率和动量速率因A4无流体流入或流出，z方向无流体流入或流出，故A2与A1的质量流率差必为A3的质量流率，即：稳态过程，累积质量速率=0，又因A3面在边界层之外，其流速为u∞，故通过A3从边界层外流入的动量速率为：⑤

动量变化率=输出的动量速率-输入的动量速率，即：（3）微元体所受的外力引起动量变化的原因为作用在微元体上的外力质量力（重力，忽略）；表面力（粘滞力和压力）。即微元体在x方向受到的外力为粘滞力和压力。①粘滞力作用在A4面（壁面）上的粘滞力：二维牛顿粘性定律：。采用Prandtl数量级分析（见第二章）可得，第二项可忽略不计。作用在A3面上的粘滞力为0。

因为A3在边界层外，ux=u∞，无速度梯度。②压力（4）边界层动量积分方程

将方程（2）～（4）代入方程（1），得:因此，式（5）变成：对于不可压缩流体（ρ=const），则：上式被称为不可压缩流体边界层动量积分方程，又称卡门边界层动量积分方程。上式对于层流或湍流都适用。若已知速度分布，就可以求解，得到δ与x之间的关系。2.边界层热量积分方程上式对于层流或湍流都适用。上式被称为边界层热量积分方程，又称卡门边界层热量积分方程。若已知速度分布及温度分布，就可以求解，得到δt与x之间的关系。与边界层