平面向量线性运算经典习题及平面向量习题整理

MathwangPAGEPAGE1平面向量线性运算经典习题1.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,=4,|则||=()A.8B.4C.2D.12.已知△ABC中,点D在BC边上,且则r+s的值是()C.-3D.03.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ24.已知O､A､B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于()5.设D､E､F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,则与A.反向平行 B.同向平行C.不平行 D.无法判断6.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,(λ,μ∈R),那么A、B、C三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=17.设，而是一非零向量，则下列各结论：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①③8.若化简（）A． B． C． D．以上都不对9.在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于 （）A． B． C． D．10.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△ABC的形状为________.11.如图,平面内有三个向量､､其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λμ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.12.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若则m+n的值为________.13．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R，若a，b起点相同，t为何值时，a，tb,eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在一条直线上？．14.设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.15.如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC边上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP:PM的值.向量习题分类精选向量的模点评：向量模的处理思路：几何法，平方，坐标(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(B)A.eq\r(2)－1 B．1C.eq\r(2) D．2已知向量a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(C)A．a⊥e B．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)(16上期中)若向量满足,则在方向上的投影的最大值是________.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(A)A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（D）A．B．C．D．【2013湖南6】已知是单位向量，.若向量满足(A)A．B．C．D．【2015湖南理2】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（B）A.6B.7C.8D.9【2013重庆，理10】在平面上，，,.若，则的取值范围是（D）A、B、C、D、【2014湖南16】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________.【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则___．__．__．，，.【2013高考重庆理第10题】在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是(D)．A．B．C．D．已知中，，点是所在平面内一点.若，且，则.（2017届武汉市二月调考.理11）已知为两个非零向量，且，，则的最大值为（D）A．B．C．D．平面向量基本定理，基底转化，双参数问题常见处理方法:线性运算（加、减、数乘）直接转化；待定系数法；方程组法。【2013年.浙江卷.理17】设为单位向量，非零向量，x，y∈R.若的夹角为，则的最大值等于__________．2如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝meq\o(AM,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝neq\o(AN,\s\up16(→))，则m＋n的值为________．2点评：三点共线经常作为隐含信息出现，不容易察觉。在边长为1的正中，向量，且则的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取为基底.思路2.坐标法，关键是D,E两点坐标表示.如图所示，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up16(→))、eq\o(OB,\s\up16(→))、eq\o(OC,\s\up16(→))，其中eq\o(OA,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up16(→))与eq\o(OC,\s\up16(→))的夹角为30°.且|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．λ＋μ＝6.给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up16(→))和eq\o(OB,\s\up16(→))，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq\x\to(AB)上变动．若eq\o(OC,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．2点评：思路1.利用,得，基本不等式求得（有漏洞：x、y可能为负数！）.思路2.坐标法，设，得求解.思路3.几何法，设AB交OC于T，，由A、T、B三点共线得.(2019届高一3月考16)在扇形中，点为弧上的动点，点可与点或重合，若，则的最大值为。(2017届武汉四月调考理科16)已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为.在中，已知,,，为线段上的一点，且则的最大值为（C）A． B． C． D．点评：由条件可得，CA=3，CB=4.由三点共线可得，再消元或凑基本不等式求解.【2014天津，理8】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（C）（A）（B）（C）（D）【2013山东，理15】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为__________．如右图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是__________，当时，的取值范围是__________.向量数量积、（三点）共线定理、投影常见处理方法:定义，几何意义（投影），坐标，向量转化（基底）在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB边上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，则实数λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.已知中，，若是边上的动点，求的取值范围.点评：思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.思路2.坐标法，以BC为x轴.【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为__________．【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（A）A．13B．15C．19D．21【2014江苏，理12】如图在平行四边形中，已知，，则的值是.22AADCBP(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AF,\s\up16(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BF,\s\up16(→))的值是________．eq\r(2)已知中，，若是边上的动点，求的取值范围.点评：思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.思路2.坐标法，以BC为x轴.在边长为1的正中，向量，且则的最大值为________.点评：思路1.基底法.可选取为基底.思路2.坐标法，关键是D,E两点坐标表示.(16上期中)如图所示，在中，，且，则________.点评：思路1.基底法.可选取为基底.思路2.坐标法，关键是C点坐标表示.思路3.几何法，过C作AD的垂线，运用投影意义.三角形形状、面积问题【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（D）（A）（B）（C）（D）已知中，，是内部一点，且，则________.（余弦定理，面积公式，面积和，三项和平方公式）已知的面积为，是三角形的某个内角，是平面内一点，且满足，则下列判断正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为【2014山东.理12】在中，已知，当时，的面积为________.(2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(C)．A．b＝a3B．C．D．在四边形中，，，则四边形的面积为__________.的三边满足且，则的形状是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形设P是ΔABC所在平面内的一点，且，则ΔPAB与ΔABC的面积之比为(C)A.B.C.D.【2013年.浙江卷.理7】设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则(D)．A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，λ2＝eq\f(S△PCA,S△ABC)，λ3＝eq\f(S△PAB,S△ABC)，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G是△ABC的重心，f(Q)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6))，则(A)A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合三角形“三线”、“四心”在中，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖的图形的面积为（A）A.B.C.D.已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足.则P的轨迹一定通过的(C)A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点在△OAB中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，OD是AB边上的高，若eq\o(AD,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，则实数λ等于(B)A.eq\f(a·b－a,|a－b|2) B.eq\f(a·a－b,|a－b|2)C.eq\f(a·b－a,|a－b|) D.eq\f(a·a－b,|a－b|)已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（B）A.B.3C.4D.三角形“四心”知识点汇总重心G垂心H外心O内心I示意图定义三角形三条中线的交点叫三角形的重心。三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。性质(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。(2)若H在△ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。创新题、知识点综合(2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量eq\o(OP,\s\up16(→))绕点O按逆时针方向旋转eq\f(3π,4)后得向量eq\o(OQ,\s\up16(→))，则点Q的坐标是(A)A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)点评：思路1.三角函数的一般定义及和差公式.思路2.向量夹角公式.【2014年.浙江卷.理8】记，，设为平面向量，则（D）A.B.C.D.【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（A）（A）1(B)2(C)4(D)8【2014上海,理17】已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（B）（A)无论k，如何，总是无解（B)无论k，如何，总有唯一解（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解【20