时间序列分析 课件 第二章 ARMA模型

1第二章ARMA模型

一、概述（一）模型引进多元线性回归自回归移动平均模型简单平均：序列平稳围绕均值波动

==

==2移动平均：近期数据对预测的影响更重要

加进新数据，则删除远离现在的数据

==

==T的作用：平滑数据T的取值：自然数

数值大小对结果的影响

3=+（）

=+

以均值替代有

特点：利用误差修正，调整前期预测值

跟踪数据变化时间序列可以用过去的误差项表出

=++……++

4（二）方法性工具1.自相关函数

1）

自相关含义时间序列诸项之间的简单相关

2）

自相关系数计算公式式中：n为样本数据个数；k为滞后期；

为样本数据平均值。5自相关系数与简单相关系数一样，取值范围为[-1,+1]。其绝对值越接近于1，表明自相关程度越高。

最大滞后阶数k取、、，n为观测数据的个数。

例2.1

3）

自相关系数的抽样分布

完全随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0为均值，

为标准差的正态分布。对于给定的概率F（t）可以构成一个置信区间

时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则可断定其为完全随机的序列。不同的样本容量，可以构成不同的随机区间。将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，被称作自相关分析图。它可以分析时序的特性以及识别时序中存在的模型。82.偏自相关

含义：时间序列，在给定了，，……，条件下，与之间的条件相关。

偏自相关系数：

9

计算公式其中，

取值同自相关系数，在正负1之间

例2.2

10

二、时序特性的分析

1.随机性的测定

若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。

测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。

经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。11纯随机序列的自相关图非纯随机序列的自相关图12

二、时序特性的分析

1.随机性的测定

若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。

测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。

经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。132.时序的平稳性（1）平稳的含义和判定

描述性定义：如果一个时间序列的统计特征不随时间推移而变化，即满足下面两个条件：

对于任意的时间t，其均值恒为一常数；

对于任意的时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关,则被称为平稳时间序列。

自相关的特点：自相关系数在K等于2或3后迅速趋于零。14平稳时间序列曲线图15平稳时序自相关分析图非平稳时间序列曲线图非平稳时序自相关分析曲线图非平稳时序自相关分析曲线图19

（2）时序趋势的消除

非平稳性能够被消除的时间序列称为齐次非平稳时间序列。

一阶差分（逐期、短差）二阶差分▽Yt=Yt-Yt-1(t＞1)▽(▽Yt)=▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2(t＞2)20

d阶差分

(t>d)引进后移算子B，记，表示，以此类推，进行d阶差分可表示为

，即有(t>d)

3.时序的季节性识别1）含义：季节性是指时间序列在某一固定时间间隔上，重复出现前面的某种特性。这种规律通常由于季节变化所引起，称具有这种特性的时间序列为季节性序列。时间序列的季节周期常用的时间单位是月、季。2）识别：自相关系数与0的显著性差异查看时滞k=12，24，36，···时的自相关系数；k=4，8，12，···时的自相关系数。

当序列有较强趋势时，其自相关系数常表现出趋势性季节性会被掩盖，趋势去除后方可通过自相关系数识别。

22汗衫背心零售量时序图23汗衫背心零售量自相关分析图24商品零售额曲线图25汗衫背心零售量自相关分析图26季节性消除：时序的季节性也可以通过差分的方法加以消除。注意差分步长一阶季节差分（月度）二阶季节差分

D阶差分

t＞Ds引进后移算子B，也可以写成

t>Ds

示例商品零售额序列季节性识别

28一阶逐期差分自相关分析图图29季节差分后自相关分析图图

三、ARMA模型及其改进

（一）ARMA模型

1.自回归模型

AR（p）模型的一般形式引进自回归算子模型可以写成

=

模型参数约束条件=0的所有根都在单位园外。

称为AR（p）特征多项式，

是特征多项式的系数，B的值是特征多项式的根。

32AR(p)序列的自相关和偏自相关

：拖尾性：33：截尾性

342.移动平均模型

MA(q)

模型形式

引进移动平均算子模型可以写成

=35

MA(q)序列的自相关和偏自相关

截尾性：

36

：拖尾性3.AR与MA间的对偶性

1）相互表出AR（P）可以用既往的有限加权和表出可以用既往的无限加权和表出

==MA(q)==

可以用既往的有限加权和表出可以用既往的无限加权和表出382）相关函数

拖尾和截尾3）平稳与可逆

若一个序列可以用无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，称为具有可逆性，也就是可逆的。AR有条件平稳，MA无条件平稳；AR无条件可逆，MA有条件可逆。39

3.自回归移动平均混合模型

ARMA(p,q)

1）模型形式引进后移算子可以写为

40

2）ARMA(p,q)序列的自相关和偏自相关

：拖尾性：拖尾性

41

（二）

ARMA模型的改进

序列经过某些处理后，可能生成一个平稳的新序列，从而可用ARMA（p，q）模型加以描述。

逐期差分平稳

季节差分平稳

逐期差分再季节差分平稳

改进的自回归—求和—移动平均模型

421.

ARIMA（p，d，q）模型

序列仅存在趋势，且经过d阶逐期差分可以平稳模型形式或ARIMA（1，1，1）也可以写成

432.模型

序列仅存在季节变动而没有明显的趋势，且通过D阶季节差分季节变化基本消除

模型形式其中，是季节自回归算子，P是季节自回归阶数；是季节移动平均算子，Q是季节移动平均阶数；D是季节差分阶数；s是季节周期长度。也可以写成

ARIMA(1,1,1)444

3.

模型

通过逐期差分和季阶差分序列可以平稳模型形式或ARIMA(1,1,1)(1,1,1)4也可以写成

45

四、随机时序模型的建立

（一）模型识别1.差分化识别差分阶数

d，D

通常d和D取0,1,2，需要取更高阶的情况，需慎重。46商品零售额一阶逐期差分序列d=147商品零售额一阶逐期差分一阶季节差分序列D=1482.选择p、q

可以借用AR模型、MA模型的自相关、偏自相关系数的特点，为平稳序列选出备选的阶数

493.选择P，Q

含有季节变化的时间序列，在模型识别时，除考虑上面两点外，还须考虑季节自回归和季节移动平均的阶数P、Q。

识别的基本原则和方法与识别p、q相同，只是在观察自相关及偏自相关函数时，只分析k=12（或4），24（或8）······时的情况。50

续前面示例d=1,D=1,,组合备选模型

p=0或1，q=0或1，P=2，Q=1514.定阶的最小信息准则越小越好

（1）AIC准则式中，L是对数似然函数值，n是观测值数目，k是被估计的参数个数。

（2）SC准则符号意义同上。

（3）HQC准则符号意义同前。

（二）参数估计初估计精估计（三）模型检验

1.直观判断残差序列完全随机的判定残差序列的自相关系数是否落入随机区间

残差序列的自相关与0无显著不同，或说基本落入随机区间，残差序列为白噪声即完全随机。残差序列的自相关有显著不为0的，或说有较多的落入随机区间外，残差序列不是白噪声即非随机。

53

适合模型残差的自相关分析图不适合模型残差的自相关分析图542.检验

原假设：残差序列相互独立

检验统计量

服从（

m–p–q）分布。其中，m是最大时滞数，n为计算（e）的数据个数。

55

3.LM检验

检验是将有限制和无限制模型进行比较作出判断。有限制条件的模型记作R，可以写成AR(p)的形式无限制条件模型记作UR，可以写成AR(p+r)的形式或ARMA(p,r)原假设：残差序列不存在自相关，即AR(p)模型合理检验统计量LM其服从自由度为r的

分布，r是UR模型与R模型待估计参数个数之差。是UR模型的拟合优度。

例5.1

56

五、时序模型预测

1.最小方差预测：使时间序列未来值的预测误差尽可能小预测误差（L）=-（L）

的方差

E（（L）=E（-（L）

应达到最小。57也就是要使选择的时间序列L步预测值（L）与时间序列实际值之间距离比其它任何一点都短。

2.预测值的计算1）AR序列的预测递推

……582）MA序列的预测递推

MA（1）序列预测

若模型为在t=k时刻进行一步预测有进行二步预测有由于k+1时刻没有到来，故无法得到k+1时刻残差的估计值。对于MA（1）序列只能进行外推一步的预测。类似地MA（q）序列只能进行q步预测。

593.预测的置信限60示例我国工业总产值预测计算机实现1.建立工作文件

File/New/Workfile月度数据，点选M，输入起始时间和终止时间1990：011997：122.读入数据

File/Import/Excel找到文件存储路径（如A盘或D盘），然后在对话框中，输入变量的个数1，点击OK。613.绘制时序图

Quick/Graph/LineGraph/y观察序列的特点4.选择模型季节乘法模型

ARIMA模型保留一年数据，作为试预测用。在窗口输入

SMPL1990：011996：1262（1）季节性交乘趋向模型输入时间变量t（可调入，也可直接输入）建立趋势方程：

LSYCt在回归结果窗口，点选Forcast,命名预测值序列，例如为YF，则YF为各期趋势值。求各期季节比：

GENRV=Y/YF

63求理论季节指数：

Quick/SeriesStatistics/SeasonalAdjustment在对话框中点选乘法，并为因子命名，如S，点击OK，屏幕出现结果，S同时保存在内存中。求估计值：

GENRYT=YF*S若记住参数（截距、斜率）的数值，也可以直接定义

GENRYT=（1374.9597+35.5915*t）*S64模型分析评价：绘制时间序列实际值与预测值曲线图

Quick/Graph/LineGraph/YYT

计算MAPEGENRAPE=ABS（（Y-YT）/Y）

Quick/SeriesStatistics/HistogramandStats

观察均值Mean，乘以100则为MAPE。

65试预测：扩展样本期SMPL1990：011997：12GENRYT=（1374.9597+35.5915*t）*S注意：时间变量是否已经输入完整分析试预测的结果，与实际值比较。绘制曲线图计算MAPE66（2）ARIMA模型

1）时间序列特性分析：Quick/SeriesStatistics/Correlogram观察时序自相关，决定处理方式。一阶逐期差分：

GENRIY=Y-Y（-1）观察一阶逐期差分序列自相关Quick/SeriesStatistics/Correlogram/IY67一阶季节差分：

GENRSIY=IY-IY（-12）观察一阶季节差分后序列自相关Quick/SeriesStatistics/Correlogram/SIY2）模型识别

d,D的确定：进行一阶逐期差分一阶季节差分后序列平稳，故