2.2-菲涅耳半波带-菲涅耳衍射

使用菲涅耳—基耳霍伏衍射积分公式计算菲涅耳衍射场十分复杂不易严格求解。

在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作定性或半定量的解释。本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。

光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射一、菲涅耳半波带

令PB0＝r0OSPRB0

B1

B2

B3

r0

r1=r0+λ/2r3=r0+3(λ/2)r2=r0+2(λ/2)φ

rk=r0+k(λ/2)光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射

由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为

/2，即它们的相位差为

，这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带，简称半波带。

二、合振幅的计算

以a1、a2、a3、…分别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅。

P点叠加的合振幅Ak为：光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射比较a1、a2、a3、…的大小。按惠更斯—菲涅耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为：先计算O光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射对球冠的面积微分可得因为rk>>

，可将drk看作相邻半波带间r的差值

/2，ds看作半波带的面积，于是有可见与k无关所以只决定于倾斜因子

K(

k)。光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射O由此可得光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射各半波带在P点的振幅是缓慢的单调下降，近似地有：P点处合振动的振幅为：光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k

，ak

0，则对于给定轴线上的一点P：

即球面波自由传播时，球面波上各次波波源在P点产生的合振动等于第一个半波带在P点产生的振动振幅的一半，强度为它的四分之一。

综合有：光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射各半波带在P点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示。为清楚起见，将各矢量彼此错开，如图

奇数个半波带偶数个半波带矢量a1的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高，从基线指向最末一矢量ak终点即为合振动Ak的振动矢量。三.矢量合成法光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射一、菲涅耳圆孔衍射

将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔1－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。

根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数量有k个。

O光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。

如图，O点为点光源，圆孔半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有k个整数半波带。

O由于h<<r0P光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射又因为由（1）、（2）、（3）式可得OP可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长

，还有点光源到衍射屏距离R都有关。

当Rh、R、

一定时，改变r0，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时暗的变化。

OP光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射P点的合振幅的大小取决于露出的波带数,而波带数又取决于圆孔的位置和大小．如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些点，合振幅较小．如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大值和最小值之间．结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．

光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射二、菲涅耳圆屏衍射O波面SRB0

r0

rk=r0+k(λ/2)Rh

P当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时，由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。

如图光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。

这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:因m

，所以

am

0O波面SRB0

r0

rk=r0+k(λ/2)Rh

P因此当k不是很大时，有

即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。此亮点称为泊松（Possion1781—1840）亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。

1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导出圆盘轴线上应是亮点。

后来由阿拉果在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯—菲涅耳原理的正确性。

光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射泊松（Poisson1781－1840）法国数学家。1812年当选为巴黎科学院院士。

泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。

阿拉果（Arago1786－1853）

法国科学家三、菲涅耳波带片若只允许序数为奇数的半波带透光，则P点的合振幅为:

若只允许序数为偶数的半波带透光，则P点的合振幅为

:制作一种屏，只让奇数或偶数半波带透光，此时P点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。

1.波带片光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射2.制作①照相②摄取牛顿环③镀膜光刻3.形状

①同心环带②长条形③方形光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射OP若视o为物点，p为像点，从呈像角度看：由得若令则有——波带片的焦距公式4.焦距光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射从焦距公式可见，波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径Rhk,半波带的数目k，和光波的波长

。

当平行光照射R

时，有波带片与薄透镜相似，但有许多虚焦点，分别在±ƒˊ∕3，±ƒˊ∕5，±ƒˊ∕7，……光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射5.波带片的优点

①

制作省事

②“.”

“+”③面积大、轻便、可折叠

④消色差四、直线传播与衍射现象的关系光学

§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中