北师大版初中数学八年级下册全册教学课件

第一章三角形的证明1.1等腰三角形（第1课时）1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点)3.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点）学习目标问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架新课导入问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.

思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？问题3

：

在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全（AAS）.问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；

(2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.1.全等三角形的判定和性质知识讲解已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.FEDCBA定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.

根据全等三角形的定义，我们可以得到：

全等三角形的对应边相等，对应角相等.总结归纳问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.2.等腰三角形的性质及其推论等腰三角形的两个底角相等.ABC已知：△ABC中，AB=AC,求证：∠B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：

作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD证明：

作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中想一想：由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？

解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=90°，即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.ABCD定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.总结归纳ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在△ABC中,ABCD例1

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.例题ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）设∠A=x°,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°,ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例2

如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：

AF⊥BC.解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明．图①图②ABDGECABDECF证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.图①图②ABDGECABDECF1.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；2.等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；3.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°跟踪训练等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.

全等三角形的对应边相等，对应角相等.课堂小结1、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.3、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.40°35°，35°70°,40°

或

55°,55°4、一个等腰三角形的周长是13cm，其中一条边是3cm，那么腰长是_________5cm当堂检测谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.1等腰三角形第2课时等边三角形的性质1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;(重点)2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)学习目标在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？新课导入已知：如图△ABC中,AB=AC.BD,CE是△ABC的角平分线。ACB证明:等腰三角形两底角的角平分线相等求证：BD=CEDE证明：∴∠ABC＝∠ACB∵AB=AC∵BD,CE是△ABC的角平分线。∴∠1＝∠2在△BCD和△CBE中

∠ABC＝∠ACB∠1＝∠2

BC＝CB

∴△BCD≌△CBE(ASA)

∴BD＝CE12合作探究ACBDE(1)等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？已知：如图,在△ABC中，

AB=AC=BC．求证：∠A=∠B=∠C=60°．ACB证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角).同理∠A=∠B．又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A=∠B=∠C=60°．定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.合作探究BCDAE例.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°,∠DBA=30°.∵

BD=BE，∴∠BDE=(180°－∠DBA)÷2=(180°－30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.例题讲解ACBDE1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是

cm.12随堂训练2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.证明：∵△ACM和△BCN都为等边三角形，∴∠1＝∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACN＝∠MCB.∵CA＝CM，CB＝CN，∴△CAN≌△CMB(SAS)，∴AN＝BM.等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.课堂小结1.等腰三角形的一边长为5,一边长为4，则它的周长为__________.2.等腰三角形的一个角为800，则另两个角的度数是______________14或13800,200或500,500当堂检测ACBDE3.求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等F4.已知，△ABC，AB=AC,D是底边上一点，D到两腰的距离分别是DE，DF;当D在什么位置时，DE=DF?并证明。谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.1等腰三角形（第3课时）1.学会证明等角对等边进行等腰三角形的判定;(重点)

2.体会反证法的含义并会用反证法进行证明.（难点）学习目标等腰三角形有哪些性质？1.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”）ABC∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)知识回顾2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）ABCD∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，

AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三线合一）

前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．

分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.比如作BC的中线，或作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．ABC合作探究定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)等腰三角形的判定定理：归纳总结例2.已知：如图，AB=DC,BD=CA,求证：△AED是等腰三角形。ABCDE证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）∴AE=DE(等角对等边）∴△AED是等腰三角形。例题讲解如图，在某次海上巡逻中，一艘巡逻舰在A处测得海岛B在北偏东49°方向上，上午8点该巡逻舰从A处出发，以30海里/时的速度向正东航行，上午9点30分到达C处，此时测得海岛B在北偏东8°，求此时巡逻舰与海岛B的距离。解：∵∠BAC=90°-∠MAB=41°,∠BCN=90°-∠PCB=82°,∵∠B=∠BCN-∠BAC=41°,∴∠B=∠BAC,∴BC=AC=30×1.5=45(海里)答：此时巡逻舰与海岛B的距离为45海里.跟踪训练

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.ABC知识讲解

我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC。你能理解他的推理过程吗?ABC

小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.

假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．这个推理过程怎样写呢？例3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90

°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。这与三角形内角和定理矛盾，因此，“∠A和∠B是直角”的假设不成立。所以，一个三角形中不能有两个角是直角。例题讲解1.假设:先假设命题的结论不成立；2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,

从而肯定命题的结论正确。用反证法证题的一般步骤：归纳总结1.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?108°36°90°随堂训练2.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO③BE=CD④OB=OC(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.BAEDCO①③;①④;②③;②④3.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°证明:假设∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,

且都大于60°,

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°;这与三角形的内角和是180定理矛盾∴假设不成立∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.关于相等与不等关系（>、=、<），我们有如下的否定形式：大于反义：小于或等于都大于反义：至少有一个不大于小于反义：大于或等于都小于反义：至少有一个不小于1.等腰三角形的判定：（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）.2.反证法.课堂小结谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.1等腰三角形（第4课时）1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)学习目标观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？新课导入思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？一个三角形满足什么条件就是等边三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.1.等边三角形的判定知识讲解ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：

AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：若AB=AC,∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结例1

如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？例题变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE

如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,

求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形∴△ADE是等边三角形.

又∵∠A=60°.变式训练

操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？300300300300能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.

由此你想到，在直角三角形中,300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？3003002.含30°角的直角三角形的性质已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题猜想验证30°30°

∵∠ACB=90°,(已知)∴∠ACD=90°，(平角意义)在△ABC与△ADC中，BC=DC，（作图）

∠ACB=∠ACD，（已证）

AC=AC，（公共边）

∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BC=BD=AB．(等式性质)30°ABCD证明:

延长BC至D,使CD=BC,连接AD，定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30°推论：例2如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长.解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∵∠ADC=90°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）例3

已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=DACB30°证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，

∴BD=∴BD=1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA拓展提升ACBMNEF2.已知：如图，C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形。求证：(1)AN=BM(2)△EFC是等边三角形12345

1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.92.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=_____;BC=_______．ABC330°6当堂检测3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明:∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=

BD．又∵BC=

AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=AB．求证：∠BAC=30°．CBAD1.等边三角形的判定:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3.数学方法：分类的思想．课堂小结谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.2直角三角形（第1课时）1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法．(重点)2.结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．（难点）学习目标1.如图，在高为２米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯长度约为多米？30°２米2.我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？新课导入知识回顾3.直角三角形的边有哪些性质？一般性质：直角三角形的边具有一般三角形的所有性质.特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.1.直角三角形的角有哪些性质？2.直角三角形的边有哪些性质？3.如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？思考阅读课本14-18页，回答问题：1.什么是直角三角形？2.直角三角形的角有哪些性质？反之，任意一个三角形的两锐角具备这种关系就是直角三角形吗？请说明理由。3.直角三角形的边有哪些性质？勾股定理内容是什么？反之，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由。4.逆命题、逆定理的概念是什么？两个互逆命题、互逆定理的关系是什么？真命题的逆命题是真命题吗？定理的逆命题也是定理吗？勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理知识讲解1.勾股定理cabcabcabcab∵(a+b)2=

c2+4•ab/2a2+2ab+b2=

c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4•ab/2∵c2=4•ab/2+(b-a)2

c2=2ab+b2-2ab+a2

c2=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为也可以表示为c24•ab/2+(b-a)2ca

bca

bca

b

cba勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。反过来：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？请你根据条件和结论写出已知和求证.已知：如图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.ABC图（1）ABC图（1）A′B′C′图（2）证明：如图（2）作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°，A′B′=AB,A′C′=AC,A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B′C′2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A==∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).即，△ABC是直角三角形.定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三形是直角三角形。两个定理的条件和结论有什么样的关系？议一议观察如果两个角是对顶角，那么他们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角。一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等。如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.2.互逆命题你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?思考：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0,b=0.

提问：一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.你还能举出一些例子吗?想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.3.互逆定理

判断正误：（1）互逆命题一定是互逆定理；（2）互逆定理一定是互逆命题.我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“两直线平行，内错角相等与“内错角相等，两直线平行”等.请你再举出一些互逆定理的例子.1.写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(2)矩形是正方形；(3)如果x2﹥0，那么x﹥0;(4)直角都相等.当堂检测2.已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够组成直角三角形的是（）(A)3∶4∶6(B)5∶12∶13(C)1∶2∶4(4)1∶3∶5B3.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC4.已知：在△ABC中，∠C=900，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AC2=AE2-BE2解后反思证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。互逆命题定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三形是直角三角形。定理：直角三角形两锐角互余.互逆定理课堂小结谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.2直角三角形（第2课时）1.会证明直角三角形全等的判定定理；（难点）2.会用判定定理（HL）解决有关问题。（重点）学习目标1、判定一般三角形全等的条件有哪几种？SSS、SAS、ASA、AAS新课导入知识回顾2、判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（）里填写理由；如果不全等，在（）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（）（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′（）（3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′（）（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′（）ASASAS×？1、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?证明:

这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:ABCA′B′C′A′B′C′●●●(1)(2)(3)由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.合作探究做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a=4cm，c=5cm（a<c），直角α

.求作：Rt△ABC，使∠C=∠

α

，BC=a，AB=c.

2、如果其中一组等边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等吗？.（1）作∠MCN=∠α=90°（2）在射线CM上截取CB=a.（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN与点A.（4）连接AB，得到Rt△ABC.3、观察对比同桌作出的三角形是否全等？4、把你们所作的三角形剪下来重叠在一起看是否重合？1、在上面的做一做中，如果分别取其他长度，且满足（a<c），那么我们刚获得的结论还成立吗？2、由此你是否能发现判定直角三角形全等的一种“特有”方法？请尝试用规范数学语言概括你的发现。（学生通过小组讨论或交流）得出定理：3、如何证明它的正确性呢？知识讲解证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,AB=A′B′求证：△ABC≌△A′B′C′.ABCA′B′C′斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等简述为：“斜边、直角边”或“HL”几何语言:在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900∵BC=B′C′,AB=A′B′

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）ABCA′B′C′

例

如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠B+∠F=90°.1.判断下列命题的真假,并说明理由:两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两直角边对应相等的两个直角三角形全等;一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.假真真真跟踪训练2、如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明理由。解：相等。根据题意可知，∠AOC=∠AOB=90°，AB=AC,AO=AO∴Rt△AOB≌Rt△AOC(HL)∴OB=OC(全等三角形对应边相等)直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”灵活运用各种方法证明直角三角形全等“SSS”课堂小结1、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵D是△ABC的BC边的中点，∴BD=CD.∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠1=∠2=90°.∵BD=CD,DE=DF，∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.12当堂检测2、已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD.证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠1=∠2=90°.∵AB=CD,DE=BF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF.(2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠A=∠C，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)123.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ABC≌△BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线（第1课时）1.学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。（重点）

2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式。（难点）

学习目标1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=_____.2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为_______.730°新课导入知识回顾

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ABC情景导入我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?

知识讲解线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点.求证：PA=PB．ACBPMN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）；∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．PAB∟温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.文字语言：符号语言：

例1如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？PA=PBAC=BC你能写出这个定理的逆命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．线段垂直平分线的性质定理的逆定理证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，

∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．BPAC性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．ACBP.（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.∵C为AB的中点，∴AC=BC.∵PA=PB,PC=PC，∴△APC≌△BPC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=90°，∴PC⊥AB，即P在AB的垂直平分线上.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).ABP温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=

cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=

°．EDABC760随堂训练2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵△BCE的周长等于50，∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，∴AC+BC=50.∵AC=27，∴BC=23.

比一比：你的写作过程完整吗？3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.

求证：PB=PC.PBDCA

证明：∵AB=AC，∴A在线段BC的垂直平分线上.∵BD=CD，∴D在线段BC的垂直平分线上.∴AD是线段BC的垂直平分线.∵P是AD上一点，∴PB=PC.1.线段垂直平分线的定理及证明2.线段垂直平分线的逆定理及证明3.两个定理之间的区别与联系课堂小结谢谢大家第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线（第2课时）第一章

三角形的证明学习目标1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。（重点）2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。（难点）已知:线段AB,（如图）.求作:线段AB的垂直平分线.

用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCD2.作直线CD.

则直线CD就是线段AB的垂直平分线...作法：知识回顾例2求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.ABCP证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即边AC的垂直平分线经过点P.知识讲解ABCPabc定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC几何语言分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.合作探究锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；

钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。1.已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?2.已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？3.已知底边及底边上的高,用尺规作等腰三角形.例3已知一个等腰三角形的底边和底边上的高，求作这个等腰三角形。ha已知：线段a、h

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。例题讲解已知：线段a、h。求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。作法：NMCBhaAD1．作线段BC=a；2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；3．在直线MN上作线段DA,使DA=h；4．连接AB、AC.△ABC为所求的等腰三角形。P●m做一做已知直线l和l上一点P,利用尺规作l的垂线,使它经过点P。如果点P在直线外呢？交流一下。议一议合作探究1.已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出_____个三角形,所作出的三角形___都全等.2.已知等腰三角形的底及底边上的高,能用尺规作出等腰三角形____个无数不两当堂检测3.已知线段a，求作以a为底，以a为高的等腰三角形。这个等腰三角形有什么特征?4.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC

求证：点O在BC的垂直平分线上.5.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACB D.以上结论均不对6.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形BC8.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的______________上．

9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为___________无数垂直平分线A20°或70°1.定理:三角形三条边的垂直平分线____________________,并且这一点到__________________的距离相等.相交于一点三个顶点2.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；

钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。课堂小结谢谢大家第一章三角形的证明1.4角平分线（第1课时）第一章

三角形的证明学习目标1、会证明角平分线的性质定理及逆定理；（重点）2、会运用角平分线的性质定理及逆定理解决有关的数学问题.（难点）你能利用尺规作出角平分线吗?你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等怎么证明这一结论。复习导入已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.OCB1A2PDE合作探究1.角平分线的性质你会证明吗？分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，如何证明两三角形全等呢？OCB1A2PDE注意:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.OCB1A2PDE∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°∵∠1=∠2,OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS)∴PD=PE∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).OCB1A2PDE几何语言

你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?

逆命题

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

它是真命题吗?如果是.请你证明它.2.角平分线的判定合作探究已知:如图所示,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB

∴△POD和△POE都是直角三角形

∵PD=PE,OP=OP

∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)

∴∠POD=∠POE

∴OC是∠AOB的平分线

逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO例1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.例题讲解已知:如图,点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.且PD=PE,求证:OP平分∠AOB.OCB1A2PDE合作探究1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?你能说出结论并能证明它吗？EDABCF跟踪训练2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).A区1.角平分线性质定理2.符号表示∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E∴PD=PE3.逆定理4.符号表示∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.OCB1A2PDE课堂小结1．角平分线上的点到______________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．这个角的两边这个角的平分线上2．如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_________.30°当堂检测3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF谢谢大家第一章三角形的证明第一章三角形的证明1.4角平分线（第2课时）1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）学习目标在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC情景导入活动1

分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点.知识讲解活动2

分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论：三角形三个角的平分线相交于一点.

怎样证明这个结论呢?合作探究点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？A

B

C

P

F

H

DEIG已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，(2)求证:AB=AC+CD.EDABC（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.MENABCPOD例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.12解：连接OCMENABCPOD(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.例3

如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.

1、已知：OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____5AOEBPC跟踪训练2、

已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°，∠B=40°，AD平分

∠CAB交BC于D点，DE⊥AB于E，则∠CAD=________25°3、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝P