2023年高考数学练习压轴题（新高考版）10 一元函数的导数及其应用（利用导数研究双变量问题）（全题型压轴题） （解析版）

专题10一元函数的导数及其应用

(利用导数研究双变量问题)(全题型压轴题)

利用导数研究双变量问题

①Fa)=g(%)型

②/α)≥gα)型(或∕α)≤g(w)型)

③变更主元法

④构造函数法

①Fa)=g(∙⅞)型

1.(2022•湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习)已知函数=2x+α,g(x)=αr+5-0

⑴若函数y=∕(x)在区间[-1,0]上存在零点，求实数”的取值范围；

(2)若对任意的％∈[T3],总存在Λ2∈[T,3],使得“Λ,)=g(w)成立,求实数。的取值范围.

【答案】(1)[-3,0]

⑵(-8,-6M2,+8)

(1)

y="χ)的图象开口向上，对称轴为X=1,所以函数/(X)在上单调递减,因为函数y=f(χ)在

区间—1,0上存在零点，所以《[二、,解得—3≤α≤0,即实数”的取值范围为[-3,0].

[/(O)=67≤O

⑵

记函数"x)=x2-2x+",xe[-1,3]的值域为集合A,g(x)=ax+5-a,XeE,3]的值域为集合A

XW

则对任意的,w[T3],总存在2[T,3],使得f(Λi)=g(A⅛)成立OA=B.

因为y="x)的图象开口向上，对称轴为x=l,所以当xe[T3],

/(x)mh＞=∙ΛD="lJ(x)max=∕(3)=4+3,得A={y|。-1≤y≤(2+3}.

当Q=O时，g(x)的值域为{5},显然不满足题意；

[5—2a≤α—1

当。＞0时，以幻的值域为B={y∣5-2αKy≤5+24},因为Aq3,所以UC,解得α≥2;

[5+2α≥α+3

[5+2。≤π—1

当αvθ时，g(x)的值域为8={y∣5+2a≤y≤5-2α},因为AqB,所以＜,解得α≤-6.

[5-2a≥a+3

综上，实数”的取值范围为(-8,-6]。[2,+8)

2.(2022•福建•厦门一中高一期末)已知函数/(x)=sin2χ+cosx-4.

(1)当α=0时，求/(X)在不上的值域;

(2)当α>O时，已知g(x)=alog2(x+3)-2,若叫e^,π,V马U,5]有/(为)=g(⅛),求”的取

值范围.

「13一

【答案】⑴[-1,1]：(2).

【详解】(1)⅛α=0,∕(x)=1-cos2x+cosΛ=-cos2x+cosx+1,Xe-,π

令f=cosx,设Mf)=T2+r+1=一[一g)+：,r∈[-l,0],

函数Mf)在[-1,0]上单调递增，∕ι(-l)=-1,Λ(O)=1,

∙∙"(x)的值域为[T,l].

(2)设/(χ)的值域为集合Ag(x)的值域为集合B,根据题意可得BqA,

π

f(x)=~COS2X+COSX+1-6Zx∈—、冗

2

t∈[-l,θ],

函数y=-"g>+；-。在[TO]上单调递增，且/(XL=T-aJ(x)2=l-"

A-[—1—<7,1—<?],

g(x)=alog2(x+3)-2又。>0,所以gθ⅛)在口⑸上单调递增，

g(l)=2α-2,g(5)=3α-2,ΛB=[2a-2,3a-21,

2a-2≥-l-a

13

由BuA得3a-2<↑-a=>—≤o≤-

34

a>0

13

「•。的取值范围是-

_34_

【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地,已知函数y=∕(x),x∈[",可，y=g(x),x∈[c∙,d],

(1)若∀%∈[a,A],Vx2∈[c∙,d],总有/(xj<g(x2)成立，故F(X)mκvg(%)nil,;

(2)若VXlebW,≡⅜*d],有/(∙η)<g(x2)成立，故/(x)max<g(∙¾)max；

(3)若玉⅛∈[α,同,Bx2e[c,d],有/㈤<g(w)成立,故/(力/<gθ⅛)max；

(4)若VXl∈[α,A],3X2&[c,d\,有/(%)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集.

3.(2022•全国,高三专题练习)已知函数f(x)=立'(l≤x≤4),且，⑴=5.

X

(1)求实数m的值，并求函数/(X)的值域：

(2)函数g(x)=奴-1(-2≤x≤2),若对任意％e[1,4],总存在x0e[-2,2],使得g(%)=/&)成立,

求实数α的取值范围.

【答案】⑴m=4,/(x)值域为[4,5卜(2)"≥3或α≤-3.

【详解】⑴由/^(1)=5,得m=4,SPf(x∖=^Λ±=x+i.

XX

”X)在[1,2]上递减,在[2,4]上递增，且〃2)=4,41)=/(4)=5.

∙∙∙/(x)值域为[4,5].

(2)对于任意xγ[1,4],总存在%e[-2,2],使得g(%)="Λ,)成立，则F(X)的值域是g(x)值域

的子集；

依题意知，QwO,

当α>0时，g(%)∈[-2α-l,2"-l],βp[4,5]⊂[-24/-1,2«-1].

a>0

.∙.<-2α-l≤4,解得4≥3.

2a-l≥5

当αvθ时，g(Λ0)∈[2^-l,-2α-l],Kp[4,5]⊂[2a-l,-2a-l].

a<0

2a-∖≤4,解得.≤-3.

-2a-l≥5

故α≥3或α<-3.

【点睛】结论点睛：本题考查特殊函数的应用以及由命题成立确定集合包含关系：

(1)特殊函数y=0r+±(α,b>O):图像在•、四象限，在第一象限以x为界先减后增；

XVa

(2)若∀x,l⅞使/(x)=g(%),则AX)值域包含于g(%)的值域.

4.(2022•全国•高一课时练习)已知函数f(x)=」一(x∈A,且XH2).

x-2

(1)判断并证明了(X)在区间(0,2)上的单调性；

(2)若函数g(x)=χ2-2αx与函数/(x)在xe[0J上有相同的值域，求。的值；

(3)函数∕z(x)=(l-3从)x+546≥l,x∈[0,l],若对于任意[0,1],总存在巧©[OK，使得

/(%)=版々)成立，求b的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)a=l；(3)[2,+∞)

22

【详解】(1)/(X)在区间(0,2)上为减函数任取0<%<々<2,/(xj-∕(w)=上;--三

Xj-2X2一2

=x∣2(∙¾-2)m-2)=中2(占一々)-5-石)=52同一受)一(％+三)(％-三)

-

一(X,-2)(X2-2)=(X,-2)(X2-2)(—2)

二［玉(；：2.：］(；三),由于0<%<±<2,占-2<0,占-2<0,玉-々<0,Λ1(Λ⅛-2)-2X,<0,

所以fα)T(W)>O,〃孑)>/伍),所以F(X)在(0,2)上递减.

(2)因为/(x)在［0』上递减，所以其值域为［7,0］，即xe［0,l］时，g(x)∈［-l,0］.因为g(())=0为

≥1

最大值，所以最小值只能为g(l)或g(ɑ).若g⑴=-1,则，M=L若g(α)=-l,则

［I-Za=-I

1

—≤6Z≤1

52,α=l.综上所述，tz=l.

—a2=—1

(3)当b"x∈［0,l］时，MX)在［°川上递减，所以MX)在［0,1］上的最大值为Mo)=56,最小值

5⅛>0

Λ(0)≥0

为力(1)=1一3斤+5乩由(2)知〃x)在[05上的值域为[TO].所以所以■1-36+5力4—1,

A(l)≤-Γ

⅛≥1

解得b≥2.

5.(2022•重庆•高二阶段练习)已知函数/(x)=lnx+(α-2)Ma是常数)，此函数对应的曲线y=∕(x)

在点。,/⑴)处的切线与X轴平行

⑴求。的值，并求f(x)出的最大值；

(2)设，w>0,函数8(》)=：蛆3_尔,*6(1,2),若对任意的XIe(1,2),总存在Λ2e(l,2),使

f(x,)-g(x2)=0

求m的取值范围

【答案】⑴。=1,〃力3=InlT=T

3

(2)λ^∈[3--In2,+oo)

(1)

对/(X)求导，得r(X)=g+(α-2),

由题意可得，/'⑴=1+(。-2)=0,

解得。=1,

所以/(x)=Inʃr,

定义域为(0,+8)，且((X)=L-1,

X

当O<x<l时，∕,(x)>0,/(x)单调递增，

当x>l时,广(X)<0,/(x)单调递减,

所以当x=l时，/(x)有极大值，也为最大值且/(XLlX=/⑴=InIT=T.

(2)

设“力(Xe(L2))的值域为Atg(力(x∈(l,2))的值域为B,

由题意"对于任意的药«L2),总存在WW(1,2)使得/(x,)-1g(⅞)=O,,∙

等价于A±8,

1—Y

由(1)知r(x)=?，

因为XW(1,2),所以/'(x)<0,故在XW(L2)上单调递减，

所以f(l)<∕(x)<"2),

即ln2-2<"x)<-l,

所以A=(In2—2,-1),

因为g(x)=；Wx3-mx,

所以g'(x)=OTC2-m=τn(x-I)(X+1),

因为加>0,故g'(x)>O,

所以g(x)在x∈(l,2)上是增函数，

所以g⑴<g(x)<g(2),

22

即一,

22

故B=——m,一m

33

-m>0>-∖

3

由AqB,得JJ2

——m<ln2-2

3

解得mZ3-An2,

2

所以实数机的取值范围是3-加,+8).

【关键点点睛】解第二问的关键是准确理解题意，将问题转化为两个函数值域的问题求解是解题的

关键.对于此类问题，还要注意以下的结论：

成立<=>

①3Λ,∈A,3X2∈β,∕(xl)=g(%){∕(Λ)∣XEA}∩{⅛(X)∣Λ∈β}≠0

②VXI∈A,Vx2eB,/(Xl)≤g(x?)成立=∕(x)皿4g(X2)min；

③叫∈ANXl∈B,f(xl)≤g(x2)成立=/(%1)min≤g(x2)min；

④*∈A,3X2∈B,f(xl)<g(X2)成立=/U,)min≤S(X2)max;

⑤VXl∈A,3X2∈BJ(XI)≤g(.)成立o/(xl)max≤g(x2)nm.

当函数的最值不存在时可用值域的端点值代替.

ɪ7一7

6.(2022•全国•高二课时练习)已知函数〃x)=<：+]\\函数

g(x)=ksin2-2Z+2(k>0),若存在x∣∈[(),l]及x,e[0,l],使得/(xj=g(x5)成立，求实数”的取

O

值范围.

「141

【答案】

【详解】由题意，

当XW0,〈时，/(x)=-Jx+Jw0,J

Zɔoo

6X2(X+1)-2X34X3+6X22X2(2%+3)

当x∈时，〃X)=念，r(χ)恒成立,

222>0,

、乙」/十I(x÷l)(x+l)(x+l)

所以“X)在xe(g,l上单调递增，所以〃x)e∖,l

所以函数f(x)在[0,1]上的值域为A=[0,l],

3

g(x)的值域为8=2-2k,2--k

并且Ac8*0.

T1L

若AB=0,即2-2%>l或2——<0,

2

14

解得或无>彳，

23

14

所以，若AC3H0,左的取值范围是

②/α)≥gα)型(或/α)≤g(w)型)

1.(2022・全国•高二单元测试)已知函数/(x)=∙≤,g(x)=-χ2+2x+α-l.若对任意为，x2e(0,+∞),

2x

都有/(xj≥g(x?)恒成立，则实数a的取值范围为.

【答案】W

ʃ1/Xe`∙2x-2∙e'ʌx-l

【详解】f(x)=(2x)2=2院x彳,

所以在区间(0,1)J(X)<0j(x)递减;在区间α+∞),f(χ)>o,f(χ)递增.

所以在区间(0,y)上，/(X)的极小值也即是最小值为f(l)=∙∣.

二次函数g(x)=-χ2+2x+α-l的开口向下，对称轴为X=1,

所以当x=l时，g(x)取得最大值为g(l)=T+2+α-l=α,

由于对任意阳,¾∈(o,+∞),都有Fa)*go⅛)恒成立,

所以“≤∙∣,即°的取值范围是b-].

故答案为：(-∞,f

2.(2022♦上海市洋泾中学高二阶段练习)已知XeR,定义：A(X)表示不小于X的最小整数，例如:

4(0)=2,A(T).5)=().

(1)若A(X)=2021,求实数X的取值范围：

⑵若x>0,且A(2x+A(x))=41亨1)求实数X的取值范围；

⑶设/(x)=-χ2+MA(χ),g(x)=4*-2*+g∙,若对于任意的x∣,Λ2∈(-3,-l],都有/(χ)<g(x2),

求实数r的取值范围.

【答案】⑴(2020,2021]

⑶(→o,2)

(1)

由A(X)定义可得，实数X的取值范围为(2020,2021］；

(2)

若x>0,则?=2+4(2,3),所以AGm=3,

所以A(2x+A(x))=3,所以2X+A(X)<2,3］,

当x∈(0,l］时，2x+A(x)=2x+l∈(2,3］,所以x∈(g,l；

当x∈(l,2］时，2x+A(x)=2x+2∈(2,3］,无解；

当xw(2,+∞)时，2x+A(x)>4,则2x+A(x)w(2,3］无解;

综上，实数X的取值范围是(；/；

(3)

g(x)=4"-2'+?,x2∈(-3,-1］,则2"e(J,

所以g(x)=4*-2'9=b-1+4,g(¾L=4,

因为对于任意的4,X2∈(-3,-l］,都有/(x∣)<g(x2),

-

所以/(Λ1)<4,即一χ2+zx∙A(x)<4对x∈(-3,-U恒成立，口"<:A：)对xe("3,T］恒成立,

当xe(-3,-2］时，意｝=士Amf+±)≥2,所以f<2,

当无«一2，—1］时，=所以Y%

综上，t<2.

3.(2022・上海•高三专题练习)设〃(X)表示不小于X的最小整数，例如〃(0∙3)=1//(-2.5)=-2.

(1)解方程M(X-I)=3；

(2)设/(X)=〃(x∙M(X)),"∈N*,试分别求出/(X)在区间(0,1］、(1,2］以及(2,3］上的值域；若/(x)

在区间(O,n↑上的值域为Mn,求集合Mn中的元素的个数；

(3)设实数a>0,g(χ)=χ+“∙必包一2,∕2(χ)=用学经，若对于任意片,々e(2,4］都有

XX-5x+7

g(χj>∕7(%),求实数。的取值范围.

【答案】⑴3<x≤4;(2)当xe(0,l］时，值域为｛1｝；当xe(l,2］时，值域为｛3,4｝：当xw(2,3］

时，值域为｛7,8,9｝；普。个；(3)(3,+∞).

【详解】【解】(1)由题意得：2<x-l≤3,解得：3<x≤4.

(2)当Xe(0,1］时，μ｛x)=1,x∙χ∕(x)=x∈(0,l］,于是〃(x∙"(x))=l,值域为｛1｝

当XW(1,2］时,μ｛x)=2,x∙∕∕(x)=2x∈(2,4］,于是〃3〃(X))=3或4，值域为｛3,4｝

当x∈(2,3］时，"(x)=3,x∕(x)=3x∈(6,9］,于是M(X∙"(x))=7或8或9,值域为｛7,8,9｝

设“cN*,当xe("-l,”］时，〃(x)=〃，所以x∙"(x)=nr的取值范围为

(n2-n,n2∖,-

所以/(x)在xw("T,"］上的函数值的个数为"，-

由于区间(n2-小眉与((〃+1)2-(“+1),(〃+1)2］的交集为空集,

故W,中的元素个数为1+2+3++〃=四罗.-

145

(3)由于——≤-,l≤sinmr+2≤3,因此〃(x)≤4,当X=1时取等号，即即xe(2,4］时,

X2-5X+732

MX)的最大值为4，

由题意得xe(2,4］时，g(x)>4恒成立，当xe(2,3］时，

22

o>2x-?恒成立，因为(21-5)的=3，所以。〉3

当x∈(3,4]时，q>3χ-E恒成立，因为3χ-E<2,所以

242444

综合得，实数。的取值范围是(3,+∞).

【点睛】关键点点睛：1.首先理解〃(x)的定义，2.第三问，若对于任意西,々€(2,4]都有g(%)>〃(X2)，

转化为g(x)>∕(x)πm,再利用参变分离求。的取值范围.

4.(2022•福建省厦门集美中学高二期中)已知函数/(x)="+lnx.

(1)试讨论/(x)的极值；

⑵设g(x)=f-2x+2,若％∈(0,+0>),玉2[0,l],使得“Λ1)<g(Λ2),求实数ɑ的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

(2)(-∞,-e^3)

(1)

函数〃x)的定义域为(0,+⑹，

当α≥0时，∕,(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上为增函数，此时函数不存在极值.

当.<()时，由T(x)>O,解得0<x<-},故/(x)在U上单调递增.

由T(x)<O,解得x>J,故/(x)在上单调递减.

此时函数在X=处取得极大值.无极小值.

a

综上所述，当忖，函数不存在极值.

当。<0时，函数在X=-L处取得极大值，无极小值.

a

⑵

由(1)知当α≥0时,/(X)在(0,+8)上为增函数,

故/(x)无最大值，此时不符合题意；当“<0时，"x)nιaχ=/W=-I+ln(T)=-l-ln(-α).

易知g(x)=9—2x+2在[0,1]上单调递减，所以g(x)nm=g(0)=2.

因为必i∈(0,+e),3⅛∈[0,l],使得F(X)<g(x),

所以"4x<g(%*,即]τ]1)<2

解得“<γτ,所以实数α的取值范围是(F,-e

5.(2022•全国•高三专题练习)已知函数｛T)=I(Xrl)±Llnx(.∈R).

X

(1)当α≤g时，讨论函数TW的单调性；

(2)设g(x)=/-2⅛X+4,当α=g时，若对任意x∕∈(0,2),存在X2∈[l,2],使f(x∕)+g(X2)

≤0,求实数b的取值范围.

13

【答案】(])答案不唯一，具体见解析；(2)0≥Y.

6

av2+1+x1

【详解】(1)y(x)=C)~-Inx,

X

.,(、a—11OX--X-(Q-1)+a—l)(x-1)

X2XX2X2

①当1Ξ0>1时，即OVaV!时，此时y(x)的单调性如下:

a2

1-a1—ci、

X(0,1)1‹1.亍)(----，+8)

aa

+O-O+

增减增

II—//]—〃

当OVQV时，/W在(°，°，(—，+8)上是增函数，在(1，一)上是减函数.

327aa

②当“=!时，/(x)=(x-?2≥0,儿V)在(0,+8)上是增函数.

③当a=0时，T(x)=g,,f(x)>O^O<x<l,/(x)<0=x>l,

所以函数的单调递增区间是(o,ι)，单调递减区间是α+∞),

④当"。时，/，(X)=(M区1),x,=l^<O(舍)，X,=l,

'/Jra

∕r(x)>O=>O<%<1,/,(x)<0=>x>l,

所以函数的单调递增区间是(()/)，单调递减区间是(1，+8),

综上，当〃≤o时，yw在(o,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数；

当OVaV—时，/(、)在(0»1)>(-----,+<x))上是增函数，在(1,------)上是减函数,

2aa

当α=!时，/(x)=g≡F∙20,小)在(0,+8)上是增函数•

22x

(2)由(1)知，当时，山)在(0,1)卜一是增函数，在(1,2)上是减函数.

「是x/W(0,2)时，f(x∕)∈(-8,∙∣],从而存•在X2≡[1,2],使得g(X2)=χ2-2bx2+4≤[-

〃/、12

J(X/)]min=--，

2

等价为[g(∙V)]min≤—]，XE[1,2],

22

考察g(x)=N-2bx+4=(x-⅛)÷4-b9Λ∈[1,2]的最小值.

217

①当。≤1时，g(x)在[1,2]上递增，[g(刈min=g⑴=5-23≤-彳，解得方≥二(舍去)，

36

2]3

②当〃≥2时，gfr)在[L2]上递减，[g(刈min=g⑵=8-4%≤-彳，解得〃≥”成立.

36

2

③当IVbV2时，[g(x)]min=g(⅛)=4-⅛2≤--,无解.

综上校?13.

6

6.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(另=；江+：/—2x-l(a力eR),g(x)=χ2-x+l,若

函数/(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1且两函数图象在点尸处的切线斜

率之和为9.

(1)求4,〃的值；

(2)对任意斗,々目-1,1],不等式/(xj+&<g(w)恒成立，求实数k的取值范围.

4=6,(2)f-∞,--

【答案】()

1b=4：

【详解】解：(1)因为"l)=g(l),所以>+京一3=1,即24+3b=24,

又gθ)=2x-l,所以g'(l)=l

∕,(x)=0r2+fex-2,∕,(l)=a+fe-2

由题意得尸(l)+g'(l)=α+〃-l=9,

所以4+人=IO

2a+3b=24,ya=6,

由a+h=∖0,彳’

b=4,

(2)由(1)W/(x)=2x3+2x2-2x-l,

对任意的看,％2w[T』，/(xJ+Z<g(∙¾)恒成立,

所以“x)l≡+k<g(x)minxe([Tl]),

因为/(X)=6Y+4x-2=2(3X-I)(X+1),

令/'(x)<0得一l<χ<;,令/'(χ)>0得x<-l或x>g.

所以函数/(χ)在-i,ɪ上单调递减，在上单调递增.

而/(T)=Ij⑴=1，所以"x)a=l,

而g(x)=J?-x+l=(x_g)+；,

当xe[-l,l]时，g(χ)njg∣ψ∣=]

3

故1+k<3，

4

所以实数k的取值范围是

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地,已知函数y=∕(x),xw[α,"∣,y=g(x),x∈[c,d]

⑴若VXI∈[α,b],VΛ⅛∈[c,d],总有/(%)<g(j⅛)成立,故/(*)max<g(∙¾)mil,;

(2)若％e[α,句,3x2e[c,d],有f&)<g(%)成立,故/(x)raκ<g(%)mα；

(3)若玉⅛w[α,句,⅛∈[c∙,J],有F(Xl)<g(%)成立,故f(x)mill<g(w)min;

(4)若V%w[α,司,3¾∈[c,d],有"(xj=g(x2),则〃力的值域是g(x)值域的子集.

IYl-1]

7.(2022♦全国,高三专题练习(理))已知函数/(x)=X—mlnx—------("2∈R),^(x)=-x2+eχ-xex.

X2

⑴若m<e+l,试求TW在[1,e]的最小值;

(2)当"?≤2时，若存在x∕∈[e,e2],使得对任意的X2∈[-2,0],/M)≤g(x2)成立，求实数小的取值范

围.

【答案】(1)当∕n≤2时，函数/(x)的最小值为2-m；当2vmve+l时，函数/(x)的最小值为

∕π-2-wln(m-l)

e2-e+l

⑵

e+1

(1)

/W—1

f[x)=χ-i7i∖nx------,且定义域(0,+o0),

X

f(x)=l-+=(x-l)[x-(m-l)],

①当m≤2时.，若x∈[1,e],则/(x)≥0,

「•凡r)在[1,e]上是增函数，则7U)min=/⑴=2一九

②当2<m<e+l时，若x∈[l,m一1],则了(X)≤0;

若1,e],则/(Λ)≥0.

ʌr)min=J[fn-l)=m-2-m∖r∖(f∏-l).

(2)

已知等价于/(X∕)min≤g(X2)min∙

由(1)知"Z≤2时，在笛∈[e,e2]±⅛∕(x∕)≥O,

所以汽灯为单调递增函数，

〃、/T、m-∖

「∙J(-V∕)min=∕(e)=e-/72-----------.

e

又/(x)=x÷eχ-(x÷l)ex=x(l-ex),

当X2∈[-2,0]时，g’(X2)≤0,g(X2)min=g(0)=L

所以m≤2且e—一竺二Li,⅛⅜⅞c2-e+1≤,n≤2.

ee+1

「e2—e+l1

所以实数，”的取值范围是———,2.

e+1

8.(2022•黑龙江•铁人中学高二期中)已知函数/(x)=x—(α+l)lnχ-3(α∈R),g(x)=^∙x2+eχ-xex.

(1)当x∈[l,e]时,求/(x)的最小值；

(2)当时，若存在Meee2],使得对任意的X20—2,Ob∕%)<g(x2)恒成立，求a的取值范

围.

(1-2e>

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)-e一-J.

(e+1)

【详解】(1)/(x)的定义域为(0,+8),f(χ)=

(DX,"

①当a≤l时，x∈[l,e],f(x)≥O,

/W为增函数，f(×)min-f(1)=I-CL

②当l<a<e时，

x∈[l1时,F(X)≤0,/W为减函数;

x∈[a,e]时,f(x)≥O,f(x)为增函数.

所以f(×)min-f(a)=a-(a+l)∖r∖a-l.

③当a≥e时，x∈[l,e]时，f(×)≤0,

/(x)在口，e]上为减函数.

f(×)min=f(e)=e-(a+l)—-.

e

综上，当a≤l时，f(×)min=l-a;

当l<o<e时，/(x)m∕n=a-(σ+l)lna-1；

当a≥e时，f(×)min=e—(a÷l)—-.

(2)由题意知HR(X∈[e,闽)的最小值小于g(χ)(χ∈[-2,OD的最小值.

由(1)知当Q<1时，/(X)在R图上单调递增，

f(x)min=f(e)=e—(G÷1)—-.

e

g,(x)=(l~e×)x.

当x∈L2,0]时,g'(x)≤0,g(x)为减函数.

g(x)min=g(0)=l.

所以e—(α+l)-3<l,即。>三名，

ee+1

所以α的取值范围为^,1.

【e+1J

9.(2022・河北•石家庄二中实验学校高三开学考试)设。为实数，函数/(x)=2x3-3Y+a,

g(x)=x2(21nx-3).

⑴若函数/(x)与X轴有三个不同交点，求实数。的取值范围；

⑵对于Vx∣w[T,2],3x2∈[l,e],都有〃xj≥g(xj,试求实数。的取值范围.

【答案】⑴0<“<l

(2)[5-e2,+∞)

(1)

/',(X)=6X2-6X=6X(X-1),

由r(x)>0,解得x>l或X<O;由r(x)<0解得0<x<l,

所以F(X)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增，

若函数“X)与X轴有三个不同交点，则解得0<“<l,

所以若函数/(x)与X轴有三个不同交点，实数"的取值范围为0<α<l:

(2)

对于VΛ⅛e[-l,2],Bx2∈[ɪ,e],¾β⅛ʃ(ɪ,)≥⅛(¾),则〃芭)而了8«)而.，

由(1)知函数〃力在[TO)匕单调递增，

在(0,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，又/(—l)=a—5,/(l)=6t-l,

故当xe[T,2]时/(%n="T)=α-5,

因为g(x)=χ2(21nx-3),且x∈[l,e],则/(x)=4x(InX-I)≤4x(l-1)=。,

故函数g(x)在[l,e]上单调递减,故g(x)nil1=g(e)=-e>,

由题意可得a—5≥γ2,故a≥5-e?.

所以实数。的取值范围为[5-e2,+∞).

yvι-4-]∏ɪ

10.(2022•河南安阳•高二阶段练习(文))已知函数/(X)=----------,g(x)=2xlnx+χ2-ar+3,m,

X

QWR.

⑴求/(X)的单调区间；

(2)当W=O时，若0e[l,e],现Wɪ,e使〃。送㈤成立，求实数”的取值范围.

【答案】⑴/(x)的单调递增区间为((),e~'),单调递减区间为(ei,+oo)

(2)α≥4

⑴

由/(X)=空处，则小)=匕组地上驾过

XXX

由(I-W)TnX<0,解得χ>ef,(I-M-InX>0,W∙Mθ<x<e'^m

所以当x>ej"时，f'ω<0,函数/(x)单调递减，当0<χ<e2'时，ΓU)>0,函数/(x)单调递

增.

所以函数/(x)的单调递增区间为((),e'^m),单调递减区间为(e-',+8)

(2)

当加=0时，函数/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减

所以函数f(x)在[l,e]上单调递增.在[e,e[上单调递减，

2

又/⑴=0,/(e)≈∙?,所以“X)Zn="1)=0

Fe[l,e[,3x2∈ɪ,e使/(5)..g(x2)成立，即ONg(X2)

即Hre-,e使0≥2xlnx+f一公+3成立

e_

3「1

即q≥21nx+x+-在x∈-,e上有解

X|_e_

2

设MX)=2∖nx+x+~,则//(x)=-+l-4=-+II=(EFT)

XXjrXX

所以当1<x<l时，∕z'(x)<O,/?(X)单调递减.

e

当l<x≤e时，/ι,(x)>0,MX)单调递增.

所以∕z(x)≥∕z(l)=4

3「1"I

要使得“≥21nx+x+—在x∈-,e匕有解.，则1≥4

Xe

11.(2022•吉林•延边二中高二期中)设。为实数，函数"x)=x3-3x2+α,g(x)=xlnx.

⑴若函数/(x)与X轴有三个不同交点，求。的范围

⑵对于FWI,3],MeJe,都有〃占)“伍)，试求实数。的取值范围.

【答案】⑴(0,4)

(2)[e+4,÷x)

⑴

∕'(x)=3/-6x=3x(x-2)

由F(X)>(),解得x>2或x<0：由/'(x)<0解得0<x<2

所以/(x)在(y,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

函数“X)与X轴有三个不同交点，则伉2j=-4+α<0解得°<“<4

所以函数/(x)与X轴有三个不同交点，实数。的取值范围0<“<4

⑵

对丁∙VΛ1∈[1,3],Vx2∈ɪ,e,都有/(χj≥g(%),则/(5)mta≥g(%)maχ.

由(1)可知，函数/(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增,

故当xe[l,3]时，"xL="2)=α-4,

因为g(x)=xln*,且XGɪ,e,则g'(x)=l+lnx≥0flg'(x)不恒为零，

故函数g(x)在：，e上单调递增，故g(x)nm=g(e)=e,

由题意可得α-4≥e,故“≥e+4.

所以实数”的取值范围为[e+4,E)

12.(2022•四川省资阳中学高二期中(理))已知/(x)=InX-,n∕-(2m-l)x(meR),

g(χ)=∙∣^-χ2-i∙

(1)当〃?=1时，求/(X)极值；

(2)讨论“X)单调性；

(3)当机>0时，若对于任意内>0,总存在X2G[-2,-1],使得/(xj≤g(xj,求〃?的取值范围.

【答案】(1)极大值为=-ln2,无极小值

4

(2)答案见解析

(3)f-+∞

由题可知，函数定义域为(0,+a，由r(x)=_(2x”(x+i)

当r(χ)>o,解得o<χ<g,当r(χ)<o,解得尤>；,所以函数/(χ)在X=J处取得极大值

：Tn2,无极小值.

(2)

〃小(2"AI)(X+1)

①所以当〃z≤o时，有r(χ)>o恒成立，F(X)在(0,+。。)单调递增,

②当〃2>0时，由f'(x)>0解得：xe(°，L/(x)在(°，1)上单调递增：

由J"(x)<。解得：xe[2w,+ccj,/(x)在—,+s)上单调递减；

综上，W≤0时，/(x)在(0,+8)单调递增；机>0时，〃x)在(0,上单调递增，在(5，+81二

单调递减.

当相>0时，f(x∖xm=f-In2m-1,

根据题意,不等式等价于*-ln2∕n-l≤g(x2)maχ,x2∈[-2,-1],

对于g(x)=5一/一1,g'(χ)=∕-2x>0,X∈[-2,-1].

所以g(x)在xw[-2,T上单增，所以g(χ)maχ=g(-l)=(-2,则有/--ln2%-l≤J-2,

乙D4TΛΛLND

设MM=-^——In2m-1,(加>0),则=-^—<0,

4m^m

〃(⑼在定义域内为减函数-2,所以机≥∙∣,即用的取值范围是

③变更主元法

1.(2022•全国•高一一课时练习)已知对任意me。,3],otd一松一∣<一机+5恒成立，则实数X的取

值范围是()

C∙D∙W,W)

【答案】D

【详解】对任意机c[l,3],不等式〃a2_尔_]<_加+5恒成立，

即对任意〃z«1,3],"J_%+1)<6恒成立，

所以对任意me[1,3],f-x+l<色恒成立，

m

所以对任意me[l,3],χ2-x+l<[9]=2,

Im√min

所以/一x+l<2,解得匕逝<χ<匕且，

22

故实数X的取值范围是ɪɪ,ɪɪ^j.

故选：D.

2.(2023•全国•高三专题练习)函数/(x)=χ2+αx+3,若α∈[4,6]J(x)Nθ恒成立，则实数X的取

值范围是.

【答案】(-∞,-3-√6][-3+√6,+∞)

【详解】令〃(o)=x"+∕+3,当αe[4,6]时，伙α)NO恒成立，

fΛ(4)>0,[X2+4X+3≥0,LL

只需，Aa>n⅛÷ɪ≤-3-y∕βsKX≥-3+>/6.

(Λ(6)≥0,[x'+6x+3≥0,

所以实数X的取值范围是(fo,-3-#][-3+疯+8).

故答案为：(7,-3-#]I[-3+#,+8)

3.(2022•福建省永泰县第一中学高二开学考试)定义在(-U)上的函数”x)满足对任意的X,

ye(T,l),都有/(x)+∕(y)=∕1^J,且当Xe(0,1)时，/(x)<0.

⑴求证：函数/(x)是奇函数；

(2)求证：/(x)在(TI)上是减