苏教数学电子题库 第章（一）知能优化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·（b－c）＝a·b－a·c；②（a·b)·c＝a·（b·c）;③（a－b）2＝｜a｜2－2|a|｜b｜＋｜b｜2；④若a·b＝0，则a＝0,b＝0.其中正确的有__________个．解析：由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确;由（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2｜a||b｜cosθ＋|b｜2知③不正确;对于④，∵a·b＝｜a||b|·cosθ＝0，∴|a|＝0或|b｜＝0或cosθ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确．答案：12．已知a,b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b夹角为__________．解析：∵cosθ＝eq\f（a·b，｜a||b｜)＝eq\f(2，1×4)＝eq\f(1，2),∴θ＝eq\f（π,3）。答案:eq\f（π，3)3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b｜＝______。解析：|a＋b｜＝eq\r（a＋b2）＝eq\r(a2＋2a·b＋b2）＝eq\r（42＋2×4×3×cos60°＋32）＝eq\r(37）.答案：eq\r(37)4．在边长为eq\r(2）的等边三角形ABC中，设eq\o（AB，\s\up6(→））＝c,eq\o(BC，\s\up6(→)）＝a，eq\o(CA,\s\up6（→）)＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.解析：a·b＋b·c＋c·a＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos120°×3＝－3。答案:－3一、填空题1．已知|a|＝3，｜b|＝4，a、b的夹角为120°,则a·b＝________。解析：a·b＝|a|｜b｜cos＝120°＝3×4×cos120°＝－6.答案：－62．若｜a｜＝1，｜b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为__________．解析：设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b）·a＝0,∴a2＋a·b＝0,∴｜a|2＋｜a｜｜b｜cosθ＝0，∴1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－eq\f(1,2），又θ∈［0°,180°],∴θ＝120°.答案：120°3．设向量a,b,c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，｜a|＝1，|b|＝2，则｜c｜2＝__________.解析：∵a＋b＋c＝0,∴c＝－(a＋b）．又∵a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5。答案：54．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)①eq\o(P1P2，\s\up6(→）)·eq\o（P1P3，\s\up6（→)）；②eq\o(P1P2，\s\up6（→））·eq\o(P1P4，\s\up6（→）)；③eq\o（P1P2,\s\up6(→））·eq\o(P1P5，\s\up6(→））;④eq\o（P1P2，\s\up6(→)）·eq\o(P1P6，\s\up6(→)）.解析：利用向量的数量积的定义逐项计算．根据正六边形的几何性质，得eq\o(P1P2,\s\up6(→））·eq\o(P1P5，\s\up6（→））＝0，eq\o（P1P2，\s\up6（→））·eq\o(P1P6,\s\up6（→））＜0，eq\o(P1P2,\s\up6(→）)·eq\o(P1P3,\s\up6(→））＝｜eq\o(P1P2,\s\up6(→）)|·eq\r（3)｜eq\o(P1P2,\s\up6（→））｜·coseq\f（π，6）＝eq\f(3,2)|eq\o(P1P2，\s\up6（→））｜2，eq\o(P1P2，\s\up6(→））·eq\o（P1P4，\s\up6（→））＝|eq\o（P1P2,\s\up6(→)）|·2｜eq\o(P1P2,\s\up6（→）)|·coseq\f（π，3）＝|P1P2｜2，经比较可知eq\o（P1P2,\s\up6(→））·eq\o（P1P3,\s\up6（→）)最大．答案：①5．已知非零向量a,b，若（a＋2b)⊥(a－2b),则eq\f(|a｜，|b|)＝__________.解析：∵(a＋2b)⊥(a－2b),∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，∴a2＝4b2，∴｜a|＝2｜b|，∴eq\f(｜a|，|b｜)＝2。答案：26．点O是△ABC所在平面上一点，且满足eq\o（OA,\s\up6(→)）·eq\o（OB,\s\up6(→））＝eq\o(OB，\s\up6(→)）·eq\o（OC,\s\up6(→）)＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o（OA,\s\up6（→)），则点O是△ABC的__________．解析：∵eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o（OB,\s\up6（→）)＝eq\o(OB,\s\up6（→）)·eq\o(OC，\s\up6(→））＝eq\o（OC，\s\up6(→)）·eq\o(OA，\s\up6（→)），∴eq\o(OB，\s\up6（→））·(eq\o（OC,\s\up6（→）)－eq\o（OA,\s\up6（→）))＝0⇒eq\o（OB，\s\up6（→)）·eq\o（AC，\s\up6（→))＝0⇒OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．答案:垂心7．在△ABC中,若(eq\o（CA,\s\up6(→））＋eq\o（CB，\s\up6(→)）)·(eq\o(CA，\s\up6(→））－eq\o(CB，\s\up6（→)))＝0,则△ABC的形状为__________．解析：(eq\o(CA，\s\up6（→））＋eq\o(CB,\s\up6(→）))·(eq\o(CA，\s\up6(→)）－eq\o（CB,\s\up6（→))）＝｜eq\o（CA,\s\up6(→））|2－|eq\o(CB，\s\up6(→)）|2＝0，∴|eq\o(CA，\s\up6(→)）|＝｜eq\o（CB,\s\up6（→))｜，∴△ABC为等腰三角形．答案:等腰三角形8．已知a，b，c为单位向量,且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f（π，3）,则实数λ＝__________.解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb），即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a,b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π，3）,即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案:－8或5二、解答题9．已知a、b是两个非零向量，同时满足｜a|＝｜b｜＝｜a－b｜,求a与a＋b的夹角．解：根据|a｜＝｜b｜,有|a｜2＝｜b｜2，又｜b|＝|a－b｜，得|b|2＝｜a|2－2a·b＋｜b|2,∴a·b＝eq\f(1,2）｜a|2.而｜a＋b|2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b|2＝3|a｜2，∴｜a＋b｜＝eq\r（3)|a｜。设a与a＋b的夹角为θ,则cosθ＝eq\f（a·a＋b，|a|｜a＋b|)＝eq\f（|a｜2＋\f（1,2)｜a|2,|a|·\r(3）｜a｜)＝eq\f(\r（3)，2)，θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.10．若等边△ABC的边长为2eq\r（3），平面内一点M满足eq\o(CM，\s\up6(→))＋eq\f(1，6)eq\o(CB，\s\up6（→))＋eq\f（2,3)eq\o（CA,\s\up6（→）），求eq\o(MA,\s\up6（→)）·MB。解：如图所示．eq\o(MA，\s\up6（→)）·eq\o(MB，\s\up6(→)）＝（eq\o(CA,\s\up6（→））－eq\o（CM，\s\up6(→）))·(eq\o(CB，\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→)））＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\o（CA,\s\up6(→))－\f(1,6）\o(CB，\s\up6（→))－\f（2，3）\o（CA，\s\up6（→)))）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o(CB，\s\up6(→))－\f(1，6)\o（CB，\s\up6（→）)－\f(2，3)\o(CA,\s\up6(→）)）)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3）\o（CA，\s\up6（→)）－\f(1，6)\o（CB，\s\up6（→)))）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)\o（CB,\s\up6(→）)－\f（2,3）\o（CA,\s\up6(→）））)＝eq\f(5，18)eq\o（CA,\s\up6(→））·eq\o(CB,\s\up6(→)）－eq\f(2，9）eq\o（CA,\s\up6(→）)2－eq\f(5,36)eq\o(CB，\s\up6（→））2＋eq\f(1，9）eq\o（CB，\s\up6(→)）·eq\o(CA,\s\up6(→））＝eq\f（7,18)eq\o(CA,\s\up6(→））·eq\o（CB,\s\up6(→)）－eq\f（2,9)eq\o(CA,\s\up6（→))2－eq\f（5,36)eq\o(CB,\s\up6（→））2＝eq\f（7,18）×(2eq\r(3）)2×eq\f（1,2）－eq\f(2,9）(2eq\r（3)）2－eq\f（5,36)（3eq\r（3)）2＝－2.11．四边形ABCD中，eq\o（AB，\s\up6（→）)＝a，eq\o（BC，\s\up6(→)）＝b，eq\o(CD,\s\up6(→）)＝c，eq\o（DA,\s\up6(→)）＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?解:四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－（c＋d),∴（a＋b)2＝(c＋d)2，即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c|2＋2c·d＋|d|2，由于a·b＝c·d，∴