2023届高考前复习2-8或然与必然思想中的三种题型 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案(上海地区专用))

专题2.8或然与必然思想中的三种题型

题型一：数列

一、解答题

1.(2019秋•上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考阶段练习)设正数数列｛《,｝的前”项和

为S“，对于任意S”是a：和4的等差中项.

(1)求数列｛。,J的通项公式；

(2)设2=(£［，，是他｝的前〃项和，是否存在常数3对任意使7；,-九2口>71

恒成立？若存在，求/1取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)%=〃；⑵存在实数O≤∕l<l符合题意.

【分析】⑴根据S,是端和«„的等差中项,可知25“=a,,2+a,,,且可>O,贝IJ当〃≥2时,有

2Sπ,1=(a,ι)2+%τ,两式相减并化简即可求解；

⑵由⑴知，％=〃，由题意知，9=1-(；j,假设存在常数XNO,对任意〃GN*,使

4-加2-，，>71恒成立等价于对任意,”四，1-［；］-义］3；>77恒成立,整理化简，利用分

离参数法求解恒成立问题即可.

【详解】⑴由S,是片和《,的等差中项可知，2S(I=aj+a“，且q,>O,

则当〃N2时,有2Sχ=(a,-P+a,.,,

2

两式相减可得，2SZI-2S,,T=an,

22

即2«„=⅛-¾.l+¾-¾.l,¾>0,化简可得，⅝-l=1(〃≥2),

所以数列｛%｝是以1为首项，I为公差的等差数列，

所以数列的通项公式为∕=";

(2)由(1)知,%=〃，因为〃=j,所以数列｛bn｝的前〃项和7；=1J,

假设存在常数X≥0,对任意〃eN*,使1,-4∙2f>√Σ恒成立

即对任意〃∈N*,l-(f《J>"恒成立,

等价于对任意«eN\1+√Σ<2"恒成立,即1+√Σ小于2"的最小值即可.

所以O≤2<1满足对任意〃∈N*,使7；-/1•2-4>√Σ恒成立.

所以存在这样的实数力，对任意"∈N*,使7；,-32-%>√Σ恒成立，实数/1的取值范围为

O≤Λ<1.

【点睛】本题主要考查已知S,,和。“求通项公式及利用等比数列前n项和公式求解恒成立问题;属

于中档题.对于恒成立问题,利用分离参数法求参数的取值范围只需满足如下条件：

(l)∕M<∕(Λ-)fS成立=6</(XL；

(2),">∕(x)恒成立=m>∕(x)maχ;

题型二：不等式、推理与证明

一、解答题

1.(2022•上海•高一专题练习)求证：若a、b≡Z,且必可被5整除，则a、6中至少有一个

能被5整除.

【答案】证明见解析.

【分析】“至少一个”的反面是“一个都没有"，我们考虑用反证法，假设。、b都不是5的倍

数，然后计算出必，得到与条件或者定理相矛盾的结果，这样原命题正确.

【详解】证：用反证法证，若。、b都不是5的倍数，

令a=5k∖+町，b=5k、+π⅛,且即k2≡Z∖mvm1∈{1,2,3,4}

nτm7

所以必=(54+町)(5的+An2)=5(5匕%2+^∖ι+攵2町)+√⅞

因为犯吗不是以O或5结尾的数，不能被5整除.

故假设不成立，原命题正确.

2.(2022•上海•高二专题练习)用数学归纳法证明：

1c/八1"5+1)5+2)/炉、

1×n+2(〃-1)++n×l=-----------------∈TVJ.

【答案】证明见解析.

【分析】先检验当〃=1时∙，IXl=K"2"2)’等式成立，假设当〃=Z时，等式成立，即

O

l×⅛+2(⅛-D++kxl=k也+iγ+2)(kwM),通过这个结论证明当"=A+1时，等式也成立即

可得证.

【详解】当”=1时，lxl=10+1×l+2∖等式成立，

O

假设当〃=”时，等式成立，即lxA+2伏-1)++Axl=-"1y+2)仅C)

6

贝IJ当〃=氏+1时，1x(上+1)+2×⅛+...+(Λ+l)×l=[l×⅛+2×(⅛-l)+...+⅛×l]+

nɪɔɪ,ɪ1Ylk(k+l)(k+2)(k+∖)(k+2)(&+1)(氏+2)(%+3)生Tm妙3+

[l+2+3+...+(⅛+l)J=-----------------+----------------=-------------------------，原IH等式仍然成"，

626

所以lx"+2("-l)++〃X[=〃(〃+1)(〃+2)(〃GN")

6'"

【点睛】此题考查利用数学归纳法证明等式成立，关键在于熟练掌握数学归纳法证明步骤，根

据步骤准确辨析.

题型三:空间向量与立体几何

一、单选题

1.(2023春•上海闵行•高二上海市七宝中学校考开学考试)已知A、B、C是空间中不共线

的三个点，若点。满足OA+2OB+3OC=0,则下列说法正确的一项是()

A.点。是唯一的，且一定与A、B、C共面

B.点。不唯一，但一定与A、B、C共面

C.点。是唯一的，但不一定与A、B、C共面

D.点。不唯一，也不一定与A、B、C共面

【答案】A

【分析】由OA+2OB+3OC=0,可得OA=-2O8-3OC，从而有OAo8,0C共面，O,AB,C四

点共面，再结合A、B、C不共线，即可得答案.

【详解】由空间向量的知识可知α,Ac共面的充要条件为存在实数χ,y,使=

因为。A+2OB+3OC=0,

LUULI.M1UuU

所以。4=-2OB-3OC,

所以OAOB,OC共面，

所以O,A,B,C四点共面，

因为OA+2OB+3OC=0,所以(OA+OC)+2(θB+OC)=0,

所以点。唯一.

故选:A.

2.（2022秋•上海浦东新•高二校考期中）空间中垂直于同一条直线的两条直线

（）

A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能

［答案］D

【彳Q】在正方体里对题干条件一一分析即可得到.

【详解】如图所示，DClCC,BClCC',8C,r>C相交；

DA±CC',BClCC',8C,ZM平行；

A'C'±CC',BC±CC',8C,4C互为异面直线；

故选:D.

3.（2022秋•上海•高二阶段练习）若直线和心是异面直线，力在平面。内，上在平面尸

内，αC£=1,则下列命题正确的是（）

A.1与L,2都相交B.1与L,都不相交

C.1至多与L,八中的一条相交D.1至少与乙，A中的一条相交

【答案】D

【分析】可以画出图形来说明/与4，4的位置关系，从而可判断出A,B,C是错误的，而对

于可假设不正确，这样/便和4，4都不相交，这样可推出和4，4异面矛盾，这样便说明

O正确.

【详解】解：A./与4，4可以相交，如图：

8./可以和乙，4中的一个平行，如上图，.•・该选项错误;

C./可以和4，4都相交，如下图：

Ct,

/ɪ

∙∙∙该选项错误；

D."/至少与4，4中的一条相交”正确，假如/和34都不相交；

/和和J都共面;

；./和34都平行；

.••4〃%4和4共面,这样便不符合已知的4和4异面;

该选项正确.

故选：

4.(2019春•上海黄浦•高二格致中学校考期中)给出下列命题

(1)若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面；

(2)若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；

(3)若直线”与直线方异面，直线方与直线C异面，那么直线。与直线C异面；

(4)若直线。与直线匕垂直，直线人与直线C垂直，那么直线。与直线C平行；

其中正确的命题个数有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

［答案］

【(析】A根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可.

【详解】(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误.

(2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.

(3)当。与C相交且α,cuα,心_La时可满足直线”与直线人异面,直线方与直线C异面,但直线“

与直线C共面.故⑶错误.

⑷同(3)可知(4)错误.

故选：A

【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题.

二、解答题

5.(2022•上海•高二专题练习)用中文表述直线与平面平行的判定定理，并加以证明.

【答案】具体见解析.

【分析1对定