信号与系统课件：系统的状态变量分析

系统的状态变量分析7.1状态和状态变量7.2连续系统状态方程的建立7.3离散系统状态方程的建立7.4连续系统状态方程的复频域解7.5离散系统状态方程的z域解习题7

分析一个物理系统，首先必须建立系统的数学模型，以便利用有效的数学工具解决实际问题。在系统分析中常用的系统描述方法有输入输出描述法和状态变量描述法两大类。

前面几章讨论的分析方法属于输入输出描述法(

Input-OutputDescription)，又称端口分析法，也称外部法。它主要关心的是系统的激励与响应之间的关系，而不直接涉及系统的内部情况。这种分析法对于较为简单系统的分析是合适的。其相应的数学模型是n阶微分(或差分)方程。

随着系统的复杂化，往往会遇到非线性、时变、多输入、多输出等情况。此外，在许多情况下，人们在研究系统外部特性的同时，还需要研究与系统内部情况有关的问题，如系

统的稳定性分析、最佳控制、最优设计等等。这时，就需要采用以系统内部变量为基础的状态变量描述法(

StateVariableDescription)，这是一种内部法。它用状态变量描述系统的内部特性，并且通过状态变量将系统的输入、输出变量联系起来，用于描述系统的外部特性。与输入—输出描述法相比，状态变量描述法具有以下优点:

(1)可以有效地提供系统内部的信息，使人们能够较为容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。

(2)状态变量描述法不仅适用于线性非时变的单输入单输出系统特性的描述，也适用于非线性时变多输入多输出系统特性的描述。

(3)描述方法规律性强，便于应用计算机技术解决复杂系统的分析设计问题。

本章首先介绍状态和状态变量，状态变量描述的方法，然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解方法。

7.1状态和状态变量

为了方便建立状态方程，下面先给出连续系统状态变量分析法中常用的几个名词定义。(1)状态(State):从本质上说，系统的状态是指系统的储能状况。

(2)状态变量(StateVariable):用来描述系统状态的数目最少的一组独立变量。状态变量通常用x1(t)，x2t)，…，xn(t)来表示。在起始时刻t=t0的一组状态变量x1(t0)，x2(t0)，…，xn(t0)代表了系统在t=t0时的状态，称为初始状态，它反映了t=t0以前系统的工作情况，并以储能的方式表现出结果。只要系统的初始状态和t≥t0时系统的激励确定，就能完全确定t≥t0时系统的响应。

(3)状态矢量(StateVector):能够完全描述一个系统行为的n个状态变量，可以看成是一个矢量x(t)的各个分量，x(t)称为系统的状态矢量，写成矩阵形式为

(4)状态空间(StateSpace):状态矢量所在的空间称为状态空间。状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数，也称系统的复杂度阶数(OrderofComplexity)，简称系统的阶数。

用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法分析系统时，可以分为两步进行:第一步选定状态变量，并列写出

用状态变量描述系统特性的状态方程，一般是一阶微分(或差分)方程组，它建立了状态变量与激励之间的关系，与此同时还要建立响应与激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程;第二步利用系统的初始状态和激励求取状态方程和输出方程的解。

状态方程为状态变量与激励之间的关系式，输出方程为响应与状态变量、激励之间的关系式，它们可以分别表示为如下的标准形式

式中，x为状态变量的一阶导数，是n维列矢量;x为状态变量，是n维列矢量(有n个状态变量);y是r维列矢量(有r个响应);f是m维列矢量(有m个激励);系数矩阵A为n×n方阵，系数矩阵B为n×m矩阵(有m个激励);系数矩阵C为r×n矩阵，系数矩阵D为r×m矩阵。

由此可见，在建立状态方程前，首先应选定状态变量。若已知电路，最习惯选取的状态变量是电感电流iL和电容电压uC，因为它们直接与系统的储能状态相联系。状态变量必须是一组独立的变量。所谓独立，是指它们在任一时刻彼此毫无依赖关系，即不能互求。在RLC电路中，独立的电感电流和电容电压(即独立的状态变量)的数目，称为电路的复杂度阶数，用n表示。n一般可表示为

式中，bLC

为电路中储能元件的个数总和，nC为仅由电容(或电容和电压源)组成的独立回路的总数，nL为仅由电感(或电感和电流源)组成的独立割集的总数。

例如，图7.1－1所示的电路中有7个储能元件，有1个仅含电容和电压源的回路，有1个仅含电感和电流源的割集，故电路的复杂度阶数为

图7.1－1独立的状态变量选取示意图

可见此电路只有5个状态变量是独立的，只需用5个状态变量来描述系统就可以了，只是一定要选取独立的电感电流和电容电压作为状态变量。

7.2连续系统状态方程的建立

状态方程的建立采用的方法可分为两大类:直接法和间接法。直接法是依据给定的系统结构直接编写出系统状态方程。这种方法直观、规律性强，特别适用于电网络的分析和设计。间接法则利用系统的输入—输出描述(如系统的输入—输出方程、系统函数、系统模拟框图或信号流图)来编写状态方程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节讨论连续系统状态方程的建立。

7.2.1由电路图建立状态方程

对于不太复杂的系统，我们可以用直观的方法写出其状态方程。当然，首先要选择状态变量。在电系统中，一般选电容电压uC和电感电流iL作为状态变量。因为一方面电容元件和电感元件都是储能元件，它们反映了系统的储能情况;另一方面，由于即状态变量的一阶导数仍是电流和电压，很容易满足状态方程的形式。

前面已指出，状态变量是一组独立变量，其个数等于系统的阶数。对于电系统而言，系统阶数就是独立电容电压和独立电感电流的总数。所谓独立，是指这些量彼此互不相关。

一般地说，由电路直接建立状态方程的步骤如下:

(1)选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量;

(2)对每一个独立电容列写KCL方程;对每一个独立电感列写KVL方程;

(3)消除非状态变量(称为中间变量);

(4)整理成状态方程和输出方程的标准形式。

【例7.2－1】电路如图7.21所示，激励为us(t)，

响应为i(t)，试写出其状态方程和输出方程。图7.2－1例7.2－1用图

将式(7.2－2)中状态变量的一阶导数放在等式左端，把状态变量和激励放在等式右端，则可写成

若写成矩阵形式，则状态方程为

输出方程为

写成矩阵形式为

【例7.2－2】电路如图7.2－2所示，激励为us(t)，响应为iC(t)，试列写该电路的状态方程和输出方程。图7.2－2例7.2－2用图

解首先选取电容电压uC(t)和电感电流作为状态变量。对接有电容的节点A列写KCL方程，有

对含有电感的回路列写KVL方程，有

将C=0.2F，L=1H代入，得

写成矩阵形式，状态方程为

对节点A应用KCL，得输出方程

即

写成矩阵形式

7.2.2由系统的输入-输出方程建立状态方程

输入-输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述方法，两者之间必然存在一定的联系。由于状态方程更便于使用计算机，有时就需要由输入-输出方程导出状态方程。

【例7.2－3】已知描述系统的微分方程为

试导出其状态方程和输出方程。

解这是一个三阶微分方程，有三个独立状态变量。在微分方程右边不含激励导数的情况下，可把状态变量选取为

将式(7.2－7)最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到等式右边，得

即

根据式(7.2－8)和式(7.2－9)，得状态方程为

写成矩阵形式，状态方程为

对节点A应用KCL，得输出方程

即

写成矩阵形式

7.2.2由系统的输入-输出方程建立状态方程

输入-输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述方法，两者之间必然存在一定的联系。由于状态方程更便于使用计算机，有时就需要由输入-输出方程导出状态方程。

【例7.2－3】已知描述系统的微分方程为

试导出其状态方程和输出方程。

解这是一个三阶微分方程，有三个独立状态变量。在微分方程右边不含激励导数的情况下，可把状态变量选取为

将式(7.2－7)最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到等式右边，得

即

根据式(7.2－8)和式(7.2－9)，得状态方程为

写成矩阵形式，则为

由式(7.2－8)知，输出方程为

写成矩阵形式

【例7.2－4】设某系统的输入-输出方程为三阶微分方程

试导出其状态方程和输出方程。

解此题微分方程左边含有激励的导数项，这种情况我们采用如下方法。

引入中间变量q(t)，令

则有

选取状态变量

将式(7.2－12)最高阶导数项留在等式左边，其余各项移到等式右边，代入状态变量符号，得

于是，写出其状态方程和输出方程为

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为

7.2.3由系统模拟框图或信号流图建立状态方程

根据系统的输入输出或系统函数可以作出系统的模拟框图或信号流图。选取每一个积分器的输出为状态变量，那么，由模拟框图或信号流图就比较容易地导出状态方程和输

出方程。

设已知三阶系统的微分方程为

则该系统的系统函数为

当然，系统函数还可以写成如下形式

或

所以，按式(7.2－15)的三种形式，可分别画出系统的级联、并联和串联模拟框图和信号流图，下面我们逐一进行讨论。

1.级联模拟(卡尔曼型)

级联模拟又称直接模拟。由式(7.2－15a)得其直接模拟如图7.2－3(a)所示，相应的信号流图如图7.2－3(b)所示。

从右向左依次选取3个积分器的输出x1、x2和x3

为状态变量，得到状态方程为

输出方程为

写成矩阵形式，状态方程和输出方程分别为

2.并联模拟

由式(7.2－15b)，系统函数可写为

即可用3个简单的子系统的并联来表示。其中每个简

单子系统的系统函数为

其模拟框图如图7.2－4所示。图7.2－4简单一阶子系统模拟框图

于是整个系统的模拟框图如图7.2－5(a)所示，相应的信号流图如图7.2－5(b)所示。图7.2－5并联模拟

选取每个积分器的输出x1、x2和x3

为状态变量，则有

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为

3.串联模拟

式(7.2－15c)所列系统函数也可写为

由此画出其串联模拟框图如图7.2－6(a)所示，相应的信号流图如图7.2－6(b)所示。图7.2－6串联模拟

选取三个积分器的输出x1、x2和x3

为状态变量，则有

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为

从以上三种情形的讨论可知，对于同一系统，系统函数的表示形式不同，相应地其模拟框图或信号流图不同，状态变量选取不同，系统的状态方程和输出方程也将不同，但它

们所描述的系统的输入输出关系仍是不变的。

当系统的输入和输出都不止一个时，按上述方法仍然能方便地列写出状态方程和输出方程。

【例7.2－5】设某线性非时变系统有两个输入和两个输出，描述该系统的微分方程为

试列写该系统的状态方程和输出方程。

解将原方程组改写成

由此画出其信号流图如图7.2－7所示。图7.2－7例7.2－5用图

选取每个积分器的输出

x1、x2和x3

为状态变量，则有

将式(7.2－19a)代入式(7.2－19c)，消去x1，得

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程

写成矩阵形式为

7.3离散系统状态方程的建立

前面已讲，描述连续系统输入输出关系的数学模型是n阶微分方程，描述离散系统输入输出关系的数学模型是n阶差分方程。与连续系统一样，利用状态变量描述法分析离散系统，首先应建立离散系统状态方程和输出方程。在连续系统中，状态方程和输出方程的标准形式为

类似地，在离散系统中，状态方程和输出方程的标准形式为

式中，x(k)是离散系统的状态矢量，y(k)是输出矢量，f(k)是输入矢量，系数矩阵A、B、C、D均为常量矩阵。x(k+1)是状态矢量x(k)经序号加1的移序后的矢量，而在连续系统中x(t)则是状态矢量

x(t)的一阶导数。

建立离散系统状态方程有多种方法。利用系统模拟框图或信号流图建立状态方程是一种比较实用的方法，其建立过程与连续系统类似。首先，选取离散系统模拟框图(或信号流图)中的延时器输出端信号作为状态变量;然后，在延时器的输入端写出相应的状态方程;

最后，在系统输出端写出输出方程。下面举例说明。

同连续系统一样，离散系统的状态方程和输出方程，也可由差分方程、系统函数、模拟框图等导出，下面举例说明。

【例7.3－1】描述某离散系统的差分方程为

解将差分方程改写为

由此写出该系统的系统函数为

根据H(z)可画出其直接模拟信号流图如图7.3－1所示。图7.3－1直接模拟信号流图

从右到左依次选取三个延时器的输出x1(k)、x2

(k)和x3(k)为状态变量，列出状态方程

输出方程

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为时

【例7.3－2】已知系统的系统函数为

试导出其状态方程和输出方程。

解

H(z)的表达式为部分分式形式，与连续系统一样，可用简单子系统的并联来表示。其中每个简单子系统的系统函数模拟框图如图7.3－2所示。于是整个系统的z域模拟框图和信号流图分别如图7.3－3(a)和(b)所示。图7.3－2简单一阶子系统模拟框图

选取两个延时器的输出x1(k)和x2(k)为状态变量，则有

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为

当离散系统的输入和输出都不止一个时，同样，根据已知条件画出其相应的模拟框图和信号流图，按照上述方法仍然能方便地列写出状态方程和输出方程。

【例7.3－3】设某线性非时变离散系统有两个输入和两个输出，其信号流图如图7.3－4所示，试列写其状态方程和输出方程。图7.3－4例7.3－3用图

解由信号流图7.3－4，选取两个延时器的输出x1(k)和x2(k)为状态变量，则有

写成矩阵形式，状态方程为

输出方程为

7.4连续系统状态方程的复频域解

前面已经讨论了连续系统状态方程和输出方程的建立，接下来的问题是如何求解这些方程。本节讨论状态方程的复频域解。这种方法是利用拉普拉斯变换，把时域状态方程和输出方程转换成复频域代数方程进行求解，然后将结果取拉普拉斯反变换，从而得到状态方程和输出方程的时域解。

如前所述，连续系统状态方程和输出方程标准形式为

式中，状态矢量x(t)、输入矢量f(t)和输出矢量y(t)都是时间的矢量函数。一般地，对于一个n阶线性非时变系统，它有n个状态变量，若有m个输入，r个输出，则系数矩阵A为n×n方阵，B为n×m矩阵，C为r×n矩阵，D为r×m矩阵。

一个矢量函数的拉氏变换仍是一个矢量函数，对式(7.4－1)取拉氏变换，得

式中，X(s)、F(s)和Y(s)分别表示状态矢量x(t)、输入矢量f(t)和输出矢量y(t)的单边拉氏变换，x(0-)表示状态矢量的初始状态。

对式(7.4-2a)移项整理，得

式中，I为n×n单位矩阵。

为方便起见，定义

矩阵Φ(s)称为系统的分解矩阵(ResolventMatrix)，它在状态方程的求解中起着非常重要的作用。这样式(7.4－3)可表示为

这就是状态矢量的复频域解。对上式取拉氏反变换，有

式(7.4－6)即是状态矢量的时域解。式中，第一部分仅由系统的初始状态决定，故为零输入分量;第二部分仅由输入函数决定，故为零状态分量。

接下来求输出方程的复频域解。将式(7.4－5)代入式(7.4－2b)，得

式中，

称为系统函数矩阵。式(7.4－7)是系统输出的复频域解，取其拉氏反变换即得系统输出的时域解为

此外，由式(7.4－5)可知，状态矢量的零输入分量为

对上式取拉氏反变换，可得

式中，

式(7.4－11)说明，零输入系统在t=0-时的状态可通过与矩阵φ(t)相乘而转变到任何t≥0时的状态。由于φ(t)起着从系统的一个状态过渡到另一个状态的联系作用，故称φ

(t)为状态过渡矩阵或状态转移矩阵(StateTransitionMatrix)。

【例7.4－1】已知某连续系统的状态方程和输出方程分别为

其初始状态和输入分别为

试求该系统的状态矢量x(t)和输出矢量y(t)。

对其取拉氏反变换，得系统的状态矢量为

由式(7.4－7)，输出方程的拉氏变换为

对其取拉氏反变换，得系统的输出矢量为

【例7.4－2】已知连续系统的状态方程和输出方程分别为

试求状态转移矩阵φ(t)和冲激响应矩阵h(t)。

解先求分解矩阵，因为

由式(7.4－4)，得

取Φ(s)拉氏反变换，得状态转移矩阵为

根据式(7.4－8)，系统函数矩阵

对其取拉氏反变换，得冲激响应矩阵为

7.5离散系统状态方程的z域解

对于离散系统状态方程和输出方程的求解，可在Z域中进行，即基于Z的变换域求解。如前所述，离散系统状态方程和输出方程的标准形式为

对上式两边取Z变换，得

式中，X(z)、F(z)和Y(z)分别表示状态矢量x(k)、输入矢量f(k)和输出矢量y(k)的单边Z变换，x(0)表示状态矢量的初始状态。

将式(7.5－2a)移项整理，得

式中，I为n×n单位矩阵。

为方便起见，定义

矩阵Φ(z)称为系统的分解矩阵。这时式(7.5－3)可表示为

这就是状态矢量的Z域解。对上式取Z反变换，有

式(7.5－6)即为状态矢量的时域解。

接下来求输出方程的Z域解。将式(7.5－5)代入式(7.5－2b)，得

式中，

称为离散系统的系统函数矩阵。式(7.5－7)是输出矢量的Z域解，对其取Z反变换即得相应的时域解为

此外，由式(7.5－5)可知，状态矢量的零输入分量为

对上式取Z反变换，可得

式中，

式(7.5－11)说明，零输入系统在k=0时的状态可通过与矩阵φ(k)相乘而转变到任意k≥0时的状态，故也称φ(k)为状态过渡矩阵或状态转移矩阵。

【例7.5－1】描述某离散系统的状态方程是

输出方程是

系统输入f(k)=δ(k)，初始状态试求状态过渡矩阵Φ(z)、系统函数矩阵H(z)和输出响应y(k)。

最后求输出响应y

(k)。由式(7.5－7)，有

对上式取Z反变换，得

习题7题7－1图

7．1电路如题7－1图所示